實變函數(shù)論

前言

從上世紀50年代初起，在當時全面學習蘇聯(lián)的大背景下，國內的高等學校大量采用了翻譯過來的蘇聯(lián)數(shù)學教材。這些教材體系嚴密，論證嚴謹，有效地幫助了青年學子打好扎實的數(shù)學基礎，培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學人才。到了60年代，國內開始編纂出版的大學數(shù)學教材逐步代替了原先采用的蘇聯(lián)教材，但還在很大程度上保留著蘇聯(lián)教材的影響，同時，一些蘇聯(lián)教材仍被廣大教師和學生作為主要參考書或課外讀物繼續(xù)發(fā)揮著作用?？陀^地說，從解放初一直到文化大革命前夕，蘇聯(lián)數(shù)學教材在培養(yǎng)我國高級專門人才中發(fā)揮了重要的作用，起了不可忽略的影響，是功不可沒的。改革開放以來，通過接觸并引進在體系及風格上各有特色的歐美數(shù)學教材，大家眼界為之一新，并得到了很大的啟發(fā)和教益。但在很長一段時間中，盡管蘇聯(lián)的數(shù)學教學也在進行積極的探索與改革，引進卻基本中斷，更沒有及時地進行跟蹤，能看懂俄文數(shù)學教材原著的人也越來越少，事實上已造成了很大的隔膜，不能不說是一個很大的缺憾。事情終于出現(xiàn)了一個轉折的契機。今年初，在由中國數(shù)學會、中國工業(yè)與應用數(shù)學學會及國家自然科學基金委員會數(shù)學天元基金聯(lián)合組織的迎春茶話會上，有數(shù)學家提出，莫斯科大學為慶祝成立250周年計劃推出一批優(yōu)秀教材，建議將其中的一些數(shù)學教材組織翻譯出版。這一建議在會上得到廣泛支持，并得到高等教育出版社的高度重視。會后高等教育出版社和數(shù)學天元基金一起邀請熟悉俄羅斯數(shù)學教材情況的專家座談討論，大家一致認為：在當前著力引進俄羅斯的數(shù)學教材，有助于擴大視野，開拓思路，對提高數(shù)學教學質量、促進數(shù)學教材改革均十分必要。《俄羅斯數(shù)學教材選譯》系列正是在這樣的情況下，經數(shù)學天元基金資助，由高等教育出版社組織出版的。

內容概要

本書是俄羅斯（蘇聯(lián)時期）杰出數(shù)學家N.л那湯松的一本重要著作，影響很廣。本書在20世紀50－60年代曾是我國高校數(shù)學專業(yè)實變函數(shù)論課程的重要教學參考書。本版系根據(jù)原書1 956年第2版中譯本，對照原書2008年第5版原文校訂后重新出版的?！　∪珪灿?8章，主要內容為：可測集與可測函數(shù)、勒貝格積分、可和函數(shù)與平方可和函數(shù)等有界變差函數(shù)與斯蒂爾切斯積分、絕對連續(xù)函數(shù)與勒貝格不定積分，以及與上述內容對應的，在多元函數(shù)情形和無界函數(shù)情形的擴展；以小字排印的有：奇異積分與三角級數(shù)、集函數(shù)及其在積分論中的應用、超限數(shù)、函數(shù)的貝爾分類、勒貝格積分的推廣（包括佩龍積分、當茹瓦積分和積分的抽象定義等）。這些內容雖然超出了教學大綱，但其豐富的材料為其他函數(shù)論方面論著中所不多見，有較大參考價值。為內容敘述的需要，還專辟一章（第18章）介紹了泛函分析的某些知識。在大部分章末都附有相當數(shù)量的習題。其中多數(shù)難度較大?！　”緯撌鲈敱M、明晰而又言簡意賅，內容逐步深入，一些典型的處理方法有助于啟發(fā)讀者思考。除了俄文原著，本書曾被譯成7種文字出版?！　”緯勺鳛閿?shù)學專業(yè)大學生、研究生、教師和有關工作者的參考書。

作者簡介

伊西多爾·巴甫洛維奇·那湯松（1906-1964），本書的作者N.ㄇ.那湯松是俄羅斯（蘇聯(lián)時期）杰出的數(shù)學家1929年畢業(yè)于列寧格勒大學（今圣彼得堡大學）數(shù)學力學系數(shù)學教育家廠M菲赫金哥爾茨是他的第一個老師、從大學時代起，他在數(shù)學家CH伯恩斯坦院士的影響下，開始了函數(shù)構造論

書籍目錄

《俄羅斯數(shù)學教材選譯》序初版序言摘要第2版序言第一章 無窮集1.集的運算2.一一對應3.可數(shù)集4.連續(xù)統(tǒng)的勢5.勢的比較第二章 點集1.極限點2.閉集3.內點及開集4.距離及隔離性5.有界開集及有界閉集的結構6.凝聚點、閉集的勢第三章 可測集1.有界開集的測度2.有界閉集的測度3.有界集的內測度與外測度4.可測集5.可測性及測度對于運動的不變性6.可測集類7.測度問題的一般注意8.維塔利定理第四章 可測函數(shù)1.可測函數(shù)的定義及最簡單的性質2.可測函數(shù)的其他性質3.可測函數(shù)列、依測度收斂4.可測函數(shù)的結構5.魏爾斯特拉斯定理第五章 有界函數(shù)的勒貝格積分1.勒貝格積分的定義2.積分的基本性質3.在積分號下取極限4.黎曼積分與勒貝格積分的比較5.求原函數(shù)的問題第六章 可和函數(shù)1.非負可測函數(shù)的積分2.任意符號的可和函數(shù)3.在積分號下取極限第七章 平方可和函數(shù)1.主要定義、不等式、范數(shù)2.均方收斂3.正交系4.空間ι25.線性無關組56.空間Lp與ιp第八章 有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分1.單調函數(shù)2.集的映射、單調函數(shù)的微分3.有界變差函數(shù)4.黑利的選擇原理5.有界變差的連續(xù)函數(shù)6.斯蒂爾切斯積分7.在斯蒂爾切斯積分號下取極限8.線性泛函第九章 絕對連續(xù)函數(shù)、勒貝格不定積分1.絕對連續(xù)函數(shù)2.絕對連續(xù)函數(shù)的微分性質3.連續(xù)映射4.勒貝格不定積分5.勒貝格積分的變量變換6.稠密點、近似連續(xù)7.有界變差函數(shù)及斯蒂爾切斯積分的補充8.求原函數(shù)的問題第十章 奇異積分、三角級數(shù)、凸函數(shù)1.奇異積分的概念2.用奇異積分在給定點表示函數(shù)3.在傅里葉級數(shù)論中的應用4.三角級數(shù)及傅里葉級數(shù)的其他性質5.施瓦茨導數(shù)及凸函數(shù)6.函數(shù)的三角級數(shù)展開的唯一性第十一章 二維空間的點集1.閉集2.開集3.平面點集的測度論4.可測性及測度對于運動的不變性5.平面點集的測度與其截線的測度間的聯(lián)系第十二章 多元可測函數(shù)及其積分1.可測函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的拓廣2.勒貝格積分及其幾何意義3.富比尼定理4.積分次序的變更第十三章 集函數(shù)及其在積分論中的應用1.絕對連續(xù)的集函數(shù)2.不定積分及其微分3.上述結果的推廣第十四章 超限數(shù)1.有序集、序型2.良序集3.序數(shù)4.超限歸納法5.第二數(shù)類6.阿列夫7.策梅洛公理和定理第十五章 貝爾分類1.貝爾類2.貝爾類的不空性3.第一類的函數(shù)4.半連續(xù)函數(shù)第十六章 勒貝格積分的某些推廣1.引言2.佩龍積分的定義3.佩龍積分的基本性質4.佩龍不定積分5.佩龍積分與勒貝格積分的比較6.積分的抽象定義及其推廣7.狹義的當茹瓦積分8.T.哈蓋定理9.Ⅱ.C.亞歷山德羅夫-T.羅曼定理10.廣義的當茹瓦積分的概念第十七章 在無界區(qū)域上定義的函數(shù)1.無界集的測度2.可測函數(shù)3.在無界集上的積分4.平方可和函數(shù)5.有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分6.不定積分及絕對連續(xù)的集函數(shù)第十八章 泛函分析的某些知識1.度量空間及其特殊情形——賦范線性空間2.緊性3.某些空間的緊性條件4.巴拿赫的“不動點原理”及其某些應用附錄I.曲線弧的長II.施坦豪斯例子III.關于凸函數(shù)的某些補充知識補充 豪斯多夫定理外國數(shù)學家譯名對照表名詞索引第5版校訂后記

章節(jié)摘錄

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媒體關注與評論

“（本書）充分展現(xiàn)了作者在教育方面的天賦才能——以清晰而通俗的語言給出復雜的論證?！? “它是函數(shù)論方面，唯一用俄文寫的、在其中可以找到如同（關于分割球面的）豪斯多夫定理那樣‘困難’定理的完備而又最簡明證明的一本好書?！? 　　——俄羅斯的有關書評

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《實變函數(shù)論(第5版)》是由高等教育出版社出版的。

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