實(shí)變函數(shù)論

前言

從上世紀(jì)50年代初起，在當(dāng)時(shí)全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)的大背景下，國(guó)內(nèi)的高等學(xué)校大量采用了翻譯過(guò)來(lái)的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教材。這些教材體系嚴(yán)密，論證嚴(yán)謹(jǐn)，有效地幫助了青年學(xué)子打好扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才。到了60年代，國(guó)內(nèi)開始編纂出版的大學(xué)數(shù)學(xué)教材逐步代替了原先采用的蘇聯(lián)教材，但還在很大程度上保留著蘇聯(lián)教材的影響，同時(shí)，一些蘇聯(lián)教材仍被廣大教師和學(xué)生作為主要參考書或課外讀物繼續(xù)發(fā)揮著作用?？陀^地說(shuō)，從解放初一直到文化大革命前夕，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教材在培養(yǎng)我國(guó)高級(jí)專門人才中發(fā)揮了重要的作用，起了不可忽略的影響，是功不可沒的。改革開放以來(lái)，通過(guò)接觸并引進(jìn)在體系及風(fēng)格上各有特色的歐美數(shù)學(xué)教材，大家眼界為之一新，并得到了很大的啟發(fā)和教益。但在很長(zhǎng)一段時(shí)間中，盡管蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)教學(xué)也在進(jìn)行積極的探索與改革，引進(jìn)卻基本中斷，更沒有及時(shí)地進(jìn)行跟蹤，能看懂俄文數(shù)學(xué)教材原著的人也越來(lái)越少，事實(shí)上已造成了很大的隔膜，不能不說(shuō)是一個(gè)很大的缺憾。事情終于出現(xiàn)了一個(gè)轉(zhuǎn)折的契機(jī)。今年初，在由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)及國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)數(shù)學(xué)天元基金聯(lián)合組織的迎春茶話會(huì)上，有數(shù)學(xué)家提出，莫斯科大學(xué)為慶祝成立250周年計(jì)劃推出一批優(yōu)秀教材，建議將其中的一些數(shù)學(xué)教材組織翻譯出版。這一建議在會(huì)上得到廣泛支持，并得到高等教育出版社的高度重視。會(huì)后高等教育出版社和數(shù)學(xué)天元基金一起邀請(qǐng)熟悉俄羅斯數(shù)學(xué)教材情況的專家座談?dòng)懻?，大家一致認(rèn)為：在當(dāng)前著力引進(jìn)俄羅斯的數(shù)學(xué)教材，有助于擴(kuò)大視野，開拓思路，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)數(shù)學(xué)教材改革均十分必要?！抖砹_斯數(shù)學(xué)教材選譯》系列正是在這樣的情況下，經(jīng)數(shù)學(xué)天元基金資助，由高等教育出版社組織出版的。

內(nèi)容概要

本書是俄羅斯（蘇聯(lián)時(shí)期）杰出數(shù)學(xué)家N.л那湯松的一本重要著作，影響很廣。本書在20世紀(jì)50－60年代曾是我國(guó)高校數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)變函數(shù)論課程的重要教學(xué)參考書。本版系根據(jù)原書1 956年第2版中譯本，對(duì)照原書2008年第5版原文校訂后重新出版的?！　∪珪灿?8章，主要內(nèi)容為：可測(cè)集與可測(cè)函數(shù)、勒貝格積分、可和函數(shù)與平方可和函數(shù)等有界變差函數(shù)與斯蒂爾切斯積分、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與勒貝格不定積分，以及與上述內(nèi)容對(duì)應(yīng)的，在多元函數(shù)情形和無(wú)界函數(shù)情形的擴(kuò)展；以小字排印的有：奇異積分與三角級(jí)數(shù)、集函數(shù)及其在積分論中的應(yīng)用、超限數(shù)、函數(shù)的貝爾分類、勒貝格積分的推廣（包括佩龍積分、當(dāng)茹瓦積分和積分的抽象定義等）。這些內(nèi)容雖然超出了教學(xué)大綱，但其豐富的材料為其他函數(shù)論方面論著中所不多見，有較大參考價(jià)值。為內(nèi)容敘述的需要，還專辟一章（第18章）介紹了泛函分析的某些知識(shí)。在大部分章末都附有相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題。其中多數(shù)難度較大。　　本書論述詳盡、明晰而又言簡(jiǎn)意賅，內(nèi)容逐步深入，一些典型的處理方法有助于啟發(fā)讀者思考。除了俄文原著，本書曾被譯成7種文字出版?！　”緯勺鳛閿?shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生、研究生、教師和有關(guān)工作者的參考書。

作者簡(jiǎn)介

伊西多爾·巴甫洛維奇·那湯松（1906-1964），本書的作者N.ㄇ.那湯松是俄羅斯（蘇聯(lián)時(shí)期）杰出的數(shù)學(xué)家1929年畢業(yè)于列寧格勒大學(xué)（今圣彼得堡大學(xué)）數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)教育家廠M菲赫金哥爾茨是他的第一個(gè)老師、從大學(xué)時(shí)代起，他在數(shù)學(xué)家CH伯恩斯坦院士的影響下，開始了函數(shù)構(gòu)造論

書籍目錄

《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯》序初版序言摘要第2版序言第一章 無(wú)窮集1.集的運(yùn)算2.一一對(duì)應(yīng)3.可數(shù)集4.連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)5.勢(shì)的比較第二章 點(diǎn)集1.極限點(diǎn)2.閉集3.內(nèi)點(diǎn)及開集4.距離及隔離性5.有界開集及有界閉集的結(jié)構(gòu)6.凝聚點(diǎn)、閉集的勢(shì)第三章 可測(cè)集1.有界開集的測(cè)度2.有界閉集的測(cè)度3.有界集的內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度4.可測(cè)集5.可測(cè)性及測(cè)度對(duì)于運(yùn)動(dòng)的不變性6.可測(cè)集類7.測(cè)度問(wèn)題的一般注意8.維塔利定理第四章 可測(cè)函數(shù)1.可測(cè)函數(shù)的定義及最簡(jiǎn)單的性質(zhì)2.可測(cè)函數(shù)的其他性質(zhì)3.可測(cè)函數(shù)列、依測(cè)度收斂4.可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)5.魏爾斯特拉斯定理第五章 有界函數(shù)的勒貝格積分1.勒貝格積分的定義2.積分的基本性質(zhì)3.在積分號(hào)下取極限4.黎曼積分與勒貝格積分的比較5.求原函數(shù)的問(wèn)題第六章 可和函數(shù)1.非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分2.任意符號(hào)的可和函數(shù)3.在積分號(hào)下取極限第七章 平方可和函數(shù)1.主要定義、不等式、范數(shù)2.均方收斂3.正交系4.空間ι25.線性無(wú)關(guān)組56.空間Lp與ιp第八章 有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分1.單調(diào)函數(shù)2.集的映射、單調(diào)函數(shù)的微分3.有界變差函數(shù)4.黑利的選擇原理5.有界變差的連續(xù)函數(shù)6.斯蒂爾切斯積分7.在斯蒂爾切斯積分號(hào)下取極限8.線性泛函第九章 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)、勒貝格不定積分1.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)2.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的微分性質(zhì)3.連續(xù)映射4.勒貝格不定積分5.勒貝格積分的變量變換6.稠密點(diǎn)、近似連續(xù)7.有界變差函數(shù)及斯蒂爾切斯積分的補(bǔ)充8.求原函數(shù)的問(wèn)題第十章 奇異積分、三角級(jí)數(shù)、凸函數(shù)1.奇異積分的概念2.用奇異積分在給定點(diǎn)表示函數(shù)3.在傅里葉級(jí)數(shù)論中的應(yīng)用4.三角級(jí)數(shù)及傅里葉級(jí)數(shù)的其他性質(zhì)5.施瓦茨導(dǎo)數(shù)及凸函數(shù)6.函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開的唯一性第十一章 二維空間的點(diǎn)集1.閉集2.開集3.平面點(diǎn)集的測(cè)度論4.可測(cè)性及測(cè)度對(duì)于運(yùn)動(dòng)的不變性5.平面點(diǎn)集的測(cè)度與其截線的測(cè)度間的聯(lián)系第十二章 多元可測(cè)函數(shù)及其積分1.可測(cè)函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的拓廣2.勒貝格積分及其幾何意義3.富比尼定理4.積分次序的變更第十三章 集函數(shù)及其在積分論中的應(yīng)用1.絕對(duì)連續(xù)的集函數(shù)2.不定積分及其微分3.上述結(jié)果的推廣第十四章 超限數(shù)1.有序集、序型2.良序集3.序數(shù)4.超限歸納法5.第二數(shù)類6.阿列夫7.策梅洛公理和定理第十五章 貝爾分類1.貝爾類2.貝爾類的不空性3.第一類的函數(shù)4.半連續(xù)函數(shù)第十六章 勒貝格積分的某些推廣1.引言2.佩龍積分的定義3.佩龍積分的基本性質(zhì)4.佩龍不定積分5.佩龍積分與勒貝格積分的比較6.積分的抽象定義及其推廣7.狹義的當(dāng)茹瓦積分8.T.哈蓋定理9.Ⅱ.C.亞歷山德羅夫-T.羅曼定理10.廣義的當(dāng)茹瓦積分的概念第十七章 在無(wú)界區(qū)域上定義的函數(shù)1.無(wú)界集的測(cè)度2.可測(cè)函數(shù)3.在無(wú)界集上的積分4.平方可和函數(shù)5.有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分6.不定積分及絕對(duì)連續(xù)的集函數(shù)第十八章 泛函分析的某些知識(shí)1.度量空間及其特殊情形——賦范線性空間2.緊性3.某些空間的緊性條件4.巴拿赫的“不動(dòng)點(diǎn)原理”及其某些應(yīng)用附錄I.曲線弧的長(zhǎng)II.施坦豪斯例子III.關(guān)于凸函數(shù)的某些補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充 豪斯多夫定理外國(guó)數(shù)學(xué)家譯名對(duì)照表名詞索引第5版校訂后記

章節(jié)摘錄

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媒體關(guān)注與評(píng)論

“（本書）充分展現(xiàn)了作者在教育方面的天賦才能——以清晰而通俗的語(yǔ)言給出復(fù)雜的論證?！? “它是函數(shù)論方面，唯一用俄文寫的、在其中可以找到如同（關(guān)于分割球面的）豪斯多夫定理那樣‘困難’定理的完備而又最簡(jiǎn)明證明的一本好書?！? 　　——俄羅斯的有關(guān)書評(píng)

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《實(shí)變函數(shù)論(第5版)》是由高等教育出版社出版的。

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