實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要

前言

本書是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，在第三版的基礎(chǔ)上修訂編寫而成。自2005年第三版以來，收到很多讀者提出的寶貴意見，本校師維學(xué)、代雄平、栗付才、鐘承奎幾位教授及南京大學(xué)2006屆數(shù)學(xué)系的同學(xué)在教學(xué)和使用過程中，都對本書提出了不少有益的意見和建議。本次修訂在充分吸收這些意見和建議的基礎(chǔ)上，考慮到現(xiàn)行學(xué)時的安排，在篇幅上進(jìn)行了較大的調(diào)整，增加了關(guān)于依測度基本列概念與積分列的勒貝格一維它利定理，刪去廣義函數(shù)、解析算子演算、酉算子、正常算子的譜分解定理等內(nèi)容，習(xí)題量進(jìn)行了擴(kuò)充以供選用，一些要點(diǎn)給予特別提示以利教學(xué)，對理論的論述、安排與例證均進(jìn)行了推敲使其可讀性更強(qiáng)，便于備課、講授與學(xué)習(xí)。同時，還注意吸取國內(nèi)外一些新教材的長處。本書第一版時的初稿曾得到程其襄、嚴(yán)紹宗、王斯雷、張奠宙、徐榮權(quán)、俞致壽教授等的細(xì)心審查與認(rèn)真討論，曾遠(yuǎn)榮、江澤堅、夏道行教授專門審閱了手稿，函數(shù)論教研室的馬吉溥、蘇維宜、任福賢、何澤霖、宋國柱、王巧玲、王崇祜、華茂芬等同志也協(xié)助閱讀了手稿，并參加了部分修改工作。在此謹(jǐn)向所有對本書提出意見和建議的專家、廣大教師與讀者表示衷心感謝，書中一絲一毫的改進(jìn)均是與他們分不開的。雖然我們作了一定的努力，但書中的謬誤想必難免，盼望專家與讀者們不吝指正。

內(nèi)容概要

　　《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第1冊）（第4版）》第四版除了盡量保持內(nèi)容精選、適用性較廣外，盡力做到可讀性強(qiáng)，便于備課、講授及學(xué)習(xí)。修訂時吸收了教學(xué)中的建議，增添了少量重要內(nèi)容與習(xí)題，一些習(xí)題還給出提示?！　∪珪謨蓛?。第一冊包含集與點(diǎn)集、勒貝格測度、可測函數(shù)、勒貝格積分與函數(shù)空間五章，第二冊介紹距離空間、巴拿赫空間與希爾伯特空間、巴拿赫空間上的有界線性算子，以及希爾伯特空間上的有界線性算子四章?？紤]到現(xiàn)行學(xué)時的安排，第二冊篇幅作了較大調(diào)整。　　《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第1冊）（第4版）》每章附有小結(jié)，指出要點(diǎn)所在。習(xí)題較為豐富，供教學(xué)時選用。　　《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第1冊）（第4版）》可作為綜合大學(xué)、理工大學(xué)、師范院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的教學(xué)用書，也可作為有關(guān)研究生與自學(xué)者的參考書。學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第1冊）（第4版）》的預(yù)備知識為數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容。

書籍目錄

第一冊第一章 集與點(diǎn)集1 集及其運(yùn)算2映射·集的對等·可列集3 一維開集、閉集及其性質(zhì)4 開集的構(gòu)造5 集的勢·序集第一章習(xí)題第二章 勒貝格測度1 引言2 有界點(diǎn)集的外、內(nèi)測度·可測集3 可測集的性質(zhì)4 關(guān)于測度的幾點(diǎn)評注5 環(huán)與環(huán)上定義的測度6 環(huán)上外測度·可測集·測度的擴(kuò)張7 廣義測度第二章習(xí)題第三章 可測函數(shù)1 可測函數(shù)的基本性質(zhì)2 可測函數(shù)列的收斂性3 可測函數(shù)的構(gòu)造第三章習(xí)題第四章 勒貝格積分1 勒貝格積分的引人2 積分的性質(zhì)3 積分序列的極限4 R積分與L積分的比較5 乘積測度與傅比尼定理6 微分與積分7 勒貝格－斯蒂爾切斯積分概念第四章習(xí)題第五章 函數(shù)空間1 空間·完備性2空間的可分性3 傅里葉變換概要第五章習(xí)題參考書目與文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

插圖：我們由簡單函數(shù)的積分講起，然后講一般可測函數(shù)的積分；并討論積分的性質(zhì)，特別是勒維定理，法杜定理與勒貝格定理，即平常所謂積分中的三大定理。所有的討論基本上適用于多維情形。本章還講了重積分交換次序的傅比尼定理，就一維情形比較黎曼積分與勒貝格積分。以及微分與積分的聯(lián)系。LS積分大意等。1 勒貝格積分的引入勒貝格積分是20世紀(jì)初（1902年）法國數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的，它的發(fā)展比數(shù)學(xué)分析中所講的黎曼積分（1854年）要遲半個世紀(jì)。我們知道，黎曼積分在求積、物體質(zhì)心、矩量等問題中起著重要作用，但這些都限于古典范圍。近代物理與概率論的發(fā)展，要求更為精密的數(shù)學(xué)工具。而且可以說，黎曼可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或者不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù)，這對量子力學(xué)中的物理量與一般隨機(jī)量的數(shù)學(xué)期望值來說顯然是不夠用的。就從數(shù)學(xué)分析中的一些重要結(jié)果如積分與極限交換次序，重積分交換次序，牛頓一萊布尼茨公式等來看，在黎曼積分情形所加條件，沒有勒貝格積分情形那樣方便。用勒貝格積分處理這一類問題是相當(dāng)靈活深刻與自然的。在數(shù)學(xué)史上，正是由于這一類問題的提出，才促使勒貝格積分的產(chǎn)生。

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《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要(第1冊)(第4版)》：普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。

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