實變函數(shù)與泛函分析基礎

前言

本書于1983年問世以來，歷經(jīng)26個春秋，承蒙讀者厚愛，一直發(fā)行不衰。最近，在聽取讀者反饋的基礎上，我們又進行了一次修改，即為第三版。這次修訂重點在實變函數(shù)部分，對積分論作了較多更動。以下是幾處重要的修改：在第一章“集合”中，突出了集合語言與語言的關系，特別是強化了用集合的無限交并運算來表示函數(shù)列的極限過程。這在第四章處理可測函數(shù)列極限等定理時十分重要。在第二章“點集”中，增加了康托爾三分集合分形幾何學的內(nèi)容，篇幅很小，旨在反映信息時代的發(fā)展，擴充讀者的視野。最大的修改是第五章對勒貝格積分的處理。過去我們關注勒貝格積分和黎曼積分的相似之處，考察勒貝格的積分和，以上下積分相等為勒貝格可積，目的是希望讀者容易體會其含義。但近來，從非負簡單函數(shù)出發(fā)逐步擴充定義，相應地得到處理積分與極限運算交換的關鍵定理，這樣的一種講授方法已成為時尚，而且可使篇幅得以壓縮，讀者也更容易理解。因此，我們也采取了這樣的處理方法。在第六章中，將勒貝格積分的部分積分法和新增的變量替換方法一并介紹，并且給出了證明。這兩種常用積分方法，是教學中首要講解的內(nèi)容，而其證明，則可視教學時數(shù)是否充裕來選擇。承襲第二版的做法，我們?nèi)栽诿恳徽碌拈_始以及適當?shù)牡胤剑帽M量樸素的自然語言向讀者提供該部分內(nèi)容展開的思路，以此來對“形式化”的“冰冷美麗”做一些“火熱的思考”。

內(nèi)容概要

本次修訂是在第二版的基礎上進行的，作者根據(jù)多年來的使用情況以及數(shù)學的近代發(fā)展，做了部分但是重要的修改。全書共11章：實變函數(shù)部分包括集合、點集、測度論、可測函數(shù)、積分論、微分與不定積分；泛函分析則主要涉及賦范空間、有界線性算子、泛函、內(nèi)積空間、泛函延拓、一致有界性以及線性算子的譜分析理論等內(nèi)容。    這次修訂繼續(xù)保持簡明易學的風格，力圖擺脫純形式推演的論述方式，著重介紹實變函數(shù)與泛函分析的基本思想方法，盡量將枯燥的數(shù)學學術形態(tài)呈現(xiàn)為學生易于接受的教育形態(tài)；同時，補充了一些現(xiàn)代化的內(nèi)容，如“分形”的介紹。    本書可作為高等院校數(shù)學類專業(yè)學生的教學用書，也可作為自學參考書。

書籍目錄

第一篇　實變函數(shù)　第一章　集合　　1　集合的表示　　2　集合的運算　　3　對等與基數(shù)　　4　可數(shù)集合　　5　不可數(shù)集合　　第一章習題　第二章　點集　　1　度量空間，n維歐氏空間　　2　聚點，內(nèi)點，界點　　3　開集，閉集，完備集　　4　直線上的開集、閉集及完備集的構造　　5　康托爾三分集　　第二章習題　第三章　測度論　　1　外測度　　2　可測集　　3　可測集類　 4　不可測集　　第三章習題　第四章　可測函數(shù)　　1　可測函數(shù)及其性質(zhì)　　2　葉果洛夫(EropoB)定理　　3　可測函數(shù)的構造　　4　依測度收斂　　第四章習題　第五章　積分論　　1　黎曼積分的局限性，勒貝格積分簡介　　2　非負簡單函數(shù)的勒貝格積分　　3　非負可測函數(shù)的勒貝格積分　　4　一般可測函數(shù)的勒貝格積分　　5　黎曼積分和勒貝格積分　　6　勒貝格積分的幾何意義·富比尼(Fubini)定理　　第五章習題　第六章　微分與不定積分　 1　維它利(vitali)定理　　2　單調(diào)函數(shù)的可微性　　3　有界變差函數(shù)　　4　不定積分　 5　勒貝格積分的分部積分和變量替換　　6　斯蒂爾切斯(stieltjes)積分　　7　L-S測度與積分　　第六章習題第二篇　泛函分析　第七章　度量空間和賦范線性空間　　1　度量空間的進一步例子　　2　度量空間中的極限，稠密集，可分空間　　3　連續(xù)映射　　4　柯西(Cauchy)點列和完備度量空間　　5　度量空間的完備化　　6　壓縮映射原理及其應用　　7　線性空間　　8　賦范線性空間和巴拿赫(Banach)空間　　第七章習題　第八章　有界線性算子和連續(xù)線性泛函　　1　有界線性算子和連續(xù)線性泛函　　2　有界線性算子空間和共軛空間　　3　廣義函數(shù)　　第八章習題　第九章　內(nèi)積空間和希爾伯特(Hilbert)空間　　1　內(nèi)積空間的基本概念　　2　投影定理　　3　希爾伯特空間中的規(guī)范正交系　　4　希爾伯特空間上的連續(xù)線性泛函　　5　自伴算子、酉算子和正常算子　　第九章習題　第十章　巴拿赫空間中的基本定理　　1　泛函延拓定理　　2　C[a，b]的共軛空間　　3　共軛算子　　4　綱定理和一致有界性定理　　5　強收斂、弱收斂和一致收斂　　6　逆算子定理　　7　閉圖像定理　　第十章習題　第十一章　線性算子的譜　　1　譜的概念　　2　有界線性算子譜的基本性質(zhì)　　3　緊集和全連續(xù)算子　　4　自伴全連續(xù)算子的譜論　　5　具對稱核的積分方程　　第十一章習題附錄一　內(nèi)測度，L測度的另一定義附錄二　半序集和佐恩引理附錄三　實變函數(shù)增補例題參考書目

章節(jié)摘錄

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《實變函數(shù)與泛函分析基礎(第3版)》：普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。

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