數(shù)論

前言

本書所考察的內(nèi)容涵蓋了從一塊古巴比倫的泥板到勒讓德（Legendre）1798年的《論數(shù)論》發(fā)表這一漫長的時期，而其中的這塊泥板則可遠遠地追溯到漢穆拉比王朝 （Hammurapi）的年代。大體上，書的內(nèi)容截止在1801年高斯的《算術(shù)研究》發(fā)表之前，但它也包含了關(guān)于勒讓德以后生涯的一段情節(jié)，從而不可避免地要涉及高斯和他的繼承者們的一些發(fā)現(xiàn)。數(shù)論，或者如一些情有獨鐘的人所稱做的算術(shù)，直到最近以來，一直都以它的獻身者們的質(zhì)量而非數(shù)量彰顯于世；或許在所能激發(fā)出的熱情方面它也是獨一無二的，這種熱情雄辯地表現(xiàn)在諸如歐拉（Euler）、高斯（Gauss）、艾森斯坦（Eisenstein）、希爾伯特（Hilbert）的許多言辭之中。因此，雖然這本書包含了三十六個世紀的一些工作，但它的絕大部分內(nèi)容都在于對四位數(shù)學(xué)家，即費馬（Fermat）、歐拉、拉格朗日（Lagrange）、勒讓德的成就的細節(jié)研討和解說上。他們是現(xiàn)代數(shù)論的奠基人，而高斯的偉大之處則在于他使先輩們開創(chuàng)的東西趨于完善，這等同于他揭開了這門學(xué)科在歷史上的一個新紀元。

內(nèi)容概要

數(shù)論——或者一些人稱之為的算術(shù)，是最古老、最純粹、最有活力、最初等卻也是最深奧的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這門學(xué)科具有“數(shù)學(xué)皇后”的名聲絕非偶然。一些最為復(fù)雜的傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想便是由對數(shù)論的基本問題的研究發(fā)展起來的。    對數(shù)論有杰出貢獻的韋伊，寫成了詮釋數(shù)論歷史的這本書；他的研究內(nèi)容涵蓋了大約三十六個世紀的算術(shù)工作——從一塊可追溯到漢穆拉比王朝的古巴比倫的泥板到勒讓德的《論數(shù)論》（1798）。韋伊一直希望向有較好教育背景的讀者講述他的研究領(lǐng)域，這促使他在問題的分析、數(shù)論方法的演變以及它們在數(shù)學(xué)中的意義方面使用了歷史性的解讀方法。在他的論述過程中，韋伊和讀者一起來到現(xiàn)代數(shù)論的四位主要作者（費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德）的工作室，并在那里進行了一場仔細的、帶有批判眼光的查驗。本書富含知識史的廣博內(nèi)容，對了解我們的文化遺產(chǎn)有很重要的貢獻。

作者簡介

A.韋伊（Andre Weil，1906-1998），二十世紀最有影響的數(shù)學(xué)家之一，是法國著名的布爾巴基學(xué)派的創(chuàng)立者和領(lǐng)導(dǎo)者之一。他的主要貢獻在代數(shù)幾何、數(shù)論、群論、數(shù)學(xué)史等領(lǐng)域，在1979年因其“把代數(shù)幾何引入數(shù)論的令人振奮的工作”獲得沃爾夫獎。 
    韋伊的許多著作均屬數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中包括《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》（Foundations of Algebraic Geometry，1946）、《基礎(chǔ)數(shù)論》（Basic Number Theory，1967）、《拓撲群及其應(yīng)用導(dǎo)論》（Lintegrationdans les Groupes Topologiques et ses Appfications，1940）以及本書等。

書籍目錄

《數(shù)學(xué)翻譯叢書》序前言插圖目錄縮寫、基本參考文獻以及記號第一章 原史時期的數(shù)論  1.1 引子  1.2 素數(shù)和因數(shù)分解  1.3 完全數(shù)  1.4 一次問題  1.5 畢達哥拉斯三角形  1.6 兩個平方數(shù)的和  1.7 斐波那契和《平方數(shù)》  1.8 關(guān)于佩爾（Pell）方程的早期工作  1.9 佩爾方程：阿基米德和印度人  1.10 丟番圖與丟番圖方程  1.11 丟番圖及平方和  1.12 丟番圖的復(fù)蘇：韋達與巴歇第二章 費馬和他的信件  2.1 生平  2.2 二項式系數(shù)  2.3 證明與“歸納”的相較  2.4 完全數(shù)與費馬定理  2.5 最初的探索  2.6 對二次剩余的初次嘗試  2.7 兩個平方數(shù)和的素因子  2.8 兩個平方數(shù)之和  2.9 由兩個平方數(shù)和表示的數(shù)  2.10 無限下降法以及方程x4-y4=z2  2.11 費馬成熟時期的問題  2.12 “初等”二次型  2.13 佩爾方程  2.14 二次不定方程  2.15 對虧格1的方程的追本溯源  2.16 再論下降法  2.17 結(jié)論  附錄Ⅰ 歐幾里得二次域  附錄Ⅱ 射影空間中的虧格1曲線  附錄Ⅲ 作為空間四次曲線的費馬的“二重方程”  附錄Ⅳ 下降法與莫德爾定理  附錄Ⅴ 方程y2=x3-2x第三章 歐拉  3.1 十六世紀、十七世紀和十八世紀的科學(xué)活動  3.2 歐拉的生平  3.3 歐拉與哥德巴赫  3.4 歐拉關(guān)于數(shù)論的發(fā)現(xiàn)  3.5 角色一覽表（Dramatis personae）  3.6 模Ⅳ的乘法群  3.7 “實”對“虛”  3.8 錯失二次互反律  3.9 二元二次型  3.10 搜尋大素數(shù)  3.11 四平方數(shù)之和  3.12 平方根與連分式  3.13 二次丟番圖方程  3.14 再論丟番圖方程  3.15 橢圓積分和加法定理  3.16 作為丟番圖方程的橢圓曲線  3.17 求和公式以及∑n  3.18 歐拉和函數(shù)  3.19 三角函數(shù)  3.20 函數(shù)的函數(shù)方程  3.21 數(shù)的分拆（Partitio numerorum）與模函數(shù)  3.22 結(jié)論  附錄Ⅰ 二次互反律  附錄Ⅱ 對平方和問題的一個初等證明  附錄Ⅲ 橢圓曲線的加法定理第四章 過渡時期：拉格朗日與勒讓德  4.1 拉格朗日的生平  4.2 拉格朗日與數(shù)論  4.3 不定方程  4.4 拉格朗日的二元二次型理論  4.5 勒讓德的生平  4.6 勒讓德的算術(shù)工作  附錄Ⅰ 三元二次型的哈塞（Hasse）原理  附錄Ⅱ 關(guān)于正二元二次型的勒讓德的證明  附錄Ⅲ 拉格朗日關(guān)于不定二元二次型的一個證明補充參考文獻譯后記王元先生給譯者的信人名索引內(nèi)容索引

章節(jié)摘錄

插圖：在古代數(shù)學(xué)的所有課題之中，最清楚不過屬于數(shù)論的或許應(yīng)該是關(guān)于正整數(shù)的基本乘法性質(zhì)的那個；它們在歐幾里得的“書”Ⅶ，Ⅷ和Ⅸ中得到了盡善盡美的處理，一般都認為，這些書的內(nèi)容即便不是全部，也是大量源自更早的年代，但幾乎無人能說出它們背后的故事，關(guān)于可除性的一些事實在美索不達米亞12。必定就已經(jīng)知道了；在60進制中的任一塊倒數(shù)表都清晰指出了那些只含有素數(shù)2，3和5的整數(shù)和所有其他整數(shù)的區(qū)別，埃及數(shù)學(xué)中分式加法的嚴格處理最終以整數(shù)比的乘法處理形式補充到了希臘的數(shù)學(xué)中，這表明了一種基本態(tài)度的轉(zhuǎn)變，按照保爾·塔納里13。（Paul Tannery）的非常貌似真實的假說，有充分的理由表明它的根源在音樂理論之中，轉(zhuǎn)過來說，這可能與最簡單的平方根諸如、√2、√5信的無理性的早期證明有一些關(guān)系，但我們并不知道那些證明是什么；亞里士多德在一次討論有關(guān)證明的邏輯結(jié)構(gòu)（Analytica priora I，23）的過程中如果真的暗示了對√2的證明，那么我們就沒有理由把它歸功于假設(shè)性的“畢達哥拉斯學(xué)派”了，素數(shù)，連同因子，以及對給定的一些整數(shù)的公倍數(shù)的概念，可能相當(dāng)早就有之；我們所能講的全部是，柏拉圖（Plato）在他后期的著作《法律（The Laws）》（737e～738a）中提到數(shù)5040的一些性質(zhì)，著重指出它是直到10的那些數(shù)的公倍數(shù)（但2520也是），并且如果不算5040自己，它有59個因子；這表明在柏拉圖的科學(xué)院里的數(shù)學(xué)家們對于整數(shù)的分解已經(jīng)具有了一些先進的知識，但不能確定有多少，是否在Eucl，VII，l－2中求兩個整數(shù)的最大公因子（g-C-d，）的所謂“歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法”與應(yīng)用于可能無公度的量的這個同一方法的理論（Eucl，x，2）之間原本就有一種聯(lián)系？一個數(shù)學(xué)方法在不同的場合被發(fā)現(xiàn)了兩次，并且過了長時間才認識到這兩個發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是相同的，這不是常常發(fā)生的嗎？數(shù)學(xué)上一些重要進展也正是以這種方式出現(xiàn)的，甚至在歐幾里得那里，我們也找不到對于將整數(shù)分解為素數(shù)因子的唯一性的一般證明；的確，或許他已注意到此，然而他全部所做的不過是關(guān)于對任意多個給定素數(shù)的最小公倍數(shù)（1，c，m，）的一個陳述（Eucl，Ⅸ，14）罷了，最后，對于存在無限多個素數(shù)的證明（Eucl，Ⅸ,20）無疑代表了一個重大進展，但是并沒有令人信服的理由表明應(yīng)將此歸于歐幾里得或者追溯到更早的年代，與我們目的相關(guān)的是在以后的諸多世紀里歐幾里得的極其廣泛的傳播，雖然所有原先的內(nèi)容都已被清除，但從那時以來，它成為了數(shù)學(xué)家普遍可用的知識寶庫。

后記

由于作者所處的社會和人文環(huán)境與我們所處的有較大的差異，他所耳熟能詳?shù)娜宋?、事件在書中往往一帶而過，但許多對我們是陌生的或朦朧的，有時可能會形成閱讀的難點；所以我嘗試在譯文中加了一些注解：除了書中已有評說的外，著名的人物和與后文無大關(guān)系的人物不予加注，當(dāng)然我找不到資料的也無從加注。人名的翻譯則沿用通用的或別人用過的，一些無關(guān)緊要的人的名字甚至也沒有做漢語音譯；名字終究不過是個符號而已。限于水平，也只能做到這一步了.還望翻閱此譯本的諸君能不吝指正。作者是位公認的二十世紀的偉大數(shù)學(xué)家，很高興王元先生能慷慨答允為此做些介紹.就該書本身而言，我在譯完全書后，對作者不僅做數(shù)學(xué)而且做其他學(xué)問的嚴謹態(tài)度不由不敬佩有加：幾乎有斷言就有考證，并沒有利用自己的崇高身份妄下結(jié)論，或者天馬行空般的指東道西，發(fā)表沒有根據(jù)的議論；我想這或許應(yīng)該是對待數(shù)學(xué)史研究的正確態(tài)度吧。譯者2009年9月15日

媒體關(guān)注與評論

“這是一本羅曼蒂克式的文獻小說！它將完全的哲學(xué)準確性、敏銳的觀察力、對本質(zhì)問題的切題評議、生動的想象、對學(xué)科的熱愛、富于才氣的文學(xué)風(fēng)格完美結(jié)合起來。它是數(shù)論及其歷史的一個不可分割的整體，幫助我們了解這個學(xué)科最初根植于何處，以及其發(fā)展的第一個重要階段。作為最卓越數(shù)論學(xué)家之一的作者……向我們展示了現(xiàn)代數(shù)論誕生的壯闊全景?！薄　　狿eriodica Mathematica Hungarin （匈牙利數(shù)學(xué)期刊）“所評論的這本書……是站在許多偉大數(shù)論作者肩膀上的，對數(shù)論所作的推論性、詮釋性的輕松一瞥……在激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)論的熱情方面，或許是獨特的?！薄　　狹athematial Reviews （數(shù)學(xué)評論）

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