數學物理方程

前言

本書是作者在為吉林大學數學學院本科生開設的數學物理方程課程的講授講義的基礎上，經過幾次修改并適當擴充而形成的，可作為高等學校數學類專業(yè)的本科生教材。傳統的數學物理方程教材以介紹經典解法為主，如分離變量法、行波法以及在可積函數框架下建立的Fourier變換方法。作為偏微分方程理論的入門知識，這些解法的介紹無疑是十分重要的。本書第一章介紹數學物理方程定解問題的經典解法。除了廣泛應用的分離變量法、行波法以外，我們還介紹冪級數解法與相似解解法。值得注意的是，隨著偏微分方程的現代理論的形成，以及現代科學技術的迅猛發(fā)展，經典分析理論已無法滿足各種應用領域的實際需要。例如、作為偏微分方程數值解的重要方法之一的Galerkin方法就用到了廣義函數的理論，并且成為本科生計算方法課程的一個重要組成部分?；谶@種考慮，我們在第二章介紹Fourier變換方法和廣義函數理論，其中還包括在廣義函數框架下建立的Fourier變換方法，并于第三章介紹位勢方程和熱傳導方程的弱解的初步理論。本書第四章介紹古典解的性質，包括位勢方程和熱傳導方程解的極值原理和能量估計，以及弦振動方程古典解的能量估計。本書與其他同類教材相比的特點在于以下幾個方面?？紤]到廣義函數理論的抽象性和本科階段學習的特點，我們主要以一個空間變量的情形來介紹Fourier變換方法和廣義函數理論。我們首先選擇速降函數空間作為基本空間來引入經典的：Fourier變換，因為Fourier變換及其逆變換都是這個空間上的線性、連續(xù)的可逆變換，而且對于各種基本運算，如線性運算、卷積運算、微分運算等，都是封閉的。在這個空間上引入Fourier變換還在于沒有脫離常義函數的框架但又易于推廣到廣義函數空間，這樣就便于由淺入深地教學。特別地，我們先通過速降函數類和緩增函數類的對偶性質介紹了初值為初等函數的cauchy問題的解法，從而很自然地借助廣義函數引入了初等函數的Fourier變換。本書的另一個新的嘗試是處理位勢方程的求解問題。毫無疑問，使讀者了解借助于Green函數表示位勢方程的解是本課程的一個重要環(huán)節(jié)。然而，通常我們只能構造出如半空間和球域等特殊區(qū)域上的Green函數。

內容概要

　　《數學物理方程》用數學分析和實變函數知識來講解典型的數學物理方程理論。選材少而精，在介紹經典理論的同時，融入了偏微分方程的現代理論。內容安排由淺入深，循序漸進。全書共分為四章，重點論述偏微分方程中典型方程的求解方法、廣義函數空間上的Fourier變換方法和古典解性質，此外對于偏微分方程的弱解理論也給予了初步介紹。每章還配置了許多富有啟發(fā)性的習題?！　　稊祵W物理方程》可作為高等學校數學類專業(yè)以及物理學、金融數學等相關學科的本科生教材或教學參考書，也可供在實際工作中需要利用偏微分方程基礎知識的科研人員參考。

書籍目錄

第一章 經典解法1 二階線性偏微分方程及其定解問題1.1 典型的二階線性偏微分方程1.2 定解問題1.3 解的空間與定解問題的適定性2 分離變量法2.1 第一初邊值問題2.2 第二初邊值問題2.3 第三初邊值問題2.4 Poisson方程的邊值問題3 行波法3.1 齊次波動方程Cauchy問題3.2 非齊次波動方程Cauchy問題4 其他解法4.1 冪級數解法4.2 相似解解法習題第二章 Fourier變換方法與廣義函數初步1 基本空間1.1 連續(xù)函數空間1.2 ξ(R)，D(瓞)和Φ(R)空間2速降函數空間上的Fourier變換方法2.1 Φ(R)上Fourier變換的定義與性質2.2 在速降函數空間中求解熱傳導方程2.3 在緩增函數空間中求解熱傳導方程3 LP空間與磨光算子3.1 LP空間3.2 磨光算子及其基本性質3.3 LP函數的光滑逼近3.4 變分學基本引理4 廣義函數4.1 廣義函數的定義4.2 廣義函數的判定4.3 廣義函數的運算4.4 廣義函數的極限4.5 廣義函數的磨光4.6 局部可積函數的廣義導數及其基本性質4.7 廣義函數的廣義導數5 廣義函數空間上的Fourier變換方法5.1 φ'(R)上Fourier變換的定義與性質5.2 φ'(R)上的：Fourier變換方法6 φ(RN)與φ'(RN)上的Fourier變換6.1 φ(RN)上Fourier變換的定義與性質6.2 φ'(RN)上Fourier變換的定義與性質6.3 求解高維偏微分方程定解問題的Fourier變換方法習題第三章 L2理論51H6lder空間和H1空間1.1 Holder空間1.2 H1空間1.3 一維H1空間的性質2 Poisson方程的L2理論2.1 弱解的定義2.2 與弱解相應的泛函的極值元2.3 泛函極值元的存在性2.4 弱解的存在唯一性2.5 弱解的正則性3 Laplace方程的基本解和Green函數及其應用3.1 Laplace方程的基本解3.2 Green函數及其基本性質3.3 Green函數的存在性3.4 Green函數法4 熱傳導方程的L2理論和基本解理論4.1 熱傳導方程的L2理論4.2 熱傳導方程的基本解習題第四章 古典解的性質1Poisson方程1.1 弱極值原理1.2 強極值原理1.3 能量估計2 熱傳導方程2.1 極值原理2.2 能量估計3 弦振動方程3.1 有界區(qū)間上的初邊值問題3.2 實數軸上的初值問題3.3 半實數軸上的初邊值問題習題參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：本章接下來的內容里，我們將介紹求解偏微分方程的幾個經典方法.在介紹這些方法之前，我們給出兩點說明，一方面，和常微分方程不同，偏微分方程的通解一般都求不出來，而且即使求出了通解，也往往難以從它得到定解問題的解，因為通解中一般包含著任意函數，而不是任意實數.所以，對于偏微分方程，一般只能就具體的定解問題作具體的分析，個別求解，另一方面，求解偏微分方程一般分兩步走：第一步，假定所有已知和未知的函數都具有很好的性質，以致無論進行何種運算f例如逐項微分和級數展開等）都是合理的，甚至進行一些沒有定義的形式推導，由此得到一個所謂的“形式解）7.第二步，嚴格驗證所求得的形式解就是定解問題的解，這里通常需要對定解條件加上適當的條件。作為本節(jié)的結束，我們最后介紹定解問題的適定性概念，從一個具體的數學物理問題抽象出來的偏微分方程定解問題，如果抽象得正確的話，它應該有解，應該只有一個解，并且當定解數據（即出現在方程和定解條件中的已知函數）變動很小時相應的解變化也很小，這三個方面，即解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，合在一起，通常稱為定解問題的適定性，從應用的角度來看，要求一個定解問題存在唯一解是十分自然的，要求解具有穩(wěn)定性也是理所當然的。

編輯推薦

《數學物理方程》是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。

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