泛函分析

內(nèi)容概要

　　本書主要內(nèi)容分為七章，前三章側(cè)重于線性泛函分析中各種空間、極限等基本概念的引入和基本性質(zhì)的討論；第四、第五章主要介紹了有界線性算子及其組成的空間，講述Banach空間中線性算子的基本性質(zhì)，重點(diǎn)講述了Hilbert空間的共軛空間，Hilbert空間中的共軛算子。最后兩章是線性算子的譜理論。譜理論從結(jié)構(gòu)上剖析了算子作用的本質(zhì)特征，它的處理方式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在分析、代數(shù)和幾何上的和諧統(tǒng)一。本書沒(méi)有引進(jìn)譜族的概念，從純粹分析的角度介紹了線性算子譜的定義，討論了有界線性算子特別是自共軛算子、緊算子譜的基本性質(zhì)。

書籍目錄

緒論第一章　距離空間1.1　距離空間的基本概念1.1.1　距離空間的定義1.1.2　距離空間的例1.1.3　距離空間中的收斂1.2　開集和連續(xù)映射1.2.1　開球、閉球1.2.2　內(nèi)點(diǎn)、開集、鄰域1.2.3　等價(jià)的距離、連續(xù)映射1.3　閉集　可分性列緊性1.3.1　距離空間中的閉集1.3.2　閉集的結(jié)構(gòu)1.3.3　可分的距離空間1.3.4　列緊的距離空間1.4　完備的距離空間1.4.1　Cauchy列1.4.2　完備的距離空間1.4.3　完備與不完備距離空間的例1.4.4　距離空間的完備化1.5　完備距離空間的性質(zhì)和一些應(yīng)用1.5.1　閉球套定理1.5.2　壓縮映射原理1.5.3　壓縮映射原理的應(yīng)用習(xí)題1第二章　線性賦范空間2.1　賦范空間的基本概念2.1.1　賦范空間和Banach空間的定義2.1.2　范數(shù)的連續(xù)性2.1.3　范數(shù)與距離的關(guān)系2.2　完備的賦范空間2.2.1　連續(xù)函數(shù)上定義的不同范數(shù)2.2.2　賦范空間的完備化2.2.3　Lp空間2.2.4　L∞空間2.2.5　lp空間2.3　賦范空間的幾何結(jié)構(gòu)2.3.1　凸集2.3.2　子空間2.3.3　Riesz引理2.4　有限維的賦范空間2.4.1　等價(jià)的范數(shù)2.4.2　有限維空間2.4.3　有限維賦范空間的幾何特征2.5　賦范空間的進(jìn)一步性質(zhì)2.5.1　賦范空間中的級(jí)數(shù)2.5.2　賦范空間的商空間2.5.3　賦范空間的乘積空間習(xí)題2第三章　內(nèi)積空間與Hilbert空間3.1　內(nèi)積空間的基本性質(zhì)3.1.1　內(nèi)積空間的定義3.1.2　由內(nèi)積生成的范數(shù)3.1.3　內(nèi)積和相應(yīng)范數(shù)的關(guān)系3.1.4　完備的內(nèi)積空間3.2　正交與正交分解3.2.1　正交的定義3.2.2　正交補(bǔ)集3.2.3　最佳逼近3.2.4　Hilbert空間的正交分解3.3　正交系和正交基3.3.1　內(nèi)積空間中的正交系3.3.2　正交投影3.3.3　正交基3.4　Bessel不等式和正交列的完備性3.4.1　Bessel不等式3.4.2　正交列的完備性3.4.3　標(biāo)準(zhǔn)正交基的例3.5　可分的Hilbert空間3.5.1　線性無(wú)關(guān)組的正交化算法3.5.2　可分的Hilbert空間與l2等距同構(gòu)習(xí)題3第四章　有界線性算子4.1　有界線性算子與有界線性泛函4.1.1　有界線性算子與有界線性泛函的定義4.1.2　有界線性算子組成的賦范空間4.1.3　有界線性算子的例4.1.4　有界線性算子范數(shù)的計(jì)算4.2　有界線性算子空間的收斂與完備4.2.1　有界線性算子空間中的收斂性4.2.2　有界線性算子空間的完備性4.3　一致有界原則4.3.1　Baire綱定理4.3.2　一致有界原則4.3.3　強(qiáng)收斂意義下的完備性4.3.4　共鳴定理的應(yīng)用4.4　開映射定理與逆算子定理4.4.1　逆算子4.4.2　開映射定理4.4.3　逆算子定理4.5　閉算子與閉圖像定理4.5.1　閉算子的定義4.5.2　閉算子的例4.5.3　閉圖像定理習(xí)題4第五章　共軛空間和共軛算子5.1　Hahn-Banach定理5.1.1　Hahn-Banach定理5.1.2　Hahn-Banach定理的推論5.1.3　線性泛函和閉集分離5.2　共軛空間5.2.1　共軛空間的概念5.2.2　Lp[a，b]的共軛空間（1　　5.2.3　C[a，b]的共軛空間5.2.4　空間c的共軛空間5.3　Hilbert空間的共軛空間　共軛算子5.3.1　Riesz表示定理5.3.2　Hilbert空間的共軛空間5.3.3　Hilbert空間上的共軛算子5.4　自共軛的有界線性算子5.4.1　有界自共軛算子的定義、例5.4.2　自共軛算子的性質(zhì)5.4.3　Cartesian分解5.5　Banach空間上的共軛算子　弱收斂5.5.1　Banach空間上的共軛算子5.5.2　自反性5.5.3　弱收斂5.5.4　一些具體空間中的弱收斂習(xí)題5第六章　線性算子的譜理論6.1　譜集和正則點(diǎn)集6.1.1　譜點(diǎn)和正則點(diǎn)的定義6.1.2　特征值和特征元素6.1.3　閉線性算子的正則點(diǎn)6.1.4　存在不是特征值的譜點(diǎn)6.2　有界線性算子的譜集6.2.1　有界線性算子的譜集是有界集6.2.2　有界線性算子的譜集是閉集6.2.3　有界線性算子的譜集非空6.2.4　有界線性算子的譜半徑6.3　有界自共軛線性算子的譜6.3.1　有界自共軛線性算子剩余譜集是空集6.3.2　有界自共軛線性算子譜集的性質(zhì)6.3.3　有界自共軛線性算子譜的分布習(xí)題6第七章　緊線性算子的譜分解7.1　緊線性算子7.1.1　緊線性算子的定義7.1.2　緊線性算子的例7.1.3　緊線性算子空間7.1.4　緊算子的有窮秩逼近7.2　緊線性算子的譜7.2.1　緊線性算子的特征值7.2.2　緊線性算子零空間的結(jié)構(gòu)和連續(xù)譜7.2.3　緊線性算子像空間的結(jié)構(gòu)和剩余譜7.2.4　Riesz-Schauder理論7.3　緊的自共軛線性算子的譜7.3.1　緊的自共軛線性算子的譜分解7.3.2　極大極小原理7.4　投影算子的加權(quán)和7.4.1　投影算子和投影算子的加權(quán)和7.4.2　投影算子加權(quán)和的性質(zhì)7.4.3　投影算子加權(quán)和的譜7.4.4　緊的自共軛投影算子的加權(quán)和習(xí)題7附錄附錄Ⅰ　距離空間的緊性Ⅰ.1　列緊集，完全有界集Ⅰ.2　緊集Ⅰ.3　不同空間中緊集的充要條件Ⅰ.4　弱列緊附錄Ⅱ　線性空間Ⅱ.1　線性空間的概念Ⅱ.2　線性無(wú)關(guān)和線性相關(guān)Ⅱ.3　線性空間的維數(shù)與Hilbert基附錄Ⅲ　Lp空間Ⅲ.1　Lp空間完備性的證明Ⅲ.2　Lp空間的收斂性附錄Ⅳ　有界變差函數(shù)空間V[a，b]索引參考文獻(xiàn)

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