現(xiàn)代極限理論及其在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

前言

　　通常將極限理論、隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)分析稱(chēng)為概率論的三大分支?！　O限理論的基礎(chǔ)理論框架最早形成于20世紀(jì)40、50年代。此前只有關(guān)于極限定理的一些零星結(jié)果，無(wú)窮可分分布理論的形成是極限理論理論體系框架建成的標(biāo)志，其主要結(jié)果是在Ko1mogorov的公理化體系形成之后的二三十年問(wèn)形成的。Gne-denko和Ko1mogorov的專(zhuān)著《相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限定理》是經(jīng)典極限理論發(fā)展歷程中具有里程碑意義的代表作?！　〗?jīng)典極限理論的研究對(duì)象是隨機(jī)變量序列的部分和sn的各種極限性狀。在那里，大數(shù)律、中心極限定理和重對(duì)數(shù)律都是關(guān)于sn的，并且最早幾乎都是關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的部分和的，后來(lái)由于實(shí)際的需求，各種相依序列也逐漸應(yīng)運(yùn)而生。鞅序列概念的產(chǎn)生，拓寬了經(jīng)典極限理論的研究?jī)?nèi)容，也為概率論向數(shù)學(xué)其他分支的滲透提供了工具?！　〗臉O限理論則著眼于全面考察隨機(jī)變量序列的部分和序列sn的極限性狀，典型的研究?jī)?nèi)容是關(guān)于s1，s2，…，sn所形成的部分和過(guò)程向布朗運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)、弱收斂性。更進(jìn)一步的內(nèi)容則是關(guān)于各種隨機(jī)過(guò)程，包括鞅過(guò)程中的極限定理的研究。其基本標(biāo)志是：盡管所研究的課題具有不同的背景需求，但是所用的工具卻基本上屬于概率論自身的范疇，包括測(cè)度論和積分論?！　∮?jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，不但為社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了有力的工具和廣闊的平臺(tái)，也為現(xiàn)代自然科學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了機(jī)遇，同時(shí)也提出了新的挑戰(zhàn)。計(jì)算機(jī)科學(xué)的進(jìn)步，離不開(kāi)算法理論的發(fā)展，算法理論的發(fā)展催生了隨機(jī)圖論這一新興學(xué)科。隨機(jī)圖論迅速地突破了原有的經(jīng)典框架，衍生出隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)樹(shù)兩大新生分支。

內(nèi)容概要

現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展對(duì)概率論提出了越來(lái)越高的要求。經(jīng)典的極限理論以研究隨機(jī)變量序列部分和序列的極限性狀為己任，近代極限理論則主要研究部分和過(guò)程向布朗運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱逼近。然而，隨著概率論與其他學(xué)科的交叉，所產(chǎn)生出的許多復(fù)雜的隨機(jī)結(jié)構(gòu)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是用“部分和”就可以刻畫(huà)得了的。不同的隨機(jī)結(jié)構(gòu)來(lái)自于迥異的領(lǐng)域，相差甚遠(yuǎn)，對(duì)其中的概率問(wèn)題的研究遠(yuǎn)非傳統(tǒng)方法能夠勝任。自20世紀(jì)90年代以來(lái)，隨著對(duì)復(fù)雜隨機(jī)結(jié)構(gòu)中隨機(jī)變量極限性狀的研究逐步開(kāi)展，涌現(xiàn)出許多全新的理論和方法，也深化和發(fā)展了一些原有的理論。這些理論與方法目前還只散見(jiàn)于各種學(xué)術(shù)刊物，雖然已有不少綜述性的文章介紹其中的一些理論與方法，但是仍然缺乏一本較為全面系統(tǒng)介紹它們的著作。　　本書(shū)便是產(chǎn)生于這樣的背景之下?！　”緯?shū)作為國(guó)內(nèi)關(guān)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)極限理論方面的首本著作，將在簡(jiǎn)略介紹概率論與經(jīng)典極限理論基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，介紹一些典型的隨機(jī)結(jié)構(gòu)以及概率距離理論，并逐一剖析在隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究中最為廣泛使用的壓縮法、Polya罐方法、生成函數(shù)法、矩方法、Stein方法等，它們都是現(xiàn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究領(lǐng)域中最為重要的方法。作者結(jié)合近年來(lái)國(guó)內(nèi)外最新的研究成果和文獻(xiàn)，形象生動(dòng)地講述了這些方法的具體應(yīng)用技巧，盡量使讀者能夠很快地熟悉并掌握這些方法?？梢哉f(shuō)，本書(shū)是開(kāi)啟隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究領(lǐng)域大門(mén)的一把很好的鑰匙?！　”緯?shū)包含了隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的眾多研究方法和實(shí)例，內(nèi)容系統(tǒng)全面，可供相關(guān)專(zhuān)業(yè)的教師、學(xué)生以及研究人員使用參考。

書(shū)籍目錄

序第一章　概率論基本知識(shí)　1.1　預(yù)備知識(shí)　　1.1.1　概率空間　　1.1.2　隨機(jī)變量　　1.1.3　矩、特征函數(shù)與分布　　1.1.4　隨機(jī)變量在概率空間上的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題　1.2　隨機(jī)變量序列的各種收斂性　　1.2.1　依概率收斂　　1.2.2　a.s.收斂　　1.2.3　平均收斂　　1.2.4　依分布收斂　　1.2.5　各種收斂性之間的關(guān)系　　1.2.6　連續(xù)性定理　1.3　經(jīng)典極限理論中的有關(guān)結(jié)果　　1.3.1　大數(shù)律　　1.3.2　中心極限定理　　1.3.3　漸近正態(tài)的收斂速度估計(jì)　1.4　鞅　　1.4.1　條件數(shù)學(xué)期望　　1.4.2　鞅與相關(guān)的概念　　1.4.3　鞅足標(biāo)的隨機(jī)化　　1.4.4　基本不等式　　1.4.5　下鞅和鞅收斂的基本定理　　1.4.6　鞅的大數(shù)律和中心極限定理　1.5　三大積分變換　　1.5.1　Foreier積分公式　　1.5.2　Fourier變換、Laplace變換與它們的逆變換　　1.5.3　Mellin變換第二章　隨機(jī)結(jié)構(gòu)　2.1　圖論中的基本概念　　2.1.1　圖的概念與表示　　2.1.2　樹(shù)的概念　2.2　隨機(jī)圖論　　2.2.1　經(jīng)典隨機(jī)圖論　　2.2.2　隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)　　2.2.3　隨機(jī)樹(shù)　2.3　兩類(lèi)典型的隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)　　2.3.1　組合隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)　　2.3.2　連續(xù)參數(shù)隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)　2.4　與數(shù)據(jù)搜索有關(guān)的隨機(jī)遞歸結(jié)構(gòu)舉例　　2.4.1　Quickselect　　2.4.2　聚類(lèi)合并(Mergesort)　　2.4.3　索回樹(shù)(Tries)　2.5　隨機(jī)m叉搜索樹(shù)　　2.5.1　隨機(jī)m叉搜索樹(shù)的概念　　2.5.2　隨機(jī)二叉搜索樹(shù)的子樹(shù)　　2.5.3　隨機(jī)二叉搜索樹(shù)上的頂點(diǎn)數(shù)目　　2.5.4　隨機(jī)二叉搜索樹(shù)上隨機(jī)頂點(diǎn)的深度　2.6　均勻遞歸樹(shù)　　2.6.1　均勻遞歸樹(shù)的概念　　2.6.2　均勻遞歸樹(shù)的分支數(shù)目　　2.6.3　均勻遞歸樹(shù)上頂點(diǎn)n的深度　　2.6.4　均勻遞歸樹(shù)中的路徑總長(zhǎng)　　2.6.5　均勻遞歸樹(shù)最大分支第三章　概率距離　3.1　概率距離的一般性理論　　3.1.1　從函數(shù)空間中的距離談起　　3.1.2　一般度量空間中的概率距離　　3.1.3　復(fù)雜距離與簡(jiǎn)單距離　　3.1.4　復(fù)雜距離的最小化　　3.1.5　理想距離　3.2　lr距離　　3.2.1　lr距離的定義　　3.2.2　lr距離的性質(zhì)　　3.2.3　lr距離的收斂性　3.3　Zolotarev距離　　3.3.1　Zolotarev距離的定義　　3.3.2　Zolotarev距離的基本性質(zhì)　　3.3.3　Zolotarev距離的收斂性　　3.3.4　Zolotarev距離的Lp版本　3.4　距離的光滑化　　3.4.1　一致密度距離的光滑化　　3.4.2　全變差距離的光滑化　　3.4.3　其他光滑化距離第四章　壓縮法　4.1　壓縮法的最初形式　　4.1.1　利用遞歸方程計(jì)算特征數(shù)字　　4.1.2　Rosler方法的基本思想　　4.1.3　不動(dòng)點(diǎn)原理　　4.1.4　收斂到不動(dòng)點(diǎn)　4.2　正態(tài)逼近與距離選擇問(wèn)題　　4.2.1　關(guān)于距離的選用問(wèn)題　　4.2.2　正態(tài)逼近問(wèn)題中的距離選擇　　4.2.3　正態(tài)分布的若干刻畫(huà)定理　4.3　運(yùn)用Zolotarev距離的例子與啟示　　4.3.1　隨機(jī)二叉搜索樹(shù)的子樹(shù)數(shù)目　　4.3.2　一些啟示　4.4　壓縮法的一般形式　　4.4.1　遞歸問(wèn)題的一般性提法　　4.4.2　壓縮映射與不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)　　4.4.3　收斂定理　　4.4.4　K為依賴(lài)于n的隨機(jī)變量的情形　4.5　壓縮收斂定理在組合結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用　　4.5.1　組合結(jié)構(gòu)中的壓縮收斂定理　　4.5.2　轉(zhuǎn)移定理的應(yīng)用：非漸近正態(tài)情形　　4.5.3　中心極限定理(推論5.1)的應(yīng)用　4.6　極限方程退化的情形　　4.6.1　問(wèn)題的由來(lái)　　4.6.2　單一分支退化情形，漸近正態(tài)　　4.6.3　一些應(yīng)用　　4.6.4　多分支退化情形　4.7　連續(xù)參數(shù)情形　　4.7.1　參數(shù)連續(xù)情形下的一般性壓縮定理　　4.7.2　連續(xù)參數(shù)下的中心極限定理　　4.7.3　周期變化情形下的有關(guān)結(jié)果　4.8　關(guān)于分割樹(shù)上頂點(diǎn)數(shù)目的討論　　4.8.1　N(x)的期望與方差　　4.8.2　N(x)的中心極限定理　　4.8.3　適用于本節(jié)結(jié)論的一些例子　　4.8.4　不適用于本節(jié)結(jié)論的一些例子第五章　Polya罐模型　5.1　模型簡(jiǎn)介　5.2　只含兩種顏色球的Polya罐　　5.2.1　Polya-Eggenberger罐　　5.2.2　Bernard Friedman罐　　5.2.3　Bagchi-Pal罐　　5.2.4　Ehrenfest罐　5.3　Polya過(guò)程　　5.3.1　Poisson化　　5.3.2　反Poisson化　5.4　極限性質(zhì)　5.5　廣義Polya罐模型　5.6　在隨機(jī)樹(shù)中的應(yīng)用　　5.6.1　隨機(jī)二又搜索樹(shù)　　5.6.2　m叉搜索樹(shù)　　5.6.3　均勻遞歸樹(shù)第六章　生成函數(shù)　6.1　單變量生成函數(shù)　　6.1.1　普通單變量生成函數(shù)的定義與性質(zhì)　　6.1.2　指數(shù)型生成函數(shù)的定義與性質(zhì)　　6.1.3　單變量生成函數(shù)的應(yīng)用舉例：Catalan數(shù)　　6.1.4　生成函數(shù)的系數(shù)　6.2　雙變量生成函數(shù)　　6.2.1　應(yīng)用示例：有顯式情形　　6.2.2　應(yīng)用示例：無(wú)顯式情形　6.3　概率生成函數(shù)　　6.3.1　概率生成函數(shù)的定義號(hào)陛質(zhì)　　6.3.2　概率生成函數(shù)的應(yīng)用舉例　6.4　生成函數(shù)在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的若干應(yīng)用　　6.4.1　均勻遞歸樹(shù)的最大分支和最小分支　　6.4.2　m叉隨機(jī)搜索樹(shù)上的不成功搜索第七章　經(jīng)典方法在隨機(jī)結(jié)構(gòu)研究中的若干應(yīng)用　7.1　組合概率方法：關(guān)于均勻遞歸樹(shù)上的分支數(shù)目研究　　7.1.1　ζn，1的分布律和極限分布　　7.1.2　一般情形　　7.1.3　ζn，m的聯(lián)合分布　　7.1.4　ζn，m聯(lián)合分布的極限分布　7.2　組合概率方法：關(guān)于Yule樹(shù)的研究　7.3　獨(dú)立和方法：關(guān)于均勻遞歸樹(shù)上的頂點(diǎn)間距離研究　　7.3.1　關(guān)于均勻遞歸樹(shù)上頂點(diǎn)間距離研究的背景介紹　　7.3.2　均勻遞歸樹(shù)上頂點(diǎn)間距離的大數(shù)律　　7.3.3　均勻遞歸樹(shù)上頂點(diǎn)間距離的中心極限定理　7.4　矩方法　7.5　鞅方法　　7.5.1　均勻遞歸樹(shù)的路徑總長(zhǎng)　　7.5.2　Barabasi-Albert隨機(jī)樹(shù)的最大頂點(diǎn)度數(shù)　7.6　Stein方法　　7.6.1　正態(tài)逼近　　7.6.2　Poisson逼近參考文獻(xiàn)索引

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