邊界元法

前言

　　邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來(lái)的一種精確高效的工程數(shù)值分析方法。我國(guó)開(kāi)展工程中邊界元法研究的創(chuàng)導(dǎo)者是杜慶華先生，本人有幸于三十年前作為他的主要合作者開(kāi)始有關(guān)研究，并和研究生一起經(jīng)歷了邊界元法在我國(guó)的三十年發(fā)展歷程。今年是已故杜先生的90歲誕辰，謹(jǐn)以此書(shū)表達(dá)對(duì)先生的敬仰和懷念之情?！　∵吔缭ň哂猩詈竦臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，它作為一種重要的工程數(shù)值方法是在有限元法的啟發(fā)之下發(fā)展起來(lái)的，同時(shí)也始終處于和有限元等其他數(shù)值方法的競(jìng)爭(zhēng)之中。傳統(tǒng)的邊界元法由于求解方程組的系數(shù)矩陣是非對(duì)稱(chēng)滿陣，解題規(guī)模受到很大限制，難以處理大規(guī)模的工程實(shí)際問(wèn)題。快速多極算法的引入已經(jīng)使這一狀況有了改觀，快速多極邊界元法已能求解一些其他數(shù)值方法難以處理的復(fù)雜的大規(guī)模工程分析問(wèn)題。從事工程中邊界元法研究的同行應(yīng)把研究重點(diǎn)放在有限元等其他數(shù)值方法難以處理的問(wèn)題，為工程設(shè)計(jì)分析提供有力的工具?！　∪陙?lái)堅(jiān)持開(kāi)展邊界元法研究，從常規(guī)方法到快速多極邊界元法，得益于研究組不斷有博士生加入這方面的研究。邊界元法的進(jìn)一步發(fā)展也把希望寄托在中青年學(xué)者和研究生身上。作為教科書(shū)，除了講清基本概念之外，必須列出問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，因此書(shū)中有大量的數(shù)學(xué)公式。其中除研究組取得的成果之外，也有一部分引自相關(guān)的文獻(xiàn)。對(duì)于有大量公式的文獻(xiàn)，印刷錯(cuò)誤也是難免，作者在引用時(shí)對(duì)于印刷錯(cuò)誤已經(jīng)注意做了更正。盡管如此，作者還是希望讀者在閱讀本書(shū)或相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)，對(duì)于關(guān)鍵的數(shù)學(xué)公式要學(xué)會(huì)推導(dǎo)，親自核對(duì)，特別是在編程計(jì)算時(shí)尤其必要。學(xué)會(huì)對(duì)主要公式的推導(dǎo)，應(yīng)該是讀者需要掌握的基本功?！　”緯?shū)是本人和王海濤博士合作編著的，第八、第九兩章是由他執(zhí)筆，附錄中的c++程序和三維位勢(shì)問(wèn)題的常規(guī)與快速多極邊界元程序也都是由他提供的。書(shū)中還介紹了我在校期間從事相關(guān)研究的其他學(xué)生的工作，書(shū)中列出了他們和我聯(lián)名發(fā)表的文章，在此對(duì)他們的工作一起表示感謝！

內(nèi)容概要

邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來(lái)的一種精確高效的工程分析數(shù)值方法。經(jīng)過(guò)近五十年的發(fā)展，它不僅在固體與結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域成為有限元法最重要的一種補(bǔ)充，而且在微機(jī)電系統(tǒng)電磁場(chǎng)分析和大型結(jié)構(gòu)電磁波散射分析等領(lǐng)域也得到廣泛應(yīng)用。    本書(shū)分為傳統(tǒng)邊界元法的基本內(nèi)容和近年發(fā)展的快速多極邊界元法等新進(jìn)展兩大部分。前七章包含了傳統(tǒng)邊界元法的基本內(nèi)容，分為三個(gè)單元：前三章為數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)部分，介紹各種問(wèn)題邊界積分方程的建立；第四、第五章為基本數(shù)值方法部分，包括分元離散，數(shù)值積分和方程求解，并結(jié)合二維問(wèn)題介紹其程序?qū)崿F(xiàn)；第六、第七章為幾類(lèi)應(yīng)用專(zhuān)題，主要是含時(shí)間問(wèn)題、幾種非線性問(wèn)題和反問(wèn)題。    第八、第九章介紹快速多極邊界元法和大規(guī)模快速多極邊界元并行算法，第十二章介紹與邊界積分方程相關(guān)的邊界型無(wú)網(wǎng)格法。另外在第十、第十一兩章簡(jiǎn)要介紹國(guó)際上邊界元法比較成功的應(yīng)用，包括在機(jī)械、結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用，和聲場(chǎng)、電磁場(chǎng)分析設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。    書(shū)中的內(nèi)容多于48學(xué)時(shí)或32學(xué)時(shí)的課程能夠講授的內(nèi)容，便于不同學(xué)校、不同專(zhuān)業(yè)的老師根據(jù)需要選講部分內(nèi)容，同時(shí)為研究生提供課外的補(bǔ)充學(xué)習(xí)材料。本書(shū)附帶光盤(pán)，提供彈性力學(xué)平面問(wèn)題的邊界元法C++和Fonran源程序、一個(gè)三維位勢(shì)問(wèn)題的常規(guī)和快速邊界元分析程序的執(zhí)行文件，以及相應(yīng)的考題和算例，供讀者試用。    本書(shū)也可以作為有關(guān)教師和工程技術(shù)人員學(xué)習(xí)邊界元法的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

引言   1 邊界元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)   2 邊界元法的發(fā)展歷史   3 我國(guó)邊界元法研究概況   4 邊界元法研究的最新進(jìn)展   5 邊界元法的應(yīng)用舉例   6 邊界元法的優(yōu)缺點(diǎn)   7 本書(shū)的內(nèi)容安排   參考文獻(xiàn) 第一章 位勢(shì)問(wèn)題的邊界積分方程與邊界元法   1 調(diào)和方程的基本定解問(wèn)題   2 Green等式、基本解及解的積分表達(dá)式   3 邊界積分方程的建立   4 對(duì)于一般問(wèn)題的推廣   5 位勢(shì)問(wèn)題的邊界元法簡(jiǎn)介   習(xí)題   附錄1 指標(biāo)符號(hào)與笛卡兒張量簡(jiǎn)介   參考文獻(xiàn) 第二章 線彈性靜力學(xué)問(wèn)題的邊界積分方程   1 線彈性靜力學(xué)定解問(wèn)題的微分提法   2 Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式   3 線彈性靜力學(xué)的邊界積分方程   4 建立基本解的一種一般方法   習(xí)題   參考文獻(xiàn) 第三章 幾種常見(jiàn)的直接法和間接法邊界積分方程   1 核函數(shù)的擴(kuò)充   2 回轉(zhuǎn)體問(wèn)題   3 彈性薄板彎曲問(wèn)題   4 彈性裂紋問(wèn)題的對(duì)偶邊界積分方程   5 半空間、半平面問(wèn)題   6 位勢(shì)問(wèn)題的間接法邊界積分方程   7 虛應(yīng)力法建立的邊界積分方程   8 位移間斷法建立的邊界積分方程   9 域外回線虛載荷法建立的回線積分方程   10 域外奇點(diǎn)法建立的邊界積分方程   11 邊界積分方程的正則化和基本解的恒等式   習(xí)題   參考文獻(xiàn) 第四章 二維問(wèn)題的邊界元數(shù)值方法與程序?qū)崿F(xiàn)   1 邊界的離散化   2 邊界積分方程的離散化   3 方程的求解以及邊界應(yīng)力、內(nèi)點(diǎn)位移和應(yīng)力的確定   4 邊界元法計(jì)算誤差的一種直接估計(jì)   5 邊界元子域法   習(xí)題   附錄4 彈性力學(xué)平面問(wèn)題邊界元分析軟件部分源程序   參考文獻(xiàn) 第五章 三維問(wèn)題的邊界元數(shù)值方法   1 邊界的離散化   2 邊界積分方程的離散化   3 線性代數(shù)方程組的求解   4 裂紋問(wèn)題對(duì)偶邊界元法   5 邊界元—有限元耦合方法   習(xí)題   附錄5 三維位勢(shì)問(wèn)題邊界元分析軟件使用說(shuō)明   參考文獻(xiàn) 第六章 與時(shí)間有關(guān)問(wèn)題的邊界元法   1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題   2 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題   習(xí)題   附錄6 彈性動(dòng)力學(xué)邊界元法補(bǔ)充公式   參考文獻(xiàn) 第七章 固體力學(xué)非線性問(wèn)題和反問(wèn)題的邊界元法 第八章 快速多極邊界元法 第九章 大規(guī)模問(wèn)題的快速多極邊界元并行算法 第十章 邊界元法在機(jī)械與結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用 第十一章 邊界元法在聲場(chǎng)、電磁場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用 第十二章 幾種邊界型無(wú)網(wǎng)格法簡(jiǎn)介

章節(jié)摘錄

　　邊界積分方程一邊界元法（Boundary Integral Equation-Boundary ElementMethod）簡(jiǎn)稱(chēng)邊界元法（BEM），是用以求解工程與科學(xué)問(wèn)題的常用數(shù)值分析方法之一。它以邊界積分方程為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)采用了與有限元法相似的劃分單元離散技術(shù)，通過(guò)將邊界離散為邊界元，將邊界積分方程離散為代數(shù)方程組，再用數(shù)值方法求解代數(shù)方程組，從而得到原問(wèn)題邊界積分方程的解?！　∵吔缭ň哂羞吔绶e分方程的深厚的數(shù)學(xué)根基，又是在計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展的前提下，在有限元法之后發(fā)展起來(lái)的一種有效的數(shù)值分析方法。它不僅可用于分析彈性力學(xué)等固體力學(xué)問(wèn)題，同時(shí)也應(yīng)用于流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、聲場(chǎng)，以及電磁場(chǎng)等其他物理學(xué)研究領(lǐng)域?！　‘?dāng)人們研究一類(lèi)工程或科學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要建立它的物理模型，對(duì)于同一物理模型往往還能建立多種互相等價(jià)的數(shù)學(xué)模型，而針對(duì)每一種數(shù)學(xué)模型就能發(fā)展相應(yīng)的一種或多種數(shù)值分析方法?！　±鐚?duì)于描述固體、機(jī)械與結(jié)構(gòu)等承受荷載發(fā)生小變形彈性變形規(guī)律的彈性力學(xué)的物理模型，就有三種互相等價(jià)的數(shù)學(xué)模型，或稱(chēng)三種提法：微分提法建立了偏微分方程邊值問(wèn)題，變分提法建立了泛函極值問(wèn)題，而積分提法建立了邊界積分方程。差分法是針對(duì)微分提法的數(shù)值方法，有限元法是針對(duì)泛函極值問(wèn)題的數(shù)值方法，而邊界元法是求解邊界積分方程的數(shù)值方法?！　』诨ハ嗟葍r(jià)的各種數(shù)學(xué)模型的不同數(shù)值分析方法往往各有千秋，不僅互相借鑒，而且在計(jì)算精度與計(jì)算效率等方面互相競(jìng)爭(zhēng)，不斷發(fā)展出更加精確高效的計(jì)算方法。這就給應(yīng)用者提供了選擇解決各類(lèi)問(wèn)題更好手段的可能。在固體與結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方面通常占主導(dǎo)地位的是有限元法，而在流體力學(xué)分析方面差分法則占有主導(dǎo)地位，但對(duì)某些問(wèn)題其他方法可能更加精確高效?！　∵吔缭ǖ淖畲筇攸c(diǎn)是降低了求解問(wèn)題的維數(shù)，將二維問(wèn)題化為其邊界線上的一維問(wèn)題，將三維問(wèn)題化為邊界面上的二維問(wèn)題。它只以邊界變量為基本變量，域內(nèi)未知量可以在需要時(shí)根據(jù)邊界變量求出?！　∵@種方法通常具有較高的精度，而且在一些情況下比有限元法更為有效。

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