近世代數三百題

前言

由馮克勤、李尚志、查建國、章璞編寫的《近世代數引論》，歷經三版反復修改，作為數學系本科生教材使用已二十余年。這本教材有不少較難的習題。十幾年前，我們在教學過程中把這些習題的解答匯集成冊，并不斷增加一些新的問題；2002年起又將手寫稿不斷完善成打印稿，當時都是為自己教學上的方便（有些難題同學問到，我們有時也難以當場作答），從未打算正式出版。近年來，不少同學和青年教師口頭或來信索要這份材料。經過反復和認真考慮，我們決定對原稿進行增刪加修訂，并交付出版。近世代數研究一般的代數結構，它是大學生代數訓練的一門重要課程。這種訓練不僅對于數學系學生是很基本的，而且由于數字計算和數字通信的發(fā)展，近世代數目前已成為通信和計算機科學的重要數學工具。目前我國高等學校近世代數的教學有很大改進和完善的余地。在代數研究方面有一定實力或教師梯隊較強的高校，代數教學具有好的水準，學生受到較為充分的近世代數訓練。而另有部分學校的近世代數為選修課，學時少并且沒有后續(xù)課程，不少學生只是聽到一些莫名其妙的定義和定理，做一點形式邏輯的推導，沒有領會到這門課程的真諦；并且在考試之后，就把學到的一點知識幾乎忘光了。對于二年級或三年級大學生來說，學習近世代數這門課普遍感到比較抽象，但是抽象恰恰是數學的基本特性之一，也是數學訓練的一個重要方面。在這門課程中應當讓學生學會抽象的思維方式，如何從許多具體的數學研究對象中提煉出它們的本質f群、環(huán)、域的定義），并且從這些本質的共性中推導出其他共性（各種類型群、環(huán)、域的公共性質），如何對研究對象進行合理的分類，學會不同研究對象之間的比較方式（即同態(tài)），并以此來研究各種對象的代數結構。這些數學思考方式的訓練不僅對整個數學領域是重要的，而且對于其他科學領域（乃至于社會生活1也是基本的。

內容概要

由馮克勤、李尚志、查建國、章璞編寫的《近世代數引論》，歷經三版反復修改，作為數學系本科生教材使用已二十余年。這本教材有不少較難的習題。本書則把編者們在教學過程中對這些習題的解答匯集成冊，并不斷增加一些新的問題。旨在幫助同學和年輕教師進一步了解解近世代數的真諦，掌握它的思想和方法，提高抽象思維能力。

書籍目錄

第一部分  問題總匯  第1章  群論    §1  集合與映射    §2  群的概念    §3  子群和陪集分解    §4  循環(huán)群    §5  正規(guī)子群和商群    §6  置換群    §7  群在集合上的作用    §8  sylow定理    §9  自由群和群的表現(xiàn)    §10  有限生成Abel群    §11  小階群的結構    §12  可解群和冪零群  第2章  環(huán)論    §1  基本概念    §2  環(huán)的同構定理    §3  同態(tài)的應用    §4  各類整環(huán)    §5  多項式環(huán)  第3章  域論    §1  域的擴張    §2  分裂域    §3  有限域的結構    §4  有限域上的不可約多項式    §5  有限域上的線性代數    §6  可分擴張    §7  正規(guī)擴張  第4章  Galois理論    §1  基本定理    §2  方程的Galois群    §3  方程的根式可解性第二部分  問題解答  第1章  群論    §1  集合與映射    §2  群的概念    §3  子群和陪集分解    §4  循環(huán)群    §5  正規(guī)子群和商群    §6  置換群    §7  群在集合上的作用    §8  Sylow定理    §9  自由群和群的表現(xiàn)    §10  有限生成Abel群    §11  小階群的結構    §12  可解群和冪零群  第2章  環(huán)論    §1  基本概念    §2  環(huán)的同構定理    §3  同態(tài)的應用    §4  各類整環(huán)    §5  多項式環(huán)  第3章  域論    §1  域的擴張    §2  分裂域    §3  有限域的結構    §4  有限域上的不可約多項式    §5  有限域上的線性代數    §6  可分擴張    §7  正規(guī)擴張  第4章  Galois理論    §1  基本定理    §2  方程的Galois群    §3  方程的根式可解性參考文獻

章節(jié)摘錄

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《近世代數三百題》：數學類專業(yè)學習輔導叢書。

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