微分幾何

前言

本書是配合我和黃敬之編寫的《微分幾何（第四版）》教材的教學參考書?！段⒎謳缀巍芬粫詮?987年出版以來，被國內許多高等院校的數學專業(yè)作為教材，我們深表感謝。但是由于國內的高等院校數學專業(yè)的師資條件和學生質量很不平衡，而我們的教材又力求用近代的觀點來講授微分幾何的基礎內容，所以這樣一本與教材配套的教學參考書對于部分教師和學生，使他們能更好地掌握教材的內容，是必要的。這本書的主題思想有兩個：一是學習指導，二是習題選解。在“學習指導”部分，我們突出了教材中的重點和難點以及解題所需要的基本概念和基本公式。不過，為了盡量避免和教材重復，對于基本概念，我們只列出名詞，具體內容讀者可以查閱教材。讀者使用這本輔導書時，必須緊密結合教材，“學習指導”只起加深對教材的理解和復習鞏固作用，同時為解題做好準備?！傲曨}選解”分成兩部分：一部分是習題，除了教材中的習題外，我們還選了一些其他教材中的習題，它們分散列于有關章節(jié)的后面；另一部分是習題選解和解題指導，放在這本書的第二部分。這本書的合作者王匯淳副教授已不幸故去，所以編寫和補充的工作由我獨自完成。我年事已高，顯得有些力不從心，希望使用這本參考書的讀者，對本書的錯誤和不足之處，繼續(xù)給予批評和指正。

內容概要

本書是學習《微分幾何(第四版)》(梅向明、黃敬之編)的配套參考書。書中第一部分是學習指導及習題，指出各章節(jié)的理論要點，并通過例題提高讀者對概念、定理的認知水平。第二部分是解題指導與答案，對各類習題給出了詳盡的分析和規(guī)范的解題過程，以期提高讀者的解題能力。    本書可供研讀《微分幾何(第四版)》的學生、教師，以及自學本課程的讀者參考。

書籍目錄

第一部分  學習指導及習題　第一章  曲線論　　§1  向量函數    　1.1  向量函數的極限    　1.2  向量函數的連續(xù)性    　1.3  向量函數的微商及泰勒展開式    　1.4  向量函數的積分    　習題  1.1　　§2  曲線的概念    　習題  1.2　　§3  空間曲線    　3.1  空間曲線的密切平面    　3.2  空間曲線的基本三棱形    　3.3  空間曲線的曲率、撓率和伏雷內公式    　3.4  空間曲線在一點鄰近的結構    　3.5  空間曲線論的基本定理    　3.6  一般螺線    　習題 1.3    §4  全章小結　第二章  曲面論　　§1  曲面的概念    　1.1  簡單曲面及其參數表示    　1.2  光滑曲面    　1.3  曲面上的曲線族和曲線網    　習題  2.1　　§2  曲面的　第一基本形式    　2.1  曲面的　第一基本形式  曲面上曲線的弧長    　2.2  曲面上兩方向的交角    　2.3  正交曲線族和正交軌線    　2.4  曲面域的面積    　2.5  等距變換    　2.6  保角變換    　習題  2.2　　§3  曲面的　第二基本形式    　3.1  曲面的　第二基本形式    　3.2  曲面上曲線的曲率    　3.3  迪潘指標線    　3.4  曲面的漸近方向和共軛方向    　3.5  曲面的主方向和曲率線    　3.6  曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率    　3.7  曲面在一點鄰近的結構    　3.8  高斯曲率的幾何意義    　習題  2.3　　§4  直紋面和可展曲面    　4.1  直紋面    　4.2  可展曲面    　習題  2.4　　§5  曲面論的基本定理    　5.1  曲面的基本方程和克里斯托費爾符號    　5.2  曲面的黎曼曲率張量和高斯-科達齊-邁因納爾迪公式    　5.3  曲面論的基本定理    　習題  2.5　　§6  曲面上的測地線    　6.1  曲面上曲線的測地曲率    　6.2  曲面上的測地線    　6.3  曲面上的半測地坐標網    　6.4  曲面上測地線的短程性    　6.5  高斯-波涅公式    　6.6  曲面上向量的平行移動    　習題  2.6　　§7  常高斯曲率的曲面    　7.1  常高斯曲率的曲面    　7.2  偽球面    　7.3  羅氏幾何    　習題  2.7　　§8  全章小結　第三章  外微分形式和活動標架　　§1  外微分形式    　1.1  格拉斯曼代數    　習題  3.1.1    　1.2  外微分形式    　習題  3.1.2    　1.3  弗羅貝尼烏斯定理    　習題  3.1.3　　§2  活動標架    　2.1  合同變換群    　2.2  活動標架    　2.3  活動標架法　　§3  用活動標架法研究曲面    　習題  3.3　第四章  整體微分幾何初步　　§1  平面曲線的整體性質    　1.1  旋轉數    　習題  4.1.1    　1.2    　曲線    　習題  4.1.2    　1.3  等周不等式    　習題  4.1.3    　1.4  四頂點定理    　習題  4.1.4    　1.5  等寬曲線    　習題  4.1.5    　1.6  平面曲線上的Crofton公式    　習題  4.1.6　　§2  空間曲線的整體性質    　2.1  芬切爾定理    　習題  4.2.1    　2.2  球面上的Crofton公式    　習題  4.2.2    　2.3  Fary-Milnor定理    　2.4  閉曲線的全撓率    　習題  4.2.4　　§3  曲面的整體性質    　3.1  曲面的整體定義    　3.2  曲面的一般性質    　3.3  卵形面    　習題  4.3.3    　3.4  完備曲面    　3.5  負常高斯曲率的曲面    　習題  4.3.5　　§4  完備曲面的比較定理    　4.1  完備曲面的極坐標系    　4.2  比較定理    　4.3  完備曲面的比較定理    　習題  4.4第二部分  解題指導與答案  第一章  曲線論    　習題  1.1    　習題  1.2    　習題  1.3  第二章  曲面論    　習題  2.1    　習題  2.2    　習題  2.3    　習題  2.4    　習題  2.5    　習題  2.6    　習題  2.7  第三章  外微分形式和活動標架    　習題  3.1.1    　習題  3.1.2    　習題  3.1.3    　習題  3.3  第四章  整體微分幾何初步    　習題  4.1.1    　習題  4.1.2    　習題  4.1.3    　習題  4.1.4    　習題  4.1.5    　習題  4.1.6    　習題  4.2.1    　習題  4.2.2    　習題  4.2.4    　習題  4.3.3    　習題  4.3.5    　習題  4.4

章節(jié)摘錄

插圖：微分幾何的發(fā)展，就其使用的數學方法而言可以分為三個階段。第一階段由牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leihniz）創(chuàng)立微積分開始，直至18世紀初，在此期間，歐拉（Euler）對微分幾何學的創(chuàng)立和發(fā)展作出了巨大貢獻。到了1827年，高斯（Gauss）在曲面論的研究方面有了重大突破——發(fā)現曲面的高斯曲率的內蘊性，開始了微分幾何發(fā)展的第二階段。這一階段基本形成了經典微分幾何的內容和體系，使用的數學方法是向量分析的方法。1885年，德國數學家黎曼（Riemann）把高斯的內蘊幾何思想進一步發(fā)展，并使用和發(fā)展了一套完整的張量分析的算法，展開了黎曼幾何的一般理論。微分幾何發(fā)展的第三個階段是以法國數學家嘉當（cartan）發(fā)展外微分法和活動標架理論為標志，數學大師嘉當精巧地把李群論與微分幾何結合起來，外微分和活動標架法就成為這一階段研究問題的重要數學方法?！段⒎謳缀危ǖ谒陌妫方滩氖紫葢孟蛄糠治龅姆椒ń榻B曲線與曲面的理論。篇首作為預備知識，先講向量函數的概念和性質，然后用兩章的篇幅介紹曲線和曲面的一般理論。第三章介紹外微分形式和活動標架法，第四章講述了整體微分幾何中的一些重要定理。本參考書將對教材中習題作出選解，并增補少量習題供讀者練習。

編輯推薦

《微分幾何(第4版):學習指導與習題選解》：微分幾何的主要內容是三維歐氏空間的曲線論和曲面論，歐拉是微分幾何的重要奠基人，他早在1736年就引進了平面曲線的內蘊坐標概念，即以曲線弧長作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內蘊幾何的研究，曲面?zhèn)惖牡旎耸?9世紀的高斯……

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