數(shù)值分析

前言

　　隨著計算機發(fā)展而日益興起的計算科學已經(jīng)深入滲透到自然科學與工程技術等各個領域，并成為繼牛頓與伽利略創(chuàng)立理論研究與科學實驗兩大科學方法后的第三種科學方法。因此，目前數(shù)值分析受到了工程技術領域專家以及科技工作者的重視?！　”緯榻B了現(xiàn)代科學與工程計算中常用的數(shù)值計算方法，其內容包括：誤差分析的基本知識、非線性方程求根、線性代數(shù)方程組的直接解法和迭代解法、函數(shù)插值、函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程數(shù)值求解以及矩陣特征值與特征向量的計算?！　”緯蕴岣邔W生的數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)學生科學計算的實際能力為要旨，其特點是：（1）語言通俗易懂，內容組織由淺入深；（2）著重數(shù)值計算基本原理和各種方法的基本思想闡述，注重數(shù)學概念的嚴密性和準確性；（3）加強數(shù)值實驗，強化實踐能力的培養(yǎng)。書中每章都給出了數(shù)值計算的應用實例以及數(shù)值實驗題，以幫助讀者掌握各種數(shù)值計算方法，并提高應用數(shù)值計算方法解決實際問題的能力。　　本書可作為高等學校工科碩士研究生以及力學、計算機等專業(yè)本科生“數(shù)值分析”（或“計算方法”）課程的教材或參考書，也可供從事科學與工程計算的科技人員參考。其中第一、二章由歐陽潔執(zhí)筆，第三、四章由車剛明執(zhí)筆，第五、六、七章由聶玉峰執(zhí)筆，第八、九章由王振海執(zhí)筆。最后由歐陽潔統(tǒng)一定稿。全書的講授約需60學時?！　∠抻谒胶蜁r間，書中定有疏漏之處，懇望讀者批評指正。

內容概要

　　系統(tǒng)地介紹了科學與工程計算中常用的數(shù)值計算方法，其內容包括：誤差分析的基本知識、非線性方程求根、線性代數(shù)方程組的直接解法和迭代解法、函數(shù)插值、函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程數(shù)值求解以及矩陣特征值與特征向量的計算?！　　稊?shù)值分析（研究生教學用書）》注重數(shù)值計算基本思想的闡述以及計算方法的應用。內容取材精煉，層次清晰，邏輯嚴謹，系統(tǒng)性強。書中每章都附有數(shù)值計算的應用實例、習題以及數(shù)值實驗題。　　《數(shù)值分析（研究生教學用書）》可作為高等學校工科碩士研究生“數(shù)值分析”課程以及力學、計算機等專業(yè)本科生“計算方法”課程的教材或教學參考書，也可供從事科學與工程計算的科技人員參考。

書籍目錄

第一章 緒論§1.1 數(shù)值分析的任務§1.2 誤差基礎知識1.2.1 誤差的來源1.2.2 誤差與有效數(shù)字1.2.3 數(shù)值運算的誤差估計§1.3 誤差定性分析及數(shù)值運算中的若干原則1.3.1 病態(tài)問題與條件數(shù)1.3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性1.3.3 數(shù)值運算中的若干原則評注應用：Koch分形曲線的生成習題數(shù)值實驗題第二章 非線性方程求根§2.1 概述§2.2 二分法§2.3 不動點迭代的基本理論2.3.1 不動點迭代2.3.2 不動點迭代的全局收斂性2.3.3 不動點迭代的局部收斂性與收斂階2.3.4 不動點迭代的加速§2.4 Newton迭代2.4.1 Newton迭代及其幾何意義2.4.2 Newton迭代的收斂性§2.5 Newton迭代的變形2.5.1 求重根的修正Newton法2.5.2 Newton下山法2.5.3 弦割法評注應用：空中電纜(纜繩)長度的計算習題數(shù)值實驗題第三章 解線性代數(shù)方程組的直接法§3.1 Gauss消元法3.1.1 Gauss順序消元法3.1.2 Gauss主元素消元法§3.2 矩陣三角分解法3.2.1 直接三角分解法3.2.2 列主元三角分解法3.2.3 平方根法3.2.4 追趕法§3.3 方程組的性態(tài)與誤差分析3.3.1 向量和矩陣的范數(shù)3.3.2 方程組的性態(tài)與矩陣條件數(shù)3.3.3 病態(tài)方程組的求解評注應用：生產計劃的安排習題數(shù)值實驗題第四章 解線性代數(shù)方程組的迭代法§4.1 向量序列和矩陣序列的極限§4.2 迭代法的基本理論4.2.1 簡單迭代及其收斂性4.2.2 Gauss-seidel迭代及其收斂性§4.3 幾種常用的迭代法4.3.1 Jacobi迭代4.3.2 基于Jacobi迭代的Gauss—Seidel迭代4.3.3 逐次超松弛迭代評注應用：薄板的熱傳導習題數(shù)值實驗題第五章 函數(shù)插值§5.1 插值問題與插值多項式5.1.1 插值問題5.1.2 插值多項式§5.2 Lagrange插值5.2.1 Lagrange插值基函數(shù)5.2.2 Lagrange插值公式§5.3 Newton插值5.3.1 差商及其性質5.3.2 Newton插值公式§5.4 等距節(jié)點插值5.4.1 差分算子及其性質5.4.2 等距節(jié)點插值公式§5.5 Hermite插值5.5.1 Hermite插值多項式的構造5.5.2 Hermite插值多項式的存在唯一性以及插值余項5.5.3 帶不完全導數(shù)的Hermite插值多項式舉例§5.6 分段低次插值5.6.1 高次插值評述5.6.2 分段插值§5.7 三次樣條插值5.7.1 樣條插值函數(shù)的定義5.7.2 三次樣條插值函數(shù)的構造5.7.3 三次樣條插值函數(shù)的收斂性評注應用：機翼曲線繪制習題數(shù)值實驗題第六章 函數(shù)的最佳平方逼近與數(shù)據(jù)的最小二乘擬合§6.1 預備知識6.1.1 賦范線性空間與內積空間6.1.2 正交多項式系§6.2 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近6.2.1 最佳平方逼近問題的求解6.2.2 基于正交函數(shù)基的最佳平方逼近§6.3 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合6.3.1 數(shù)據(jù)擬合模型及其求解6.3.2 離散Gram矩陣的討論6.3.3 用關于點集的正交函數(shù)系作最小二乘曲線擬合評注應用：鋼包侵蝕預測習題數(shù)值實驗題第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分§7.1 數(shù)值積分的基本概念7.1.1 數(shù)值求積公式的代數(shù)精度7.1.2 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性§7.2 插值型求積公式7.2.1 插值型求積公式7.2.2 Newton-Cotes求積公式7.2.3 幾種低階求積公式的截斷誤差§7.3 復化求積算法7.3.1 復化求積算法7.3.2 誤差的后驗近似估計§7.4 RomlDerg4求積算法7.4.1 Romberg求積算法7.4.2 外推技巧§7.5 Gauss型求積公式7.5.1 Gauss型求積公式的一般理論7.5.2 幾種常見的Gauss型求積公式§7.6 數(shù)值微分7.6.1 插值型求導公式7.6.2 Taylor級數(shù)展開法評注應用：估計水塔的水流量習題數(shù)值實驗題第八章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法§8.1 引言8.1.1 問題及基本假設8.1.2 離散化方法§8.2 幾種簡單的單步法8.2.1 顯式Euler公式8.2.2 隱式Euler公式8.2.3 梯形公式8.2.4 Euler預測校正公式8.2.5 單步法的局部截斷誤差和階§8.3 Runge—Kutta方法……第九章 矩陣特征值與特征向量的計算參考文獻

章節(jié)摘錄

　　在求解數(shù)學模型而進行算法設計時，人們自然希望利用等解變換將問題可算化．然而，實際上這種等解變換往往并不可能．這意味著原問題的解往往并不等于變換后替代問題的解．因而我們需要分析逼近解（變換后的替代問題的解）與精確解（原數(shù)學模型的解）之間的誤差及其收斂性．另外，由于運算過程中存在舍入誤差，實際中也需要討論舍人誤差對計算結果的影響，即數(shù)值穩(wěn)定性．因此，研究算法的可靠性（收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計）是數(shù)值分析的第二個任務．　　一個可靠的算法還應具備適用范圍廣、運算量少、存貯單元省、邏輯結構簡單等特點．因此，研究算法的時間復雜度（計算機運行時間）、空間復雜度（占據(jù)計算機存貯空間的多少）以及邏輯復雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護的因素）等，是數(shù)值分析的第三個任務．　　科學與工程計算中涉獵的許多算法具有普適性．現(xiàn)在流行的軟件（如Mat．1ab、Maple、Mathematica等）已將一些具有普適性的算法設計成簡單的函數(shù)，調用之后便可以得到計算結果．但由于實際問題的具體特征、復雜性以及算法自身的適用范圍，決定了應用中必須選擇、設計適合于特定問題的求解算法，因而掌握一些具有普適性的算法以及數(shù)值分析的基本思想非常重要．本書將介紹科學與工程計算中最常用的基本數(shù)值方法以及相關理論，具體內容包括：非線性方程求根、線性代數(shù)方程組求解、函數(shù)插值、函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值微積分、常微分方程數(shù)值求解以及矩陣特征值與特征向量計算．

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