高等數(shù)學(xué)

前言

　　“高等數(shù)學(xué)”是高等院校非數(shù)學(xué)類各專業(yè)的重要基礎(chǔ)理論課，是傳授微積分學(xué)知識、培養(yǎng)理性思維和創(chuàng)新能力的綜合載體，也是弘揚數(shù)學(xué)文化、培養(yǎng)科學(xué)精神的重要平臺。本書是根據(jù)教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會制定的“工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”，并結(jié)合我們在武漢大學(xué)多年來的教學(xué)實踐經(jīng)驗編寫而成的。　　本書可作為高等院校工科各專業(yè)本科“高等數(shù)學(xué)”或“微積分”課程教材（年學(xué)時180-216學(xué)時），對于少學(xué)時的有關(guān)專業(yè)作適量刪減后也同樣適用.本書分為上、下兩冊，上冊內(nèi)容包括極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、反常積分、微分方程等；下冊內(nèi)容包括空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微分學(xué)、重積分、曲線積分與曲面積分、含參變量積分、無窮級數(shù)等。　　本書在編寫過程中，我們仔細研讀了國內(nèi)外相關(guān)優(yōu)秀教材，并進行了廣泛的調(diào)查研究，總結(jié)分析了多年來講授“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)經(jīng)驗。我們始終遵循通過知識的傳授，著力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，使學(xué)生將來有進一步更新知識的能力；著力于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的意識和興趣，逐步提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力；滲透現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法，為進一步了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識開辟延伸接口的原則，致力于將本書打磨成既繼承傳統(tǒng)教材的優(yōu)點，又積極慎重更新體系與內(nèi)容，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和觀點融入經(jīng)典內(nèi)容之中，以適應(yīng)新世紀對工程技術(shù)人才數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求?！　”窘滩挠腥缦绿攸c：　?。?）在突出微積分的基本思想和基本方法的同時，努力拓寬和加強數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，以便讀者在學(xué)習(xí)中能夠較全面地了解各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，從總體上把握學(xué)習(xí)微積分的思想方法。本書加強了極限理論，從確界原理出發(fā)，講解并證明了極限理論中的幾個基本定理；有重點地證明了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個重要性質(zhì)；增加了平面點列的極限、二元函數(shù)二次極限、多元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念、反常二重積分、曲面積分與曲面形狀無關(guān)（只與曲面邊界有關(guān)）的條件；介紹了數(shù)值計算的有關(guān)概念。教材盡量使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言、術(shù)語和符號，為與現(xiàn)代數(shù)學(xué)對接建立了延伸發(fā)展的接口。此外，還增加了一些現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中頗有用處的數(shù)學(xué)知識。例如，一致連續(xù)、一致收斂、含參變量積分、外微分等。

內(nèi)容概要

　　《高等數(shù)學(xué)（上冊）》是根據(jù)教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會制定的“工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”編寫而成的，分為上、下兩冊?！　∩蟽詢?nèi)容包括極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、反常積分、微分方程等?！　∠聝詢?nèi)容包括空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微分學(xué)、重積分、曲線積分與曲面積分、含參變量積分、無窮級數(shù)等。　　《高等數(shù)學(xué)（上冊）》敘述清晰、層次分明、通俗易懂、例題豐富，可供高等院校工科各個專業(yè)作為教材使用。

書籍目錄

第1章 極限與連續(xù)第1節(jié) 預(yù)備知識1.1 集合1.2 區(qū)間與鄰域1.3 數(shù)集的界1.4 映射與函數(shù)習(xí)題1-1第2節(jié) 數(shù)列極限2.1 數(shù)列與子數(shù)列的概念2.2 數(shù)列極限的概念2.3 數(shù)列極限的性質(zhì)2.4 數(shù)列極限的四則運算法則2.5 數(shù)列極限存在的判別定理習(xí)題1-2第3節(jié) 函數(shù)極限3.1 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限3.2 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限3.3 單側(cè)極限習(xí)題1-3第4節(jié) 函數(shù)極限的性質(zhì)與運算法則4.1 函數(shù)極限的性質(zhì)4.2 函數(shù)極限的運算法則習(xí)題1-4第5節(jié) 函數(shù)極限存在的條件5.1 歸結(jié)原理5.2 夾逼準則與兩個重要極限5.3 函數(shù)極限的柯西收斂準則習(xí)題1-5第6節(jié) 無窮小與無窮大6.1 無窮小6.2 無窮大6.3 無窮小的比較習(xí)題1-6第7節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點7.1 函數(shù)的連續(xù)性7.2 間斷點及其分類7.3 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)題1-7第8節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)題1-8第9節(jié) 一致連續(xù)性習(xí)題1-9總習(xí)題一第2章 導(dǎo)數(shù)與微分第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念1.1 引例1.2 導(dǎo)數(shù)的定義1.3 求導(dǎo)數(shù)舉例1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系習(xí)題2-1第2節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.4 初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與基本求導(dǎo)法則習(xí)題2-2第3節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.2 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.3 相關(guān)變化率習(xí)題2-3第4節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)4.1 高階導(dǎo)數(shù)的定義4.2 高階導(dǎo)數(shù)的運算法則習(xí)題2-4第5節(jié) 微分5.1 微分的概念5.2 微分的基本公式和運算法則5.3 高階微分5.4 微分在近似計算中的應(yīng)用習(xí)題2-5總習(xí)題二第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1節(jié) 微分中值定理1.1 費馬定理1.2 羅爾中值定理1.3 拉格朗日中值定理1.4 柯西中值定理習(xí)題3-1第2節(jié) 泰勒公式習(xí)題3-2第3節(jié) 洛必達法則3.1 “O/O”型未定式3.2 “∞/∞型未定式3.3 其它類型的未定式3.4 使用洛必迭法則應(yīng)該注意的問題習(xí)題3-3第4節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值4.1 函數(shù)的單調(diào)性4.2 函數(shù)的極值4.3 函數(shù)的最大值最小值習(xí)題3-4第5節(jié) 曲線的凸性與函數(shù)作圖5.1 曲線的凸性5.2 漸近線5.3 函數(shù)的作圖習(xí)題3-5第6節(jié) 平面曲線的曲率6.1 弧微分6.2 曲線的曲率6.3 曲率的計算6.4 曲率圓與曲率半徑習(xí)題3-6總習(xí)題三第4章 不定積分第1節(jié) 原函數(shù)與不定積分的概念1.1 原函數(shù)與不定積分1.2 基本積分表1.3 不定積分的線性運算法則習(xí)題4-1第2節(jié) 不定積分的換元積分法與分部積分法2.1 換元積分法2.2 分部積分法習(xí)題4-2第3節(jié) 有理函數(shù)的不定積分習(xí)題4-3第4節(jié) 可有理化函數(shù)的不定積分4.1 三角函數(shù)有理式的不定積分4.2 簡單無理函數(shù)的不定積分習(xí)題4-4總習(xí)題四第5章 定積分及其應(yīng)用第1節(jié) 定積分的概念1.1 具體實例1.2 定積分的定義1.3 定積分的幾何意義習(xí)題5-1第2節(jié) 定積分的性質(zhì)2.1 定積分的基本性質(zhì)2.2 積分中值定理習(xí)題5-2第3節(jié) 微積分基本定理習(xí)題5-3第4節(jié) 定積分的計算方法4.1 定積分的換元積分法4.2 定積分的分部積分法習(xí)題5-4第5節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例5.1 平面圖形的面積5.2 體積5.3 平面曲線的弧長習(xí)題5-5第6節(jié) 定積分在物理中的應(yīng)用6.1 質(zhì)量6.2 功6.3 液體的壓力6.4 引力6.5 靜力矩與質(zhì)心6.6 轉(zhuǎn)動慣量6.7 平均值、均方根值習(xí)題5-6第7節(jié) 定積分的近似計算7.1 矩形法7.2 梯形法7.3 拋物線法習(xí)題5-7總習(xí)題五第6章 反常積分第1節(jié) 積分限為無窮的反常積分1.1 積分限為無窮的反常積分概念1.2 積分限為無窮的反常積分性質(zhì)及判別法習(xí)題6-1第2節(jié) 無界函數(shù)的反常積分2.1 無界函數(shù)的反常積分概念2.2 無界函數(shù)的反常積分的性質(zhì)及判別法習(xí)題6-2總習(xí)題六第7章 微分方程第1節(jié) 微分方程的基本概念1.1 引例1.2 常微分方程的基本概念習(xí)題7-1第2節(jié) 一階微分方程2.1 可分離變量的微分方程2.2 可化為可分離變量型的方程2.3 一階線性微分方程2.4 伯努利方程習(xí)題7-2第3節(jié) 可降階的高階微分方程3.1 y（n）=f（x）情形3.2 y＂=f（x，y＇）情形3.3 y＂=f（y，y＇）情形3.4 其它情形3.5 二階微分方程應(yīng)用舉例習(xí)題7-3第4節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)4.1 二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)4.2 二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)4.3 解線性微分方程的常數(shù)變易法習(xí)題7-4第5節(jié) 常系數(shù)線性微分方程5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程5.3 歐拉方程5.4 常系數(shù)線性微分方程應(yīng)用舉例習(xí)題7-5總習(xí)題七部分習(xí)題答案

章節(jié)摘錄

　　第7節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點　　自然界中，有許多現(xiàn)象都具有這樣的特點：如人的身高隨著時間的變化而變化，當時間的變化很微小時，人的身高變化也很微?。辉谝荒曛?，溫度隨時間而變化，當時間變化很微小時，溫度的變化也很微小。反映在數(shù)學(xué)上，表現(xiàn)它們的函數(shù)的共同特點就是：自變量的變化很小時，函數(shù)值的變化也很小，這就是連續(xù)。連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，在實際問題中普遍存在連續(xù)性問題。本節(jié)將基于極限概念精確刻畫連續(xù)性并討論連續(xù)函數(shù)的運算及性質(zhì)?！　?.1 函數(shù)的連續(xù)性　　所謂“連續(xù)函數(shù)”，從幾何上表現(xiàn)為它的圖形是坐標平面上一條連綿不斷的曲線。而所謂“不連續(xù)函數(shù)”從幾何上表現(xiàn)為它的圖形在某些點處“斷開”了?！　‘斎?，我們不能滿足于這種直觀的認識，因為圖形只能幫助我們更形象地理解概念，而不能揭示概念的本質(zhì)屬性。另一方面，圖形給我們的連續(xù)性概念是“連綿一片”的，因而是整體的，但討論函數(shù)時，本質(zhì)的要求是把連續(xù)性歸結(jié)為“局部的”，即在一點的連續(xù)性?！　　?/pre>








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