微積分

前言

　　本書第一版出版于1999年9月，是國內(nèi)出版較早的高等教育面向21世紀課程教材。第二版出版于2003年8月，屬普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材。在國內(nèi)的微積分教材改革中，本書有一定影響?！　「鶕?jù)第二版出版以來五年多的使用情況，參照教育部高等學(xué)校教學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會新修訂的“工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”，結(jié)合編者在教學(xué)實踐中的新的體會和同行反饋的寶貴意見，決定再次修訂?！　”緯皟砂娴闹饕厣窃诒３謧鹘y(tǒng)教材、特別是同濟大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)》的優(yōu)點的基礎(chǔ)上，努力貫徹改革精神，體現(xiàn)教改成果。本次修訂時注意保持這一特色，同時使教材進一步貼近廣大學(xué)生的實際，更便于教學(xué)和學(xué)生自學(xué)。為此在保持原有框架和內(nèi)容、風(fēng)格不變的前提下，對部分內(nèi)容作了修改和重寫。比如對函數(shù)的凸性，盡管其有近代數(shù)學(xué)的應(yīng)用背景，但同行反映實際教學(xué)時有不便之處，容易使學(xué)生在閱讀參考材料時產(chǎn)生混淆，故這次重新處理為曲線的凹凸性。又如對曲面的切平面和法向量的導(dǎo)出，這次作了修訂，更加突出其幾何直觀，便于學(xué)生掌握。再如對“傅里葉級數(shù)與最佳均方逼近”這一節(jié)打*號的內(nèi)容的處理，作了進一步的精簡，突出主要思想，簡化細節(jié)。這樣的修訂都是圍繞如何有利于學(xué)生學(xué)習(xí)這一目標進行的。對數(shù)學(xué)記號和邏輯符號的使用，在保持適當介紹的做法下。這次修訂時確定在定義、定理的敘述中一般采用語言表述，適當限制使用范圍，以降低內(nèi)容的抽象度，減少初學(xué)者的困難?！　榱吮阌诮虒W(xué)，我們對個別節(jié)、目的內(nèi)容進行了重新組合。比如原來把極限的性質(zhì)單列一節(jié)，這樣做有它的優(yōu)點，但實際教學(xué)時發(fā)現(xiàn)教學(xué)安排不甚方便，故這次把數(shù)列極限的性質(zhì)和函數(shù)極限的性質(zhì)適當簡化處理，并分列到“數(shù)列極限的定義”和“函數(shù)極限的定義”兩節(jié)中，充實后的這兩節(jié)，正好作為各一次授課的內(nèi)容。按照同樣的精神，對少數(shù)例題和習(xí)題作了調(diào)整，引入了一些被教學(xué)實踐證明有較高效能的較為新穎的概念題和練習(xí)題，刪除了少數(shù)并不十分必要的習(xí)題，以更加符合學(xué)生的認識規(guī)律和學(xué)習(xí)需求。

內(nèi)容概要

本書參照新修訂的“工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”，結(jié)合當前的教學(xué)實際，在原書第二版的基礎(chǔ)上修訂而成。在保持同濟編教材優(yōu)秀傳統(tǒng)的同時，努力貫徹教學(xué)改革的精神，加強對微積分的基本概念、理論、方法和應(yīng)用實例的介紹，突出微積分的應(yīng)用。本書結(jié)構(gòu)嚴謹，邏輯清晰，文字表述詳盡通暢，平易近人，易教易學(xué)，改編后的內(nèi)容編排也更利于教學(xué)的組織和安排。所選用的習(xí)題突出數(shù)學(xué)基本能力的訓(xùn)練而不過分追求技巧，既有傳統(tǒng)的優(yōu)秀題目，又從國外教材中吸取或改編了一些有較高訓(xùn)練效能的新穎習(xí)題。通過數(shù)學(xué)實驗將微積分與數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用有機結(jié)合起來是本書的一個特色，經(jīng)過改編，數(shù)學(xué)實驗與教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合更加緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。書中有些內(nèi)容用楷書排印或加了“*”號，教師可靈活掌握。本書可作為工科和其他非數(shù)學(xué)類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)(微積分)教材或參考書。    全書分上、下兩冊出版。上冊的內(nèi)容為函數(shù)、極限與連續(xù)，一元函數(shù)微分學(xué)，一元函數(shù)積分學(xué)和微分方程，四個與一元函數(shù)微積分相關(guān)的數(shù)學(xué)實驗，附錄中有數(shù)學(xué)軟件Mathematica的簡介。下冊內(nèi)容為向量代數(shù)與空間解析幾何，多元函數(shù)微分學(xué)，重積分，曲線積分與曲面積分，無窮級數(shù)，三個與多元微積分和級數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)實驗。書末附有習(xí)題答案與提示。

書籍目錄

預(yù)備知識    一、集合(1)  二、映射(4)  三、一元函數(shù)(6)  習(xí)題(17)第一章  極限與連續(xù)  第一節(jié)  微積分中的極限方法  第二節(jié)  數(shù)列的極限    一、數(shù)列極限的定義(24)  二、數(shù)列極限的性質(zhì)(29)  習(xí)題1-2(31)  第三節(jié)  函數(shù)的極限    一、函數(shù)極限的定義(32)  二、函數(shù)極限的性質(zhì)(38)    習(xí)題1-3(40)  第四節(jié)  極限的運算法則    一、無窮小與無窮大(41)  二、極限的運算法則(45)  習(xí)題l  4(49)  第五節(jié)  極限存在準則與兩個重要極限    一、夾逼準則(50)  二、單調(diào)有界收斂準則(53)  習(xí)題1-5(57)  第六節(jié)  無窮小的比較    一、無窮小的比較(58)  二、等價無窮小(60)  習(xí)題1-6(63)  第七節(jié)  函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運算    一、函數(shù)的連續(xù)性(63)  二、函數(shù)的間斷點(66)    三、連續(xù)函數(shù)的運算(68)  習(xí)題1-7(70)  第八節(jié)  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)    一、最大值最小值定理(71)  二、零點定理與介值定理(72)    習(xí)題1-8(75)    總習(xí)題一第二章  一元函數(shù)微分學(xué)  第一節(jié)  導(dǎo)數(shù)的概念    一、導(dǎo)數(shù)概念的引出(80)  二、導(dǎo)數(shù)的定義(81)    三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系(85)  習(xí)題2-1(86)  第二節(jié)  求導(dǎo)法則    一、函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則(87)  二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(91)    三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(93)  習(xí)題2  2(96)  第三節(jié)  隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(98)  二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(102)    三、相關(guān)變化率(104)  習(xí)題2-3(106)  第四節(jié)  高階導(dǎo)數(shù)    習(xí)題2-4(111)  第五節(jié)  函數(shù)的微分與函數(shù)的線性逼近    一、微分的定義(112)  二、微分公式與運算法則(114)    三、微分的意義與應(yīng)用(116)    習(xí)題2-5(120)  第六節(jié)  微分中值定理    習(xí)題2  6(126)  第七節(jié)  泰勒公式    習(xí)題2-7(133)  第八節(jié)  洛必達法則    一、未定式(134)  二、未定式(136)  三、其他類型的未定式(137)    習(xí)題2-8(139)  第九節(jié)  函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性的判別法    一、函數(shù)單調(diào)性的判別法(140)  二、曲線的凹凸性及其判別法(143)    習(xí)題2-9(149)  第十節(jié)  函數(shù)的極值與最大、最小值    一、函數(shù)的極值及其求法(150)  二、最大值與最小值問題(153)    習(xí)題2  10(157)  第十一節(jié)  曲線的曲率    一、平面曲線的曲率概念(159)  二、曲率公式(160)  習(xí)題2  u(164)*第十二節(jié)  一元函數(shù)微分學(xué)在經(jīng)濟中的應(yīng)用    總習(xí)題二第三章  一元函數(shù)積分學(xué)  第一節(jié)  不定積分的概念及其性質(zhì)    一、原函數(shù)和不定積分的概念(172)  二、基本積分表(174)    三、不定積分的性質(zhì)(175)  習(xí)題3  l(177)  第二節(jié)  不定積分的換元積分法    一、不定積分的第一類換元法(177)  二、不定積分的第二類換元法(182)    習(xí)題3-2(185)  第三節(jié)  不定積分的分部積分法    習(xí)題3-3(189)  第四節(jié)  有理函數(shù)的不定積分    習(xí)題3  4(195)  第五節(jié)  定積分    一、定積分問題舉例(195)  二、定積分的定義(198)    三、定積分的性質(zhì)(201)  習(xí)題3  5(205)  第六節(jié)  微積分基本定理    一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(206)  二、牛頓-萊布尼茨公式(207)    習(xí)題3  6(212)  第七節(jié)  定積分的換元法與分部積分法    一、定積分的換元法(213)  二、定積分的分部積分法(218)    習(xí)題3-7(220)  第八節(jié)  定積分的幾何應(yīng)用舉例    一、平面圖形的面積(222)  二、體積(227)  三、平面曲線的弧長(230)    習(xí)題3  8(236)  第九節(jié)  定積分的物理應(yīng)用舉例    一、作功(237)  二、水壓力(239)  三、引力(240)    習(xí)題3-9(241)  第十節(jié)  平均值    一、函數(shù)的算術(shù)乎均值(242)  二、函數(shù)的加權(quán)乎均值(243)    三、函數(shù)的均方根平均值(244)  習(xí)題3-10(245)  第十一節(jié)  反常積分    一、無窮限的反常積分(246)  二、無界函數(shù)的反常積分(249)   *三、廠函數(shù)(252)  習(xí)題3-11(254)    總習(xí)題三第四章  微分方程  第一節(jié)  微分方程的基本概念    習(xí)題4-1(263)  第二節(jié)  可分離變量的微分方程    習(xí)題4-2(270)  第三節(jié)  一階線性微分方程    習(xí)題4-3(275)  第四節(jié)  可用變量代換法求解的一階微分方程    一、齊次型方程(275)  *二、可化為齊次型的方程(278)   *三、伯努利方程(280)  習(xí)題4-4(、281)  第五節(jié)  可降階的二階微分方程    一、y''=f(x)型的微分方程(282)  二、y''=f(J，y')型的微分    方程(282)  三、y''=f(夕，y')型的微分方程(283)    四、可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例(284)  習(xí)題4  5(288)  第六節(jié)  線性微分方程解的結(jié)構(gòu)    習(xí)題4-6(292)  第七節(jié)  二階常系數(shù)線性微分方程    一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程(293)  二、二階常系數(shù)非齊次線性    微分方程(297)  三、二階常系數(shù)線性微分方程的應(yīng)用舉例(301)    習(xí)題4-7(307)    *第八節(jié)  高階變系數(shù)線性微分方程解法舉例    一、解二階變系數(shù)線性微分方程的常數(shù)變易法(308)  二、解歐拉方程的指數(shù)代換法(309)    習(xí)題4-8(310)    總習(xí)題四實驗  實驗1  數(shù)列極限與生長模型  實驗2  泰勒公式與函數(shù)逼近  實驗3  方程近似解的求法  實驗4  定積分的近似計算附錄  附錄一  數(shù)學(xué)軟件Mathcmatica簡介  附錄二  幾種常用的曲線習(xí)題答案與提示記號說明

章節(jié)摘錄

　　為了解決實際問題的需要，人們常常希望確定反映客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系，即確定所討論的變量之間的函數(shù)關(guān)系.尋找函數(shù)關(guān)系的方法很多，通?？蓪嶒炗^察的抽樣數(shù)據(jù)進行處理，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.然而有些問題往往很難根據(jù)數(shù)據(jù)直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系，但是在分析了問題提供的情況后，可以列出所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種關(guān)系式就是所謂的微分方程.分析問題并列出微分方程的過程就叫建立微分方程.當微分方程建立以后，通過一定的數(shù)學(xué)方法找出所求的未知函數(shù)來，這就是解微分方程.本章將結(jié)合具體例子介紹微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方程的經(jīng)典解法。　　微分方程是利用一元微積分的知識解決幾何問題、物理問題和其他各類實際問題的重要數(shù)學(xué)工具，也是對各種客觀現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)抽象、建立數(shù)學(xué)模型的重要方法，有著廣泛的應(yīng)用。微分方程本身是一門獨立的、內(nèi)容十分豐富的數(shù)學(xué)課程，本章只能對它作粗略的介紹。

編輯推薦

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《微積分》前兩版的主要特色是在保持傳統(tǒng)教材、特別是同濟大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)》的優(yōu)點的基礎(chǔ)上，努力貫徹改革精神，體現(xiàn)教改成果。《微積分(上)第3版》修訂時注意保持這一特色，同時使教材進一步貼近廣大學(xué)生的實際，更便于教學(xué)和學(xué)生自學(xué)。為此在保持原有框架和內(nèi)容、風(fēng)格不變的前提下，對部分內(nèi)容作了修改和重寫。比如對函數(shù)的凸性，盡管其有近代數(shù)學(xué)的應(yīng)用背景，但同行反映實際教學(xué)時有不便之處，容易使學(xué)生在閱讀參考材料時產(chǎn)生混淆，故這次重新處理為曲線的凹凸性。又如對曲面的切平面和法向量的導(dǎo)出，這次作了修訂，更加突出其幾何直觀，便于學(xué)生掌握。再如對“傅里葉級數(shù)與最佳均方逼近”這一節(jié)打*號的內(nèi)容的處理，作了進一步的精簡，突出主要思想，簡化細節(jié)。

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