微分方程與數(shù)學(xué)物理問題

前言

　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)有著300多年的歷史。最初，在數(shù)學(xué)建模中，我們主要使用微分方程。在物理、工程科學(xué)、生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模問題中，經(jīng)常會產(chǎn)生非線性微分方程。　　今天，理工科學(xué)生和研究者經(jīng)常會遇到怎么求解在數(shù)學(xué)建模中產(chǎn)生的微分方程的問題。有時，這些問題可以從數(shù)值方法加上hoc的方法來求得其解。盡管我們總結(jié)了超過400種形式的關(guān)于二次微分方程的積分方法，但是，在一般的情況下，我們還是不能從這些方法中求得所有微分方程的解?！　∪欢?，由基礎(chǔ)的自然規(guī)律和技術(shù)問題所產(chǎn)生的微分方程可以由李群分析方法求得其解。例如，李群可以將上述的400種形式的方程簡化為4種形式。群分析理論的發(fā)展給出了大量的證據(jù)證明：當(dāng)其他的一些積分方法失效的時候，群理論是求解微分方程的通用工具。事實(shí)上，群理論是求解非線性微分方程解析解的唯一的通用和有效的方法。那些舊的積分方法在很大程度上依賴于微分方程是線性的以及存在常系數(shù)。但群分析理論在處理線生和非線性方程的問題是等同，對于常系數(shù)和變系數(shù)都是同樣的處理。

內(nèi)容概要

　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)有著300多年的歷史。最初，在數(shù)學(xué)建模中，我們主要使用微分方程。在物理、工程科學(xué)、生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模問題中，經(jīng)常會產(chǎn)生非線性微分方程。今天，理工科學(xué)生和研究者經(jīng)常會遇到怎么求解在數(shù)學(xué)建模中產(chǎn)生的微分方程的問題。有時，這些問題可以從數(shù)值方法加上hoc的方法來求得其解。盡管我們總結(jié)了超過400種形式的關(guān)于二次微分方程的積分方法，但是，在一般的情況下，我們還是不能從這些方法中求得所有微分方程的解。

作者簡介

　　伊布拉基莫夫，瑞典科學(xué)家，被公認(rèn)為是在微分方程對稱分析方面世界上最具權(quán)威的專家之一。他發(fā)起并構(gòu)建了現(xiàn)代群分析理論和應(yīng)用方面很多新的發(fā)展。

書籍目錄

校訂者序前言第一章 數(shù)學(xué)分析中的幾個話題1.1 初等數(shù)學(xué)1.1.1 數(shù)字，變量和初等函數(shù)1.1.2 二次與三次方程1.1.3 相似圖形的面積.以橢圓為例1.1.4 二次代數(shù)曲線1.2 微分和積分運(yùn)算1.2.1 微分法則1.2.2 中值定理1.2.3 微分形式的不變性1.2.4 積分法則1.2.5 泰勒級數(shù)1.2.6 復(fù)變量1.2.7 函數(shù)的近似表達(dá)式1.2.8 雅可比行列式、函數(shù)無關(guān)性、多重積分的換元法1.2.9 函數(shù)的線性無關(guān).朗斯基行列式1.2.10 積分1.2.11 曲線族的微分方程1.3 向量分析1.3.1 向量代數(shù)1.3.2 矢量函數(shù)1.3.3 向量場1.3.4 三個經(jīng)典的積分定理1.3.5 拉普拉斯方程1.3.6 行列式的微分1.4 微分代數(shù)的符號1.4.1 微分變量.全微分1.4.2 乘積和復(fù)合函數(shù)的高階微分1.4.3 多元微分函數(shù)1.4.4 微分方程的空間曲面1.4.5 換元法求導(dǎo)1.5 變分法1.5.1 最小作用量原理1.5.2 多元?dú)W拉一拉格朗日方程習(xí)題一第二章 數(shù)學(xué)物理問題2.1 導(dǎo)言2.2 自然現(xiàn)象2.2.1 人口模型2.2.2 生態(tài)學(xué)：放射性的廢棄物2.2.3 開普勒（kepler）定律，牛頓萬有引力定律2.2.4 地表的自由落體運(yùn)動2.2.5 流星體2.2.6 雨水模型2.3 物理學(xué)和工程學(xué)2.3.1 牛頓冷卻模型2.3.2 機(jī)械振動，鐘擺2.3.3 傳動軸的失效2.3.4 vanderPol方程2.3.5 電報方程2.3.6 電動力學(xué)2.3.7 狄拉克方程2.3.8 流體動力學(xué)2.3.9 Navier.Stokes方程2.3.10 灌溉系統(tǒng)模型2.3.11 磁流體動力學(xué)2.4 擴(kuò)散現(xiàn)象2.4.1 線性熱傳導(dǎo)方程2.4.2 非線性熱傳導(dǎo)方程2.4.3 Burgers方程和Korteweg.-deVries方程2.4.4 經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)模型2.5 生物數(shù)學(xué)2.5.1 巧妙的蘑菇2.5.2 腫瘤的生長模型2.6 波現(xiàn)象2.6.1 繩索的微小振動2.6.2 振動膜2.6.3 極小曲面2.6.4 振動細(xì)長桿和板2.6.5 非線性波2.6.6 Chaplygin和Tricomi方程習(xí)題二第三章 常微分方程：經(jīng)典方法3.1 簡介和基礎(chǔ)方法3.1.1 微分方程，初值問題3.1.2 方程y（n）=f（X）的積分3.1.3 齊次方程3.1.4 齊次性的不同種類3.1.5 降階3.1.6 微分線性化3.2 一階方程3.2.1 可分離變量方程3.2.2 全微分方程3.2.3 積分因子（A.Clairaut，1739）3.2.4 里卡蒂方程3.2.5 伯努利方程3.2.6 齊次線性方程3.2.7 非齊次線性方程.常數(shù)變易法3.3 二階線性方程3.3.1 齊次方程：疊加性3.3.2 齊次方程：等價性質(zhì)3.3.3 齊次方程：常系數(shù)3.3.4 非齊次方程：常數(shù)變易法3.3.5 貝塞爾方程和貝塞爾函數(shù)3.3.6 超幾何方程3.4 高階線性方程3.4.1 齊次方程.基礎(chǔ)解系3.4.2 非齊次方程.常數(shù)變易法3.4.3 常系數(shù)方程3.4.4 歐拉方程3.5 一階方程組3.5.1 方程組的一般屬性3.5.2 首次積分3.5.3 常系數(shù)的線性方程組3.5.4 方程組的常數(shù)變易法習(xí)題三第四章 一階偏微分方程4.1 簡介4.2 齊次線性方程4.3 非齊次方程的特解4.4 擬線性方程4.5 齊次方程組習(xí)題四第五章 二階線性偏微分方程5.1 多元方程5.1.1 固定點(diǎn)的分類5.1.2 伴隨線性微分算子5.2 含兩個自變量的方程的分類5.2.1 特征值，三種類型方程5.2.2 雙曲型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式5.2.3 拋物線型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式……第六章 非線性常微分方程第七章 非線性偏微分方程第八章 廣義函數(shù)或分布第九章 不變原理和基本解參考答案參考文獻(xiàn)索引

編輯推薦

　　《微分方程與數(shù)學(xué)物理問題》包含特為初學(xué)者，簡明和自包含的基本經(jīng)典方法的介紹，輕松進(jìn)入李群分析方法的學(xué)習(xí)，《微分方程與數(shù)學(xué)物理問題》所描述的方法有著廣泛的應(yīng)用，友好的描述方式和實(shí)用的例子使《微分方程與數(shù)學(xué)物理問題》擁有眾多的讀者群。

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