拓撲學(xué)教程

前言

　　隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在其發(fā)展過程中，一批卓越的法國數(shù)學(xué)家發(fā)揮了杰出的作用，作出了奠基性的貢獻。他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上占據(jù)著不可替代的地位，在大學(xué)教科書、各種專著及種種數(shù)學(xué)史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名。在他們當(dāng)中，包括笛卡兒、費馬、帕斯卡、達朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當(dāng)、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦茲及利翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿郑舶ㄒ恍┈F(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻的著名數(shù)學(xué)家。由于他們的出色成就和深遠影響，法國的數(shù)學(xué)不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平，而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨特的風(fēng)格，一直在國際數(shù)學(xué)界享有盛譽。　　我國的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在20世紀初通過學(xué)習(xí)西方及日本才開始起步，并在艱難曲折中發(fā)展與成長，終能在2002年成功地在北京舉辦了國際數(shù)學(xué)家大會，在一個世紀的時間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個多世紀的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的步伐，實現(xiàn)了跨越式的發(fā)展。這一巨大的成功，根源于好幾代數(shù)學(xué)家持續(xù)不斷的艱苦奮斗，根源于我們國家綜合國力不斷提高所提供的有力支撐，根源于改革開放國策所帶來的強大推動，也根源于很多國際數(shù)學(xué)界同仁的長期鼓勵、支持與幫助。在這當(dāng)中，法蘭西數(shù)學(xué)精品長期以來對我國數(shù)學(xué)界所起的積極影響，法蘭西數(shù)學(xué)的深厚根基、無比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對我國數(shù)學(xué)家所起的不可低估的潛移默化作用，無疑也是一個不容忽視的因素。足以證明這一點的是：在我國的數(shù)學(xué)家中，有不少就曾經(jīng)留學(xué)法國，直接受到法國數(shù)學(xué)家的栽培和法蘭西數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和風(fēng)格的薰陶與感召，而更多的人也或多或少地通過汲取法國數(shù)學(xué)精品的營養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。

內(nèi)容概要

　　《拓撲學(xué)教程：拓撲空間和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓撲向量空間(第2版)》是作者上世紀60年代出版的《分析教程》的第二卷，曾被譯為英文和西班牙文，內(nèi)容包括拓撲和函數(shù)空間?！锻負鋵W(xué)教程：拓撲空間和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓撲向量空間(第2版)》針對有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大學(xué)生，但幾乎不要求任何預(yù)備知識。使其能在一個盡可能簡單的框架上了解現(xiàn)代分析的有力工具及其應(yīng)用。G．肖蓋為法國科學(xué)院院士，不僅在學(xué)術(shù)上享有聲譽，在教學(xué)上也極富特色?！　械幕靖拍顜缀醵荚谄湟话阈问较聛斫榻B，并通過例子來說明所選擇定義的合理性。例如，在敘述任意拓撲空間時，先簡要討論實數(shù)直線；而距離空間則在提出一致性問題后才引入；同樣，賦范向量空間和Hilbert空間僅在討論局部凸空間后引入，后者在現(xiàn)代分析及其應(yīng)用中越來越重要。書中通過大量的例子及反例來說明定理成立的確切范圍，并設(shè)置了各種難度的習(xí)題，便于學(xué)生檢驗其對課程的理解程度并鍛煉自身的創(chuàng)新能力?！　　锻負鋵W(xué)教程：拓撲空間和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓撲向量空間(第2版)》可供高等院校數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的本科生、研究生以及教師參考。

作者簡介

　　G.肖蓋，著名法國數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院院士，曾被授予軍官級（Officier）法國榮譽軍團勛章（L6gioll d’honneur）。1946年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位，1949年任巴黎大學(xué)教授，1965年任巴黎綜合理工學(xué)院教授?！　．肖蓋的研究領(lǐng)域涉及實變函數(shù)論、位勢論、泛函分析、容量理論及積分表示等，并獲得一系列重要結(jié)果，以創(chuàng)立Crloquel理論和Choquet積分而聞名。著有《分析教程》（Cow danalyse）和《分析講義》（Lectures on Analysis）。

書籍目錄

《法蘭西數(shù)學(xué)精品譯叢》序出版者的話《分析與拓撲》譯者序第二版序言修訂版序言C1證書的拓撲學(xué)大綱第一章 拓撲空間和距離空間引言Ⅰ.直線R上的拓撲§1.開集、閉集、鄰域、集合的界§2.序列極限.cauchy收斂準則§3.有界閉區(qū)間的緊性§4.空間Rn的拓撲Ⅱ.拓撲空間§5.開集、閉集、鄰域§6.閉包、內(nèi)部、邊界§7.連續(xù)函數(shù).同胚§8.極限概念§9.拓撲空間的子空間§10.空間的有限積§11.緊空間§12.局部緊空間.緊化§13.連通性§14.拓撲群、拓撲環(huán)和拓撲域Ⅲ.距離空間§15.距離和擬距離§16.距離空間的拓撲§17.一致連續(xù)性§18.緊距離空間§19.連通距離空間§20.Cauchy列和完備空間§21.逐次逼近法的模式§22.簡單收斂和一致收斂§23.等度連續(xù)函數(shù)空間§24.全變差和長度Ⅳ.習(xí)題直線R與空間Rn拓撲空間距離空間Ⅴ.第一章的法漢術(shù)語對照和索引Ⅵ.參考文獻Ⅶ.定義和公理Ⅷ.經(jīng)典記號的回顧第二章 數(shù)值函數(shù)Ⅰ.定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)§1.F(E，R)和F(E，R)上的序關(guān)系§2.數(shù)值函數(shù)的界§3.函數(shù)族的上包絡(luò)和下包絡(luò)Ⅱ.數(shù)值函數(shù)的極限概念§4.函數(shù)沿E上的濾子基的上、下極限§5.函數(shù)族的上、下極限§6.在連續(xù)函數(shù)上的運算Ⅲ.半連續(xù)數(shù)值函數(shù)§7.點上的半連續(xù)性§8.全空間上的下半連續(xù)函數(shù)§9.下半連續(xù)函數(shù)的構(gòu)造§10.緊致空間上的半連續(xù)函數(shù)§11.長度的半連續(xù)性Ⅳ.Stone-Weierstrass定理§12.Stone.Weierstrass定理Ⅴ.定義在R的區(qū)間上的函數(shù)§13.左、右極限§14.單調(diào)函數(shù)§15.有限增量定理§16.凸函數(shù)的定義.直接性質(zhì)§17.凸函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性§18.凸性準則.§19.向量空間的子集上的凸函數(shù)§20.單調(diào)函數(shù)的相對平均值Ⅵ.習(xí)題定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)定義在拓撲空間上的數(shù)值函數(shù)半連續(xù)數(shù)值函數(shù)Stone-Weierstrass定理定義在區(qū)間上的函數(shù)凸函數(shù)平均值和不等式Ⅶ.第二章的法漢術(shù)語對照和索引Ⅷ.參考文獻Ⅸ.定義和公理第三章 拓撲向量空間Ⅰ.一般拓撲向量空間.例子§1.拓撲向量空間的定義和初等性質(zhì)§2.關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓撲§3.拓撲向量空間的經(jīng)典實例Ⅱ.賦范空間§4.關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓撲.連續(xù)線性映射§5.單態(tài)射和同構(gòu)的穩(wěn)定性§6.賦范空間的乘積.連續(xù)多重線性映射§7.有限維賦范空間Ⅲ.可和族.級數(shù).無窮乘積.賦范代數(shù)§8.實數(shù)可和族§9.拓撲群和賦范空間上的可和族§10.級數(shù).級數(shù)的比較與可和族的比較§11.函數(shù)級數(shù)與函數(shù)可和族§12.復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無窮乘積§13.賦范代數(shù)Ⅳ.Hilbert空間§14.準Hilbert空間的定義和初步性質(zhì)§15.正交投影.對偶的研究§16.正交系§17.Fourier級數(shù)和正交多項式Ⅴ.習(xí)題一般拓撲向量空間關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓撲關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓撲范數(shù)的比較范數(shù)和凸函數(shù)賦范空間上的線性型拓撲對偶空間和二次對偶空間緊致線性映射完備賦范空間可分賦范空間非連續(xù)線性映射賦范空間的乘積和直和有限維賦范空間實數(shù)或復(fù)數(shù)的可和族拓撲群和賦范空間上的可和族級數(shù).級數(shù)的比較與可和族的比較函數(shù)級數(shù)與函數(shù)可和族復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無窮乘積賦范代數(shù)準Hilbert空間的初等性質(zhì)正交投影.對偶空間的研究正交系正交多項式Ⅵ.第三章的法漢術(shù)語對照和索引Ⅶ.參考文獻Ⅷ.定義和公理

章節(jié)摘錄

　　第一章拓撲空間和距離空間　　引言　　一般拓撲學(xué)形成一個有機聯(lián)系的理論整體那還只是半個世紀以來的事情①；但它可以追溯到古代，是人們思想發(fā)展的必然結(jié)果?！　‘?dāng)希臘數(shù)學(xué)家企圖將數(shù)的概念精確化的時候，極限與連續(xù)的概念就擺到了他們面前。然而，為了澄清收斂序列、收斂級數(shù)和連續(xù)函數(shù)的概念，尚需等待Cauchy（1821）和Abel（1823）的著作的問世?！　〉搅薘iemann（1851）的時代，框架更為擴大；在Riemann的晉級論文《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中，他擬就了一個輝煌的大綱，即研究“多次擴大的度量的一般概念，這里不僅擴張到任意維的流形，并且也包括函數(shù)空間和集合的空間?！　〉侨绻痪邆鋵嵵本€（Dedekind）和對數(shù)值函數(shù)（Riemann，Weierstrass）的良好知識，尤其是缺乏一種既精確又一般的語言，一個這樣的大綱是不可能實現(xiàn)的。Cantor（1873）創(chuàng)造了這種語言，從而打開了通向新世界的大門。

編輯推薦

　　G.肖蓋　　Gustave Choquet　　(1915-2006)　　著名法國數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院院士，曾被授予軍官級(Officier)法國榮譽軍團勛章(Legion dhonneur)。1946年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位，1949年任巴黎大學(xué)教授，1965年任巴黎綜合理工學(xué)院教授。

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