拓?fù)鋵W(xué)教程

前言

　　隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在其發(fā)展過(guò)程中，一批卓越的法國(guó)數(shù)學(xué)家發(fā)揮了杰出的作用，作出了奠基性的貢獻(xiàn)。他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上占據(jù)著不可替代的地位，在大學(xué)教科書(shū)、各種專著及種種數(shù)學(xué)史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名。在他們當(dāng)中，包括笛卡兒、費(fèi)馬、帕斯卡、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當(dāng)、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦茲及利翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿?，也包括一些現(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻(xiàn)的著名數(shù)學(xué)家。由于他們的出色成就和深遠(yuǎn)影響，法國(guó)的數(shù)學(xué)不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平，而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨(dú)特的風(fēng)格，一直在國(guó)際數(shù)學(xué)界享有盛譽(yù)。　　我國(guó)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在20世紀(jì)初通過(guò)學(xué)習(xí)西方及日本才開(kāi)始起步，并在艱難曲折中發(fā)展與成長(zhǎng)，終能在2002年成功地在北京舉辦了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，在一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個(gè)多世紀(jì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的步伐，實(shí)現(xiàn)了跨越式的發(fā)展。這一巨大的成功，根源于好幾代數(shù)學(xué)家持續(xù)不斷的艱苦奮斗，根源于我們國(guó)家綜合國(guó)力不斷提高所提供的有力支撐，根源于改革開(kāi)放國(guó)策所帶來(lái)的強(qiáng)大推動(dòng)，也根源于很多國(guó)際數(shù)學(xué)界同仁的長(zhǎng)期鼓勵(lì)、支持與幫助。在這當(dāng)中，法蘭西數(shù)學(xué)精品長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)界所起的積極影響，法蘭西數(shù)學(xué)的深厚根基、無(wú)比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)家所起的不可低估的潛移默化作用，無(wú)疑也是一個(gè)不容忽視的因素。足以證明這一點(diǎn)的是：在我國(guó)的數(shù)學(xué)家中，有不少就曾經(jīng)留學(xué)法國(guó)，直接受到法國(guó)數(shù)學(xué)家的栽培和法蘭西數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和風(fēng)格的薰陶與感召，而更多的人也或多或少地通過(guò)汲取法國(guó)數(shù)學(xué)精品的營(yíng)養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。

內(nèi)容概要

　　《拓?fù)鋵W(xué)教程：拓?fù)淇臻g和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g(第2版)》是作者上世紀(jì)60年代出版的《分析教程》的第二卷，曾被譯為英文和西班牙文，內(nèi)容包括拓?fù)浜秃瘮?shù)空間。《拓?fù)鋵W(xué)教程：拓?fù)淇臻g和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g(第2版)》針對(duì)有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大學(xué)生，但幾乎不要求任何預(yù)備知識(shí)。使其能在一個(gè)盡可能簡(jiǎn)單的框架上了解現(xiàn)代分析的有力工具及其應(yīng)用。G．肖蓋為法國(guó)科學(xué)院院士，不僅在學(xué)術(shù)上享有聲譽(yù)，在教學(xué)上也極富特色?！　?shū)中的基本概念幾乎都在其一般形式下來(lái)介紹，并通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明所選擇定義的合理性。例如，在敘述任意拓?fù)淇臻g時(shí)，先簡(jiǎn)要討論實(shí)數(shù)直線；而距離空間則在提出一致性問(wèn)題后才引入；同樣，賦范向量空間和Hilbert空間僅在討論局部凸空間后引入，后者在現(xiàn)代分析及其應(yīng)用中越來(lái)越重要。書(shū)中通過(guò)大量的例子及反例來(lái)說(shuō)明定理成立的確切范圍，并設(shè)置了各種難度的習(xí)題，便于學(xué)生檢驗(yàn)其對(duì)課程的理解程度并鍛煉自身的創(chuàng)新能力?！　　锻?fù)鋵W(xué)教程：拓?fù)淇臻g和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g(第2版)》可供高等院校數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的本科生、研究生以及教師參考。

作者簡(jiǎn)介

　　G.肖蓋，著名法國(guó)數(shù)學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士，曾被授予軍官級(jí)（Officier）法國(guó)榮譽(yù)軍團(tuán)勛章（L6gioll d’honneur）。1946年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位，1949年任巴黎大學(xué)教授，1965年任巴黎綜合理工學(xué)院教授?！　．肖蓋的研究領(lǐng)域涉及實(shí)變函數(shù)論、位勢(shì)論、泛函分析、容量理論及積分表示等，并獲得一系列重要結(jié)果，以創(chuàng)立Crloquel理論和Choquet積分而聞名。著有《分析教程》（Cow danalyse）和《分析講義》（Lectures on Analysis）。

書(shū)籍目錄

《法蘭西數(shù)學(xué)精品譯叢》序出版者的話《分析與拓?fù)洹纷g者序第二版序言修訂版序言C1證書(shū)的拓?fù)鋵W(xué)大綱第一章 拓?fù)淇臻g和距離空間引言Ⅰ.直線R上的拓?fù)洹?.開(kāi)集、閉集、鄰域、集合的界§2.序列極限.cauchy收斂準(zhǔn)則§3.有界閉區(qū)間的緊性§4.空間Rn的拓?fù)洧?拓?fù)淇臻g§5.開(kāi)集、閉集、鄰域§6.閉包、內(nèi)部、邊界§7.連續(xù)函數(shù).同胚§8.極限概念§9.拓?fù)淇臻g的子空間§10.空間的有限積§11.緊空間§12.局部緊空間.緊化§13.連通性§14.拓?fù)淙骸⑼負(fù)洵h(huán)和拓?fù)溆颌?距離空間§15.距離和擬距離§16.距離空間的拓?fù)洹?7.一致連續(xù)性§18.緊距離空間§19.連通距離空間§20.Cauchy列和完備空間§21.逐次逼近法的模式§22.簡(jiǎn)單收斂和一致收斂§23.等度連續(xù)函數(shù)空間§24.全變差和長(zhǎng)度Ⅳ.習(xí)題直線R與空間Rn拓?fù)淇臻g距離空間Ⅴ.第一章的法漢術(shù)語(yǔ)對(duì)照和索引Ⅵ.參考文獻(xiàn)Ⅶ.定義和公理Ⅷ.經(jīng)典記號(hào)的回顧第二章 數(shù)值函數(shù)Ⅰ.定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)§1.F(E，R)和F(E，R)上的序關(guān)系§2.數(shù)值函數(shù)的界§3.函數(shù)族的上包絡(luò)和下包絡(luò)Ⅱ.數(shù)值函數(shù)的極限概念§4.函數(shù)沿E上的濾子基的上、下極限§5.函數(shù)族的上、下極限§6.在連續(xù)函數(shù)上的運(yùn)算Ⅲ.半連續(xù)數(shù)值函數(shù)§7.點(diǎn)上的半連續(xù)性§8.全空間上的下半連續(xù)函數(shù)§9.下半連續(xù)函數(shù)的構(gòu)造§10.緊致空間上的半連續(xù)函數(shù)§11.長(zhǎng)度的半連續(xù)性Ⅳ.Stone-Weierstrass定理§12.Stone.Weierstrass定理Ⅴ.定義在R的區(qū)間上的函數(shù)§13.左、右極限§14.單調(diào)函數(shù)§15.有限增量定理§16.凸函數(shù)的定義.直接性質(zhì)§17.凸函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性§18.凸性準(zhǔn)則.§19.向量空間的子集上的凸函數(shù)§20.單調(diào)函數(shù)的相對(duì)平均值Ⅵ.習(xí)題定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)定義在拓?fù)淇臻g上的數(shù)值函數(shù)半連續(xù)數(shù)值函數(shù)Stone-Weierstrass定理定義在區(qū)間上的函數(shù)凸函數(shù)平均值和不等式Ⅶ.第二章的法漢術(shù)語(yǔ)對(duì)照和索引Ⅷ.參考文獻(xiàn)Ⅸ.定義和公理第三章 拓?fù)湎蛄靠臻gⅠ.一般拓?fù)湎蛄靠臻g.例子§1.拓?fù)湎蛄靠臻g的定義和初等性質(zhì)§2.關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓?fù)洹?.拓?fù)湎蛄靠臻g的經(jīng)典實(shí)例Ⅱ.賦范空間§4.關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓?fù)?連續(xù)線性映射§5.單態(tài)射和同構(gòu)的穩(wěn)定性§6.賦范空間的乘積.連續(xù)多重線性映射§7.有限維賦范空間Ⅲ.可和族.級(jí)數(shù).無(wú)窮乘積.賦范代數(shù)§8.實(shí)數(shù)可和族§9.拓?fù)淙汉唾x范空間上的可和族§10.級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的比較與可和族的比較§11.函數(shù)級(jí)數(shù)與函數(shù)可和族§12.復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無(wú)窮乘積§13.賦范代數(shù)Ⅳ.Hilbert空間§14.準(zhǔn)Hilbert空間的定義和初步性質(zhì)§15.正交投影.對(duì)偶的研究§16.正交系§17.Fourier級(jí)數(shù)和正交多項(xiàng)式Ⅴ.習(xí)題一般拓?fù)湎蛄靠臻g關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓?fù)潢P(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓?fù)浞稊?shù)的比較范數(shù)和凸函數(shù)賦范空間上的線性型拓?fù)鋵?duì)偶空間和二次對(duì)偶空間緊致線性映射完備賦范空間可分賦范空間非連續(xù)線性映射賦范空間的乘積和直和有限維賦范空間實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的可和族拓?fù)淙汉唾x范空間上的可和族級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的比較與可和族的比較函數(shù)級(jí)數(shù)與函數(shù)可和族復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無(wú)窮乘積賦范代數(shù)準(zhǔn)Hilbert空間的初等性質(zhì)正交投影.對(duì)偶空間的研究正交系正交多項(xiàng)式Ⅵ.第三章的法漢術(shù)語(yǔ)對(duì)照和索引Ⅶ.參考文獻(xiàn)Ⅷ.定義和公理

章節(jié)摘錄

　　第一章拓?fù)淇臻g和距離空間　　引言　　一般拓?fù)鋵W(xué)形成一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的理論整體那還只是半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的事情①；但它可以追溯到古代，是人們思想發(fā)展的必然結(jié)果?！　‘?dāng)希臘數(shù)學(xué)家企圖將數(shù)的概念精確化的時(shí)候，極限與連續(xù)的概念就擺到了他們面前。然而，為了澄清收斂序列、收斂級(jí)數(shù)和連續(xù)函數(shù)的概念，尚需等待Cauchy（1821）和Abel（1823）的著作的問(wèn)世。　　到了Riemann（1851）的時(shí)代，框架更為擴(kuò)大；在Riemann的晉級(jí)論文《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中，他擬就了一個(gè)輝煌的大綱，即研究“多次擴(kuò)大的度量的一般概念，這里不僅擴(kuò)張到任意維的流形，并且也包括函數(shù)空間和集合的空間。　　但是如果不具備對(duì)實(shí)直線（Dedekind）和對(duì)數(shù)值函數(shù)（Riemann，Weierstrass）的良好知識(shí)，尤其是缺乏一種既精確又一般的語(yǔ)言，一個(gè)這樣的大綱是不可能實(shí)現(xiàn)的。Cantor（1873）創(chuàng)造了這種語(yǔ)言，從而打開(kāi)了通向新世界的大門(mén)。

編輯推薦

　　G.肖蓋　　Gustave Choquet　　(1915-2006)　　著名法國(guó)數(shù)學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士，曾被授予軍官級(jí)(Officier)法國(guó)榮譽(yù)軍團(tuán)勛章(Legion dhonneur)。1946年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位，1949年任巴黎大學(xué)教授，1965年任巴黎綜合理工學(xué)院教授。

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