微分幾何

前言

　　隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在其發(fā)展過程中，一批卓越的法國數(shù)學(xué)家發(fā)揮了杰出的作用，作出了奠基性的貢獻(xiàn)。他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上占據(jù)著不可替代的地位，在大學(xué)教科書、各種專著及種種數(shù)學(xué)史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名。在他們當(dāng)中，包括笛卡兒、費(fèi)爾馬、巴斯卡、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當(dāng)、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦爾茨及里翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿?，也包括一些現(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻(xiàn)的著名數(shù)學(xué)家。由于他們的出色成就和深遠(yuǎn)影響，法國的數(shù)學(xué)不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平，而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨(dú)特的風(fēng)格，一直在國際數(shù)學(xué)界享有盛譽(yù)?！　∥覈默F(xiàn)代數(shù)學(xué)，在20世紀(jì)初通過學(xué)習(xí)西方及日本才開始起步，并在艱難曲折中發(fā)展與成長，終能在2002年成功地在北京舉辦了國際數(shù)學(xué)家大會。在一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個(gè)多世紀(jì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的步伐、實(shí)現(xiàn)了跨越式的發(fā)展。這一巨大的成功，源于好幾代數(shù)學(xué)家持續(xù)不斷的艱苦奮斗，源于我們國家綜合國力的提高所給予的有力支撐，源于改革開放國策所帶來的強(qiáng)大推動，也源于很多國際數(shù)學(xué)界同仁的長期鼓勵(lì)、支持與幫助。在這當(dāng)中，法蘭西數(shù)學(xué)精品長期以來對我國數(shù)學(xué)界所起的積極影響，法蘭西數(shù)學(xué)的深厚根基、無比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對我國數(shù)學(xué)家所起的不可低估的潛移默化作用，無疑也是一個(gè)不容忽視的因素。足以證明這一點(diǎn)的是：在我國的數(shù)學(xué)家中，有不少就曾經(jīng)留學(xué)法國，直接受到法國數(shù)學(xué)家的栽培和法蘭西數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和風(fēng)格的薰陶與感召，而更多的人也或多或少地通過汲取法國數(shù)學(xué)精品的營養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。

內(nèi)容概要

本書主要由法國資深微分幾何學(xué)家貝爾熱在巴黎大學(xué)多年講授微分幾何課程講稿的基礎(chǔ)上編纂而成。     本書強(qiáng)調(diào)幾何與分析的有機(jī)結(jié)合，始終堅(jiān)持對于分析，揭露其幾何實(shí)質(zhì)，而對于幾何，則洞察其分析精髓。本書對于常微分方程、單位分解、臨界點(diǎn)、拓?fù)涠群土餍紊系奈⒎e分等研究微分幾何的各種工具做了相當(dāng)充分的講解。內(nèi)容重點(diǎn)是曲線的局部和整體理論，對于曲面的局部和整體理論則做了比較全面的概述，而對于其詳盡的證明則推薦相關(guān)的文獻(xiàn)供讀者查閱。書中配備了豐富的習(xí)題。     本書是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)系本科生乃至其他理工科學(xué)生學(xué)習(xí)微分流形和微分幾何的優(yōu)秀參考書。

作者簡介

M.貝爾熱 著名法國數(shù)學(xué)家，法國微分幾何老前輩。曾任法國科學(xué)高等研究所（IHES）所長。貝爾熱教授撰寫過多本成功的幾休著作，并以書的精巧論述而見長。

書籍目錄

第零章 復(fù)習(xí)和補(bǔ)充第一章 微分方程第二章 微分流形第三章 單位分解、密度、曲線第四章 臨界點(diǎn)第五章 流形上的微分法第六章 流形上的積分法第七章 映射度理論第八章 曲線的局部理論第九章 平面曲線的整體理論第十章 R3的曲面的局部理論的簡短導(dǎo)引第十一章 曲面的整體理論的簡短導(dǎo)引參考文獻(xiàn)法中術(shù)語對照索引

章節(jié)摘錄

　　11.17 平均曲率是常數(shù)的曲面或肥皂泡曲面　　我們在10.6.9已經(jīng)知道研究平均曲率H為常數(shù)的曲面的兩個(gè)動機(jī)。一個(gè)是物理學(xué)的，另一個(gè)在于證明等周不等式。我們現(xiàn)在在整體曲面的情形下考慮它們，并致力于回答存在性和唯一性問題。這需要在緊致的情形下進(jìn)行，因?yàn)榉駝t的話，我們在10.6.9.6 已經(jīng)有了德洛內(nèi)曲面。　　11.17.1 球面情形　　首先要問的是，在球面以外，是否還存在H是常數(shù)的緊致曲面？1899年以來，針對高斯曲率K處處為正的情形，里布曼就以否定方式回答了這個(gè)問題（參見11.14）。所用方法是下節(jié)所用方法的一個(gè)特殊情形，并且經(jīng)過希爾伯特的推廣。在廣泛運(yùn)用科達(dá)齊-馬伊納爾迪方程（參見10.7）之后人們指出曲面的所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)。再應(yīng)用10.6.4 末尾的結(jié)論：即使在局部情形下，球面是僅有的其所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)的曲面?！　?1.17.2 亞歷山德洛夫定理和霍普夫定理　　現(xiàn)在如果取消條件K>0，并且同時(shí)允許所有類型的拓?fù)?，情形將會怎樣？?955年，亞歷山德洛夫證明了所有嵌入到R0的曲面S，如果它是緊致的，并且其平均曲率日是常數(shù)，則它必是球面，證明非常困難；它把分析和幾何交織在一起，在那里得出結(jié)論：所有方向都是s的一個(gè)對稱平面的法向量的方向。參閱卓越的文獻(xiàn)［62］，以及［64］的第9章（補(bǔ)遺）。

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