高等數(shù)學(xué)

前言

　　曾經(jīng)有一位中學(xué)校長(zhǎng)邀請(qǐng)我與他的學(xué)生們談?wù)勅绾螌W(xué)好數(shù)學(xué)，我對(duì)中學(xué)生們說(shuō)：要談如何學(xué)好數(shù)學(xué)，首先應(yīng)該弄清楚學(xué)好數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)是什么如果我是個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在應(yīng)試教育體制下，我可能會(huì)認(rèn)為，學(xué)生考試能得高分就是學(xué)好了數(shù)學(xué)。不過(guò)就算他考了滿(mǎn)分，也許從進(jìn)入大學(xué)的那一天起，他就開(kāi)始背叛數(shù)學(xué)了。作為一名數(shù)學(xué)工作者，我認(rèn)為，一個(gè)人如果能用數(shù)學(xué)的眼光去觀察各種現(xiàn)象，能用數(shù)學(xué)的頭腦去思考各種問(wèn)題，能用數(shù)學(xué)的思想與方法去處理各種事情，那他就學(xué)好了數(shù)學(xué)。前者是應(yīng)試教育的標(biāo)準(zhǔn)，后者是素質(zhì)教育的目標(biāo)?！　「叩葦?shù)學(xué)是所有大學(xué)絕大多數(shù)專(zhuān)業(yè)都要開(kāi)設(shè)的公共基礎(chǔ)課程，涉及面之寬僅次于外語(yǔ)課程，可見(jiàn)其在大學(xué)教育中的地位與影響。在全面推行素質(zhì)教育的今天，如何才能讓大學(xué)生們真正學(xué)好數(shù)學(xué)我以為，除了學(xué)生因素之外，還有兩個(gè)十分關(guān)鍵的因素，一是教師的素質(zhì)，二是教材的水準(zhǔn)。從某種意義上說(shuō)，教材在教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。它該告訴讀者什么它要達(dá)到什么目的這是教材編寫(xiě)者必須思考的問(wèn)題?！　∥⒎e分堪稱(chēng)古往今來(lái)數(shù)學(xué)史上最偉大的發(fā)明創(chuàng)造，其思想的光輝照耀著自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的幾乎每一個(gè)角落。然而，遺憾的是，有一些傳統(tǒng)的教材將它的思想淹沒(méi)在一大堆抽象的符號(hào)和煩瑣的演算之中，學(xué)生從教材乃至課堂上看不到微積分思想的光芒，常常為概念的晦澀難懂和演算的紛繁復(fù)雜而傷透腦筋。這里我們絕不敢冒天下之大不韙，對(duì)任何一本教材評(píng)頭論足，只想結(jié)合多年的教學(xué)體會(huì)談?wù)劚窘滩牡木帉?xiě)思路。　　許多年來(lái)，微積分課程教材與教學(xué)改革方案層出不窮，有教學(xué)手段的改革，也有教學(xué)內(nèi)容的改革。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，教材內(nèi)容應(yīng)該更新，有些甚至試圖以勒貝格積分取代黎曼積分，可謂五花八門(mén)。傳統(tǒng)的微積分真的過(guò)時(shí)了嗎內(nèi)容真的陳舊了嗎在我看來(lái)，迄今為止微積分依然是最有用的數(shù)學(xué)，盡管一些新型的積分理論為數(shù)學(xué)論證帶來(lái)了極大的方便，但要說(shuō)可以取代微積分恐怕有些夸大其詞。那么，可不可以將一些近代的數(shù)學(xué)思想與知識(shí)充實(shí)到微積分課程中呢我以為，適當(dāng)?shù)刈鲂┙榻B以收開(kāi)闊視野之效未嘗不可，但不應(yīng)該喧賓奪主，側(cè)重點(diǎn)仍然應(yīng)該是傳統(tǒng)的微積分。

內(nèi)容概要

本教材側(cè)重問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與分析，注重?cái)?shù)學(xué)思想的挖掘，幫助讀者學(xué)會(huì)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)猜測(cè)，如何從特殊現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，不僅介紹數(shù)學(xué)知識(shí)，更注重概念、定理來(lái)龍去脈的闡述，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。    本教材語(yǔ)言流暢，通俗易懂。本冊(cè)為一元函數(shù)微積分學(xué)，內(nèi)容包括：函數(shù)與極限；導(dǎo)數(shù)與微分；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；積分；定積分的應(yīng)用；微分方程簡(jiǎn)介。本教材主要面向地方高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，也可作為重點(diǎn)高校學(xué)生的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第一章  函數(shù)與極限  1  函數(shù)及其表示    1. 函數(shù)及其表示    2. 初等函數(shù)與數(shù)學(xué)模型    3. 計(jì)算機(jī)作圖    習(xí)題1.1  2  函數(shù)的極限    1. 數(shù)列的極限    2. 函數(shù)的極限    3. 無(wú)窮小與無(wú)窮大    4. 函數(shù)極限的運(yùn)算法則    5. 極限存在的條件    6. 再論無(wú)窮小    習(xí)題1.2  3  連續(xù)函數(shù)    1. 連續(xù)與間斷    2. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算    3. 初等函數(shù)的連續(xù)性    4. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)    5. 一致連續(xù)函數(shù)    習(xí)題1.3  總復(fù)習(xí)題一第二章  導(dǎo)數(shù)與微分  1  導(dǎo)數(shù)的定義    習(xí)題2.1  2  求導(dǎo)法則    1. 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式    2. 求導(dǎo)法則    習(xí)題2.2  3  高階導(dǎo)數(shù)    習(xí)題2.3  4  函數(shù)的微分與近似計(jì)算    1. 線(xiàn)性函數(shù)與微分    2. 微分公式與微分運(yùn)算法則    3. 近似計(jì)算    習(xí)題2.4  總復(fù)習(xí)題二第三章  導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用  1  微分中值定理    習(xí)題3.1  2  最大值與最小值問(wèn)題    1. 極大值與極小值    2. 最大值與最小值    習(xí)題3.2  3  洛必達(dá)法則    習(xí)題3.3  4  泰勒公式    習(xí)題3.4  5  函數(shù)圖像的描繪    1. 函數(shù)單調(diào)性的判斷    2. 曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)    3. 函數(shù)的作圖    習(xí)題3.5  6  方程的近似解    習(xí)題3.6  總復(fù)習(xí)題三第四章  積分  1  原函數(shù)與不定積分    習(xí)題4.1  2  定積分    1. 距離問(wèn)題    2. 面積問(wèn)題    3. 定積分的定義    4. 定積分的基本性質(zhì)    習(xí)題4.2  3  牛頓一萊布尼茨公式    1. 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)    2. 牛頓一萊布尼茨公式    習(xí)題4.3  4  積分法    1. 換元積分法    2. 分部積分法    習(xí)題4.4  5  特殊函數(shù)的積分    1. 三角函數(shù)的積分    2. 某些無(wú)理函數(shù)的積分    3. 有理函數(shù)的積分    4. 可化為有理函數(shù)的積分    習(xí)題4.5  6  定積分的近似計(jì)算    1. 梯形算法    2. 拋物線(xiàn)算法    習(xí)題4.6  7  反常積分    1. 無(wú)限區(qū)間上的反常積分    2. 無(wú)界函數(shù)的反常積分    習(xí)題4.7  總復(fù)習(xí)題四第五章  定積分的應(yīng)用  1  幾何中的應(yīng)用    1. 曲線(xiàn)弧長(zhǎng)    2. 面積問(wèn)題    3. 體積問(wèn)題    習(xí)題5.1  2  在其他方面的應(yīng)用    1. 函數(shù)的平均值    2. 做功問(wèn)題    3. 壓力問(wèn)題    4. 引力問(wèn)題    5. 力矩與質(zhì)心    6. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用    習(xí)題5.2  總復(fù)習(xí)題五第六章  微分方程簡(jiǎn)介  1  微分方程及其求解    1. 利用微分方程建模    2. 微分方程求解    習(xí)題6.1  2  微分方程的應(yīng)用    1. 在物理學(xué)中的應(yīng)用    2. 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用    3. 在生物學(xué)中的應(yīng)用（種群的增長(zhǎng)）    習(xí)題6.2  總復(fù)習(xí)題六附錄  積分表

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