數(shù)學分析中的方法與技巧

前言

　　本書是國家理科基地創(chuàng)名牌課程項目的成果之一，是為數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學專業(yè)本科生在數(shù)學分析方面的鞏固提高和考研準備之需而編寫的?！　〗嗄陙?，我們?yōu)榧执髮W數(shù)學學院的本科生開設(shè)了一門與本書同名的選修課，積累了一些資料。在教學實踐中，我們不斷總結(jié)經(jīng)驗，適時調(diào)整內(nèi)容的選取與組織，逐步形成了目前呈現(xiàn)在讀者面前的這本書。關(guān)于它，謹作以下幾點說明：　　（一）為了幫助學生提高數(shù)學推理的能力，了解數(shù)學分析的基石，欣賞數(shù)學邏輯的美妙，我們認為，介紹嚴密的實數(shù)理論是十分必要的。至于如何建立這一理論，有多種現(xiàn)成的方法可供選擇。我們在本書中沒有套用成法，而是直接用“無限小數(shù)”來定義實數(shù)，以便與中學數(shù)學相銜接。按照這個定義，我們首先引進“序”和“確界”的概念，進而證明確界原理。在此基礎(chǔ)上便可較為方便而合理地定義實數(shù)的四則運算，完成實數(shù)理論的建構(gòu)。　?。ǘ┍緯闹饕糠质菄@數(shù)列和函數(shù)的極限、數(shù)項級數(shù)的收斂性、函數(shù)序列和函數(shù)項級數(shù)的收斂域與一致收斂性、微分和積分中值定理以及不等式等專題、通過大量舉例，介紹數(shù)學分析中的經(jīng)典例題、常用方法與基本技巧，并配置了相當數(shù)量的習題。實踐證明、這些內(nèi)容和滲透其中的思想方法與計算技巧，對于學生在數(shù)學分析方面的素質(zhì)提高和考研都是大有裨益的。　?。ㄈ┍緯鴮鹘y(tǒng)的數(shù)學分析領(lǐng)地稍微作了一些擴張，簡要地介紹了變分法、函數(shù)的逼近與開拓以及代數(shù)中的分析方法，目的在于擴大學生的視野，使之較為順利地過渡到相關(guān)課程的學習，獲得進一步的提高?！　。ㄋ模┍緯母髡率窍嗷オ毩⒌?。取舍與順序的先后，使用者都可以自主決定?！　〗璐藭霭嬷畽C，編者對王春朋教授和金春花博士表示衷心的感謝，他們對本書的最后定稿提出了許多寶貴的建議。感謝彭營營、鐘昆華、劉媛媛、王林君、張超、李玉田和趙克等研究生，他們對本書初稿的排版付出了大量辛勤的勞動。還要感謝吉林大學數(shù)學學院基地班的部分同學，他們閱讀了本書的初稿，提供了許多有價值的參考意見。我們還要特別感謝高等教育出版社的王瑜、張長虹等有關(guān)同志感謝他們?yōu)楸緯淖詈蟪霭嫠冻龅男羷凇?/pre>


內(nèi)容概要
本書是為適應高等學校數(shù)學學科教學改革的需要，結(jié)合編者多年來教學實踐的經(jīng)驗和體會編寫而成。主要圍繞極限、級數(shù)、不等式和中值定理等專題，通過大量例題，介紹數(shù)學分析中的常用方法和基本技巧。內(nèi)容包括作為數(shù)學分析理論基礎(chǔ)的實數(shù)理論、求解數(shù)列極限的若干典型求法、函數(shù)的極限與連續(xù)性、微分和積分中值定理、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)、不等式、變分法、函數(shù)的逼近與開拓以及代數(shù)中的分析方法等。每節(jié)后配備適量習題，其中難度較大的題目用*號加注。    本書可作為數(shù)學分析課程的輔助教材。對正在學習數(shù)學分析的讀者，學過數(shù)學分析或高等數(shù)學準備學習后繼課程的讀者，以及準備報考研究生的讀者都會有所幫助。另外，還可供青年教師使用和參考。



書籍目錄
第一章  實數(shù)理論  §1  實數(shù)的基本概念  §2  實數(shù)的四則運算  §3  實數(shù)的完備性  §4  關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的注記第二章  數(shù)列極限的若干典型求法  §1  夾擠法  §2  利用上下極限  §3  應用單調(diào)有界原理  §4  利用遞推關(guān)系  §5  應用Stolz定理第三章  函數(shù)的極限與連續(xù)性  §1  一元函數(shù)極限的定義  §2  函數(shù)極限的基本性質(zhì)  §3  無窮小與無窮大的階  §4  一元函數(shù)的連續(xù)性  §5  函數(shù)方程  §6  多元函數(shù)的極限與連續(xù)性第四章  微分和積分中值定理  §1  微分中值定理  §2  積分中值定理第五章  數(shù)項級數(shù)  §1  非負項級數(shù)  §2  一般項級數(shù)第六章  函數(shù)項級數(shù)  §1  收斂域和一致收斂性  §2  函數(shù)項級數(shù)的和的性質(zhì)  §3  冪級數(shù)第七章  不等式  §1  應用數(shù)學歸納法證明不等式  §2  應用單調(diào)性或凸性證明不等式  §3  應用正定性或配方法證明不等式  §4  關(guān)于不等式的雜題第八章  變分法  §1  一元積分的變分問題  §2  多重積分泛函的變分問題  §3  條件極值第九章  函數(shù)的逼近與開拓  §1  在一有界集外為零的無窮次可微函數(shù)  §2  連續(xù)函數(shù)的開拓  §3  磨光算子與連續(xù)函數(shù)的光滑逼近第十章  代數(shù)中的分析方法  §1  奇異矩陣的正則化  §2  行列式的微分及其應用參考文獻


章節(jié)摘錄
　　實數(shù)的基本理論是分析數(shù)學的根基，實數(shù)的定義，或者說實數(shù)的構(gòu)造，有幾種經(jīng)典的方式，如Dedekind對有理數(shù)的分割方法，Cantor的基本有理數(shù)列方法等本章直接采用更直觀的實數(shù)的無限小數(shù)表示方法來介紹實數(shù)的基本概念和基本運算，并討論實數(shù)的基本性質(zhì)　　人們對于數(shù)的認識是從正整數(shù)1，2、3，開始的我們用N*來表示全體正整數(shù)所構(gòu)成的集合，正整數(shù)集對于加法和乘法運算是封閉的，然而，作為加法逆運算的減法，以及作為乘法逆運算的除法在正整數(shù)集中并不總是可能的例如，從1減去2或者用2來除1所得的結(jié)果均不再屬于正整數(shù)集為了使這些運算能夠進行下去，人們又提出了數(shù)0，“負”整數(shù)和分數(shù)的概念，并把補充后的這些數(shù)的全體，稱為有理數(shù)集，記為Q，　　有理數(shù)總可以寫為的形式，其中p和q都是整數(shù)，q大于O，且P和q沒有大于1的公因子，或說p，q互素在有理數(shù)集內(nèi)，加法、乘法、減法和除法（用零作除數(shù)除外）都能夠進行，而且得到的仍然是有理數(shù)因此，有理數(shù)集對于四則運算是封閉的。




編輯推薦
　　本書是國家理科基地創(chuàng)名牌課程項目的成果之一，是為數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學專業(yè)本科生在數(shù)學分析方面的鞏固提高和考研準備之需而編寫的。 為了幫助學生提高數(shù)學推理的能力，了解數(shù)學分析的基石，欣賞數(shù)學邏輯的美妙，本書介紹嚴密的實數(shù)理論是十分必要的。至于如何建立這一理論，有多種現(xiàn)成的方法可供選擇。我們在本書中沒有套用成法，而是直接用“無限小數(shù)”來定義實數(shù)，以便與中學數(shù)學相銜接。按照這個定義，本書首先引進“序”和“確界”的概念，進而證明確界原理。在此基礎(chǔ)上便可較為方便而合理地定義實數(shù)的四則運算，完成實數(shù)理論的建構(gòu)。 本書的主要部分是圍繞數(shù)列和函數(shù)的極限、數(shù)項級數(shù)的收斂性、函數(shù)序列和函數(shù)項級數(shù)的收斂域與一致收斂性、微分和積分中值定理以及不等式等專題，通過大量舉例，介紹數(shù)學分析中的經(jīng)典例題、常用方法與基本技巧，并配置了相當數(shù)量的習題。實踐證明，這些內(nèi)容和滲透其中的思想方法與計算技巧，對于學生在數(shù)學分析方面的素質(zhì)提高和考研都是大有裨益的。





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