數(shù)學(xué)分析中的方法與技巧

前言

　　本書(shū)是國(guó)家理科基地創(chuàng)名牌課程項(xiàng)目的成果之一，是為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生在數(shù)學(xué)分析方面的鞏固提高和考研準(zhǔn)備之需而編寫(xiě)的?！　〗嗄陙?lái)，我們?yōu)榧执髮W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院的本科生開(kāi)設(shè)了一門與本書(shū)同名的選修課，積累了一些資料。在教學(xué)實(shí)踐中，我們不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整內(nèi)容的選取與組織，逐步形成了目前呈現(xiàn)在讀者面前的這本書(shū)。關(guān)于它，謹(jǐn)作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：　?。ㄒ唬榱藥椭鷮W(xué)生提高數(shù)學(xué)推理的能力，了解數(shù)學(xué)分析的基石，欣賞數(shù)學(xué)邏輯的美妙，我們認(rèn)為，介紹嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論是十分必要的。至于如何建立這一理論，有多種現(xiàn)成的方法可供選擇。我們?cè)诒緯?shū)中沒(méi)有套用成法，而是直接用“無(wú)限小數(shù)”來(lái)定義實(shí)數(shù)，以便與中學(xué)數(shù)學(xué)相銜接。按照這個(gè)定義，我們首先引進(jìn)“序”和“確界”的概念，進(jìn)而證明確界原理。在此基礎(chǔ)上便可較為方便而合理地定義實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，完成實(shí)數(shù)理論的建構(gòu)。　?。ǘ┍緯?shū)的主要部分是圍繞數(shù)列和函數(shù)的極限、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、函數(shù)序列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與一致收斂性、微分和積分中值定理以及不等式等專題、通過(guò)大量舉例，介紹數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典例題、常用方法與基本技巧，并配置了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題。實(shí)踐證明、這些內(nèi)容和滲透其中的思想方法與計(jì)算技巧，對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)分析方面的素質(zhì)提高和考研都是大有裨益的。　?。ㄈ┍緯?shū)將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析領(lǐng)地稍微作了一些擴(kuò)張，簡(jiǎn)要地介紹了變分法、函數(shù)的逼近與開(kāi)拓以及代數(shù)中的分析方法，目的在于擴(kuò)大學(xué)生的視野，使之較為順利地過(guò)渡到相關(guān)課程的學(xué)習(xí)，獲得進(jìn)一步的提高?！　。ㄋ模┍緯?shū)的各章是相互獨(dú)立的。取舍與順序的先后，使用者都可以自主決定。　　借此書(shū)出版之機(jī)，編者對(duì)王春朋教授和金春花博士表示衷心的感謝，他們對(duì)本書(shū)的最后定稿提出了許多寶貴的建議。感謝彭營(yíng)營(yíng)、鐘昆華、劉媛媛、王林君、張超、李玉田和趙克等研究生，他們對(duì)本書(shū)初稿的排版付出了大量辛勤的勞動(dòng)。還要感謝吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院基地班的部分同學(xué)，他們閱讀了本書(shū)的初稿，提供了許多有價(jià)值的參考意見(jiàn)。我們還要特別感謝高等教育出版社的王瑜、張長(zhǎng)虹等有關(guān)同志感謝他們?yōu)楸緯?shū)的最后出版所付出的辛勞。

內(nèi)容概要

本書(shū)是為適應(yīng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)改革的需要，結(jié)合編者多年來(lái)教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)編寫(xiě)而成。主要圍繞極限、級(jí)數(shù)、不等式和中值定理等專題，通過(guò)大量例題，介紹數(shù)學(xué)分析中的常用方法和基本技巧。內(nèi)容包括作為數(shù)學(xué)分析理論基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論、求解數(shù)列極限的若干典型求法、函數(shù)的極限與連續(xù)性、微分和積分中值定理、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、不等式、變分法、函數(shù)的逼近與開(kāi)拓以及代數(shù)中的分析方法等。每節(jié)后配備適量習(xí)題，其中難度較大的題目用*號(hào)加注。    本書(shū)可作為數(shù)學(xué)分析課程的輔助教材。對(duì)正在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的讀者，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)準(zhǔn)備學(xué)習(xí)后繼課程的讀者，以及準(zhǔn)備報(bào)考研究生的讀者都會(huì)有所幫助。另外，還可供青年教師使用和參考。

書(shū)籍目錄

第一章  實(shí)數(shù)理論  §1  實(shí)數(shù)的基本概念  §2  實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算  §3  實(shí)數(shù)的完備性  §4  關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的注記第二章  數(shù)列極限的若干典型求法  §1  夾擠法  §2  利用上下極限  §3  應(yīng)用單調(diào)有界原理  §4  利用遞推關(guān)系  §5  應(yīng)用Stolz定理第三章  函數(shù)的極限與連續(xù)性  §1  一元函數(shù)極限的定義  §2  函數(shù)極限的基本性質(zhì)  §3  無(wú)窮小與無(wú)窮大的階  §4  一元函數(shù)的連續(xù)性  §5  函數(shù)方程  §6  多元函數(shù)的極限與連續(xù)性第四章  微分和積分中值定理  §1  微分中值定理  §2  積分中值定理第五章  數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)  §1  非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)  §2  一般項(xiàng)級(jí)數(shù)第六章  函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)  §1  收斂域和一致收斂性  §2  函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的性質(zhì)  §3  冪級(jí)數(shù)第七章  不等式  §1  應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式  §2  應(yīng)用單調(diào)性或凸性證明不等式  §3  應(yīng)用正定性或配方法證明不等式  §4  關(guān)于不等式的雜題第八章  變分法  §1  一元積分的變分問(wèn)題  §2  多重積分泛函的變分問(wèn)題  §3  條件極值第九章  函數(shù)的逼近與開(kāi)拓  §1  在一有界集外為零的無(wú)窮次可微函數(shù)  §2  連續(xù)函數(shù)的開(kāi)拓  §3  磨光算子與連續(xù)函數(shù)的光滑逼近第十章  代數(shù)中的分析方法  §1  奇異矩陣的正則化  §2  行列式的微分及其應(yīng)用參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　實(shí)數(shù)的基本理論是分析數(shù)學(xué)的根基，實(shí)數(shù)的定義，或者說(shuō)實(shí)數(shù)的構(gòu)造，有幾種經(jīng)典的方式，如Dedekind對(duì)有理數(shù)的分割方法，Cantor的基本有理數(shù)列方法等本章直接采用更直觀的實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)表示方法來(lái)介紹實(shí)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算，并討論實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)　　人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)是從正整數(shù)1，2、3，開(kāi)始的我們用N*來(lái)表示全體正整數(shù)所構(gòu)成的集合，正整數(shù)集對(duì)于加法和乘法運(yùn)算是封閉的，然而，作為加法逆運(yùn)算的減法，以及作為乘法逆運(yùn)算的除法在正整數(shù)集中并不總是可能的例如，從1減去2或者用2來(lái)除1所得的結(jié)果均不再屬于正整數(shù)集為了使這些運(yùn)算能夠進(jìn)行下去，人們又提出了數(shù)0，“負(fù)”整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念，并把補(bǔ)充后的這些數(shù)的全體，稱為有理數(shù)集，記為Q，　　有理數(shù)總可以寫(xiě)為的形式，其中p和q都是整數(shù)，q大于O，且P和q沒(méi)有大于1的公因子，或說(shuō)p，q互素在有理數(shù)集內(nèi)，加法、乘法、減法和除法（用零作除數(shù)除外）都能夠進(jìn)行，而且得到的仍然是有理數(shù)因此，有理數(shù)集對(duì)于四則運(yùn)算是封閉的。

編輯推薦

　　本書(shū)是國(guó)家理科基地創(chuàng)名牌課程項(xiàng)目的成果之一，是為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生在數(shù)學(xué)分析方面的鞏固提高和考研準(zhǔn)備之需而編寫(xiě)的。 為了幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)推理的能力，了解數(shù)學(xué)分析的基石，欣賞數(shù)學(xué)邏輯的美妙，本書(shū)介紹嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論是十分必要的。至于如何建立這一理論，有多種現(xiàn)成的方法可供選擇。我們?cè)诒緯?shū)中沒(méi)有套用成法，而是直接用“無(wú)限小數(shù)”來(lái)定義實(shí)數(shù)，以便與中學(xué)數(shù)學(xué)相銜接。按照這個(gè)定義，本書(shū)首先引進(jìn)“序”和“確界”的概念，進(jìn)而證明確界原理。在此基礎(chǔ)上便可較為方便而合理地定義實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，完成實(shí)數(shù)理論的建構(gòu)。 本書(shū)的主要部分是圍繞數(shù)列和函數(shù)的極限、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、函數(shù)序列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與一致收斂性、微分和積分中值定理以及不等式等專題，通過(guò)大量舉例，介紹數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典例題、常用方法與基本技巧，并配置了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題。實(shí)踐證明，這些內(nèi)容和滲透其中的思想方法與計(jì)算技巧，對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)分析方面的素質(zhì)提高和考研都是大有裨益的。

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