數(shù)值計(jì)算

前言

　　科學(xué)計(jì)算的興起是20世紀(jì)中意義最重要、影響最深遠(yuǎn)的科學(xué)進(jìn)步之一，計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，使科學(xué)計(jì)算與理論分析、實(shí)驗(yàn)研究三足鼎立，成為當(dāng)今科學(xué)技術(shù)活動(dòng)的三種主要方式?？茖W(xué)計(jì)算能力是現(xiàn)代科學(xué)、工程和管理人才不可或缺的基本素養(yǎng)。“數(shù)值計(jì)算”這門(mén)課程（常被稱(chēng)為“數(shù)值分析”或“計(jì)算方法”）研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)有效地解決常見(jiàn)的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題及由此衍生的相關(guān)數(shù)學(xué)理論，是理工醫(yī)農(nóng)類(lèi)與經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)學(xué)科研究生的一門(mén)重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，許多學(xué)校在本科高年級(jí)也開(kāi)設(shè)了它。它的內(nèi)容屬于科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)部分，包括數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)、數(shù)值逼近和方程數(shù)值求解三大板塊，課程框架由計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和算法的數(shù)值分析組成，前者研究和提出基于合理數(shù)學(xué)原理的計(jì)算方法，后者對(duì)提出的計(jì)算方法，從精度和效率兩個(gè)方面進(jìn)行分析評(píng)價(jià)?！　⊙芯可鷶?shù)學(xué)教育的根本目的是要在較高的層面上引導(dǎo)學(xué)生接受理性思維的熏陶、沉淀和積累，提高定量分析的能力，這遠(yuǎn)比獲取知識(shí)本身更重要更深刻。數(shù)學(xué)教學(xué)包括“授術(shù)”與“傳道”。術(shù)者，數(shù)學(xué)知識(shí)、方法也；道者，科學(xué)視野、精神、思想也，兩者不能分離，脫離“術(shù)”的道是空洞的，缺乏“道”的術(shù)沒(méi)有根基。“數(shù)值計(jì)算”特有的內(nèi)容和思想方法有可能使讀者將本科基本數(shù)學(xué)課程中掌握的概念和理論在“計(jì)算”平臺(tái)上產(chǎn)生升華，從而在學(xué)習(xí)“術(shù)”的同時(shí)，領(lǐng)悟“道”的真諦。針對(duì)應(yīng)試教育的弊端，我們?cè)诰帉?xiě)本教材時(shí)關(guān)注下列諸方面。　　一、從各種數(shù)值現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題開(kāi)始，引導(dǎo)讀者觀察與思考，培養(yǎng)“問(wèn)題意識(shí)”，防止數(shù)學(xué)概念和定義莫名其妙地從天而降。保持對(duì)未知世界的好奇心和理性認(rèn)識(shí)的愿望，是任何創(chuàng)新的基石，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探索未知的積極性，應(yīng)從“有”問(wèn)題開(kāi)始?？茖W(xué)研究并不神秘，第一步就是觀察現(xiàn)象、搜集數(shù)據(jù)、歸納和提出問(wèn)題，這也是研究型教學(xué)的開(kāi)端。數(shù)值計(jì)算中有許多有趣的現(xiàn)象值得引導(dǎo)讀者去觀察、分析，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成敏銳地觀察有關(guān)現(xiàn)象、學(xué)會(huì)如何去分析、尋找其中的原因、探索解決的道路、設(shè)計(jì)合理的方法的習(xí)慣，是提高學(xué)習(xí)效果的最好途徑?！　《?、探索啟發(fā)式教學(xué)模式。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)際中感受到，使初學(xué)者困惑的并不是弄清計(jì)算方法的步驟，而是算法是怎么“想”出來(lái)的，為什么要對(duì)算法做這樣或那樣的討論和分析。作為教材不僅要告訴學(xué)生具體的方法是什么，數(shù)值分析是怎樣進(jìn)行的，更要啟發(fā)學(xué)生為什么能夠這樣設(shè)計(jì)，為什么需要從這幾個(gè)角度分析，為什么要這樣進(jìn)行分析。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)值計(jì)算》的內(nèi)容屬于科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)部分，包括數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)、數(shù)值逼近和方程數(shù)值求解三大板塊，課程框架由計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和算法的數(shù)值分析組成，前者研究和提出基于合理數(shù)學(xué)原理的計(jì)算方法，后者對(duì)提出的計(jì)算方法，從精度和效率兩個(gè)方向進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。先后對(duì)線(xiàn)性代數(shù)方程組、矩陣特征值、非線(xiàn)性方程（組）、插值與擬合逼近、數(shù)值微積分、常微分方程初值等問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算進(jìn)行詳盡的討論。　　全書(shū)的敘述體系注重從各種數(shù)值現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題開(kāi)始，引導(dǎo)讀者觀察與思考，培養(yǎng)“問(wèn)題意識(shí)”，防止數(shù)學(xué)概念和定義莫名其妙地從天而降；在突出基本內(nèi)容的同時(shí)，為具有較好數(shù)學(xué)功底的讀者提供了提高的空間。全書(shū)采用啟發(fā)式模式，敘述力求嚴(yán)謹(jǐn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的難度和強(qiáng)度；每章附有較多的練習(xí)題和數(shù)值實(shí)驗(yàn)?！　　稊?shù)值計(jì)算》主要為理工醫(yī)農(nóng)類(lèi)與經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)學(xué)科研究生的公共數(shù)學(xué)課程編寫(xiě)，也可供數(shù)學(xué)系本科作為“數(shù)值分析”的教材或參考書(shū)。對(duì)需要較多科學(xué)與工程計(jì)算的科技人員，《數(shù)值計(jì)算》也是一本合適的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第一章　數(shù)值計(jì)算導(dǎo)論§l　數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)值計(jì)算問(wèn)題§2　數(shù)值計(jì)算的基本數(shù)學(xué)思想與方法2.1　數(shù)值計(jì)算的基本思想2.2　數(shù)值計(jì)算的基本方法§3　計(jì)算誤差的基本概念和誤差分析3.1　誤差來(lái)源的分類(lèi)3.2　絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與有效數(shù)字3.3　算術(shù)運(yùn)算的誤差3.4　適定性與穩(wěn)定性3.5　避免和減少誤差的若干計(jì)算原則§4　算法性態(tài)分析概述4.1　計(jì)算復(fù)雜度——計(jì)算的代價(jià)4.2　收斂率——計(jì)算的速度§5　問(wèn)題與探索5.1　數(shù)值問(wèn)題的病態(tài)性5.2　迭代法的收斂性及其收斂速度（收斂率）5.3　20世紀(jì)十大算法5.4　線(xiàn)性代數(shù)方程組問(wèn)題與建模習(xí)題一數(shù)值實(shí)驗(yàn)一數(shù)值實(shí)驗(yàn) 1.1迭代法的設(shè)計(jì)與運(yùn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn) 1.2函數(shù)逼近第二章　求解線(xiàn)性代數(shù)方程組的直接方法§1　引言§2　初等下三角形矩陣——Gauss變換矩陣§3　Gauss消元法3.1　順序Gauss消元法3.2　消元過(guò)程的可行性3.3　Gauss消元法的矩陣分析3.4　Gauss主元消元法§4　三角分解法4.1　直接三角分解法4.2　列主元三角分解法4.3　帶狀對(duì)角形方程組的三角分解法4.4　正定矩陣的三角分解法§5　向量與矩陣的范數(shù)5.1　線(xiàn)性空間中的范數(shù)5.2　幾個(gè)常用的向量范數(shù)5.3　向量范數(shù)的等價(jià)性5.4　矩陣范數(shù)5.5　幾個(gè)常用的誘導(dǎo)矩陣范數(shù)5.6　范數(shù)的若干應(yīng)用§6　線(xiàn)性方程組的誤差分析及其性態(tài)6.1　直接法的誤差分析6.2　線(xiàn)性方程組的條件數(shù)§7　問(wèn)題與探索7.1　條件數(shù)的近似計(jì)算7.2　迭代改善法7.3　求解擬三對(duì)角線(xiàn)性方程組的直接方法本章評(píng)述習(xí)題二數(shù)值實(shí)驗(yàn)二數(shù)值實(shí)驗(yàn)2.1　電阻網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的求解數(shù)值實(shí)驗(yàn)2.2　時(shí)間序列模型的求解第三章　求解線(xiàn)性代數(shù)方程組的迭代法§1　引言§2　基本迭代法及其構(gòu)造§3　基本迭代法的收斂理論3.1　迭代法的收斂性分析3.2　收斂定理3.3　誤差估計(jì)§4　幾類(lèi)特殊方程的基本迭代法的收斂性4.1　對(duì)角占優(yōu)矩陣方程的基本迭代法的收斂性4.2　對(duì)稱(chēng)正定矩陣方程的基本迭代法的收斂性4.3　SOB迭代格式的收斂性4.4　Richardson迭代格式的收斂性§5　迭代加速方法5.1　多項(xiàng)式加速方法5.2　SOR迭代的最優(yōu)松弛因子§6　求解Ax=b的變分原理與共軛梯度法6.1　求解Ax=b的變分原理與最速下降法6.2　最速下降法的收斂性6.3　共軛方向法6.4　共軛梯度法6.5　共軛梯度法的收斂性6.6　求解非奇異方程組的共軛梯度法§7　問(wèn)題與探索7.1　不動(dòng)點(diǎn)原理7.2　預(yù)處理共軛梯度法7.3　最優(yōu)松弛因子的實(shí)用選擇方法本章評(píng)述習(xí)題三數(shù)值實(shí)驗(yàn)三數(shù)值實(shí)驗(yàn)3.1　基本迭代法的運(yùn)行（1）數(shù)值實(shí)驗(yàn)3.2　基本迭代法的運(yùn)行（2）數(shù)值實(shí)驗(yàn)3.3　迭代法的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（1）數(shù)值實(shí)驗(yàn)3.4　迭代法的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（2）第四章　非線(xiàn)性方程組的數(shù)值求解§l　概述§2　非線(xiàn)性方程的根的定位和二分法2.1　根的定位2.2　二分法§3　基于不動(dòng)點(diǎn)原理的迭代法3.1　不動(dòng)點(diǎn)方程與不動(dòng)點(diǎn)迭代法3.2　不動(dòng)點(diǎn)的存在性與迭代法的全局收斂性3.3　迭代法的局部收斂性與收斂階3.4　迭代法收斂的加速方法§4　Newton法（切線(xiàn)法）4.1　Newton法及其迭代格式4.2　Newton法的收斂性4.3　求重根的修正Newton法4.4　Newton法的進(jìn)一步研究§5　非線(xiàn)性方程組的數(shù)值求解的基本方法5.1　概述5.2　向量值函數(shù)的可微性5.3　不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其局部收斂性5.4　Newton迭代法§6　非線(xiàn)性方程組的數(shù)值方法的進(jìn)一步研究6.1　同倫算法6.2　擬Newton法§7　問(wèn)題與探索7.1　方程重根數(shù)的計(jì)算方法7.2　基于變分原理的最小二乘法7.3　矩陣特征值問(wèn)題的實(shí)例本章評(píng)述習(xí)題四數(shù)值實(shí)驗(yàn)四數(shù)值實(shí)驗(yàn)4.1　算法的設(shè)計(jì)和性能比較研究數(shù)值實(shí)驗(yàn)4.2　Newton法收斂域的結(jié)構(gòu)和局部收斂性數(shù)值實(shí)驗(yàn)4.3　一般迭代格式的復(fù)雜行為數(shù)值實(shí)驗(yàn)4.4　非線(xiàn)性方程組的數(shù)值求解第五章　矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值方法§1　矩陣特征值問(wèn)題的有關(guān)基礎(chǔ)§2　乘冪法與反乘冪法2.1　乘冪法的基本原理2.2　乘冪法的計(jì)算格式2.3　加速收斂技術(shù)2.4　反乘冪法與Rayleigh商迭代法（RQI）2.5　基于乘冪法的降階收縮方法§3　常用的線(xiàn)性變換工具3.1　正交上三角化變換3.2　Householder反射變換3.3　實(shí)現(xiàn)正交三角分解的Givens旋轉(zhuǎn)變換和Schmidt變換§4　求解一般矩陣特征值問(wèn)題的QR方法4.1　基本QR迭代格式4.2　QR方法的收斂性4.3　QR方法的預(yù)處理4.4　帶平移QR迭代方法§5　對(duì)稱(chēng)矩陣特征值問(wèn)題5.1　乘冪法5.2　對(duì)稱(chēng)QR方法5.3　Householder·方法5.4　Jacobi方法§6　問(wèn)題與探索6.1　Krylov子空間方法的基本思想6.2　Amoldi過(guò)程第六章 數(shù)值逼近問(wèn)題（1）—插值及其數(shù)值計(jì)算第七章 數(shù)值逼近問(wèn)題（2）—函數(shù)的最優(yōu)逼近與擬合第八章 數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法主要參考文獻(xiàn)名詞索引

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