數(shù)值計算

前言

　　科學(xué)計算的興起是20世紀(jì)中意義最重要、影響最深遠(yuǎn)的科學(xué)進(jìn)步之一，計算機(jī)的快速發(fā)展，使科學(xué)計算與理論分析、實驗研究三足鼎立，成為當(dāng)今科學(xué)技術(shù)活動的三種主要方式?？茖W(xué)計算能力是現(xiàn)代科學(xué)、工程和管理人才不可或缺的基本素養(yǎng)?！皵?shù)值計算”這門課程（常被稱為“數(shù)值分析”或“計算方法”）研究如何運用計算機(jī)有效地解決常見的數(shù)值計算問題及由此衍生的相關(guān)數(shù)學(xué)理論，是理工醫(yī)農(nóng)類與經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)科研究生的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，許多學(xué)校在本科高年級也開設(shè)了它。它的內(nèi)容屬于科學(xué)計算的基礎(chǔ)部分，包括數(shù)值線性代數(shù)、數(shù)值逼近和方程數(shù)值求解三大板塊，課程框架由計算方法的設(shè)計和算法的數(shù)值分析組成，前者研究和提出基于合理數(shù)學(xué)原理的計算方法，后者對提出的計算方法，從精度和效率兩個方面進(jìn)行分析評價。　　研究生數(shù)學(xué)教育的根本目的是要在較高的層面上引導(dǎo)學(xué)生接受理性思維的熏陶、沉淀和積累，提高定量分析的能力，這遠(yuǎn)比獲取知識本身更重要更深刻。數(shù)學(xué)教學(xué)包括“授術(shù)”與“傳道”。術(shù)者，數(shù)學(xué)知識、方法也；道者，科學(xué)視野、精神、思想也，兩者不能分離，脫離“術(shù)”的道是空洞的，缺乏“道”的術(shù)沒有根基?！皵?shù)值計算”特有的內(nèi)容和思想方法有可能使讀者將本科基本數(shù)學(xué)課程中掌握的概念和理論在“計算”平臺上產(chǎn)生升華，從而在學(xué)習(xí)“術(shù)”的同時，領(lǐng)悟“道”的真諦。針對應(yīng)試教育的弊端，我們在編寫本教材時關(guān)注下列諸方面?！　∫?、從各種數(shù)值現(xiàn)象和實際問題開始，引導(dǎo)讀者觀察與思考，培養(yǎng)“問題意識”，防止數(shù)學(xué)概念和定義莫名其妙地從天而降。保持對未知世界的好奇心和理性認(rèn)識的愿望，是任何創(chuàng)新的基石，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探索未知的積極性，應(yīng)從“有”問題開始?？茖W(xué)研究并不神秘，第一步就是觀察現(xiàn)象、搜集數(shù)據(jù)、歸納和提出問題，這也是研究型教學(xué)的開端。數(shù)值計算中有許多有趣的現(xiàn)象值得引導(dǎo)讀者去觀察、分析，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成敏銳地觀察有關(guān)現(xiàn)象、學(xué)會如何去分析、尋找其中的原因、探索解決的道路、設(shè)計合理的方法的習(xí)慣，是提高學(xué)習(xí)效果的最好途徑?！　《?、探索啟發(fā)式教學(xué)模式。我們在教學(xué)實際中感受到，使初學(xué)者困惑的并不是弄清計算方法的步驟，而是算法是怎么“想”出來的，為什么要對算法做這樣或那樣的討論和分析。作為教材不僅要告訴學(xué)生具體的方法是什么，數(shù)值分析是怎樣進(jìn)行的，更要啟發(fā)學(xué)生為什么能夠這樣設(shè)計，為什么需要從這幾個角度分析，為什么要這樣進(jìn)行分析。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)值計算》的內(nèi)容屬于科學(xué)計算的基礎(chǔ)部分，包括數(shù)值線性代數(shù)、數(shù)值逼近和方程數(shù)值求解三大板塊，課程框架由計算方法的設(shè)計和算法的數(shù)值分析組成，前者研究和提出基于合理數(shù)學(xué)原理的計算方法，后者對提出的計算方法，從精度和效率兩個方向進(jìn)行分析評價。先后對線性代數(shù)方程組、矩陣特征值、非線性方程（組）、插值與擬合逼近、數(shù)值微積分、常微分方程初值等問題的數(shù)值計算進(jìn)行詳盡的討論?！　∪珪臄⑹鲶w系注重從各種數(shù)值現(xiàn)象和實際問題開始，引導(dǎo)讀者觀察與思考，培養(yǎng)“問題意識”，防止數(shù)學(xué)概念和定義莫名其妙地從天而降；在突出基本內(nèi)容的同時，為具有較好數(shù)學(xué)功底的讀者提供了提高的空間。全書采用啟發(fā)式模式，敘述力求嚴(yán)謹(jǐn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的難度和強(qiáng)度；每章附有較多的練習(xí)題和數(shù)值實驗?！　　稊?shù)值計算》主要為理工醫(yī)農(nóng)類與經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)科研究生的公共數(shù)學(xué)課程編寫，也可供數(shù)學(xué)系本科作為“數(shù)值分析”的教材或參考書。對需要較多科學(xué)與工程計算的科技人員，《數(shù)值計算》也是一本合適的參考書。

書籍目錄

第一章　數(shù)值計算導(dǎo)論§l　數(shù)學(xué)問題與數(shù)值計算問題§2　數(shù)值計算的基本數(shù)學(xué)思想與方法2.1　數(shù)值計算的基本思想2.2　數(shù)值計算的基本方法§3　計算誤差的基本概念和誤差分析3.1　誤差來源的分類3.2　絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字3.3　算術(shù)運算的誤差3.4　適定性與穩(wěn)定性3.5　避免和減少誤差的若干計算原則§4　算法性態(tài)分析概述4.1　計算復(fù)雜度——計算的代價4.2　收斂率——計算的速度§5　問題與探索5.1　數(shù)值問題的病態(tài)性5.2　迭代法的收斂性及其收斂速度（收斂率）5.3　20世紀(jì)十大算法5.4　線性代數(shù)方程組問題與建模習(xí)題一數(shù)值實驗一數(shù)值實驗 1.1迭代法的設(shè)計與運行數(shù)值實驗 1.2函數(shù)逼近第二章　求解線性代數(shù)方程組的直接方法§1　引言§2　初等下三角形矩陣——Gauss變換矩陣§3　Gauss消元法3.1　順序Gauss消元法3.2　消元過程的可行性3.3　Gauss消元法的矩陣分析3.4　Gauss主元消元法§4　三角分解法4.1　直接三角分解法4.2　列主元三角分解法4.3　帶狀對角形方程組的三角分解法4.4　正定矩陣的三角分解法§5　向量與矩陣的范數(shù)5.1　線性空間中的范數(shù)5.2　幾個常用的向量范數(shù)5.3　向量范數(shù)的等價性5.4　矩陣范數(shù)5.5　幾個常用的誘導(dǎo)矩陣范數(shù)5.6　范數(shù)的若干應(yīng)用§6　線性方程組的誤差分析及其性態(tài)6.1　直接法的誤差分析6.2　線性方程組的條件數(shù)§7　問題與探索7.1　條件數(shù)的近似計算7.2　迭代改善法7.3　求解擬三對角線性方程組的直接方法本章評述習(xí)題二數(shù)值實驗二數(shù)值實驗2.1　電阻網(wǎng)絡(luò)問題的求解數(shù)值實驗2.2　時間序列模型的求解第三章　求解線性代數(shù)方程組的迭代法§1　引言§2　基本迭代法及其構(gòu)造§3　基本迭代法的收斂理論3.1　迭代法的收斂性分析3.2　收斂定理3.3　誤差估計§4　幾類特殊方程的基本迭代法的收斂性4.1　對角占優(yōu)矩陣方程的基本迭代法的收斂性4.2　對稱正定矩陣方程的基本迭代法的收斂性4.3　SOB迭代格式的收斂性4.4　Richardson迭代格式的收斂性§5　迭代加速方法5.1　多項式加速方法5.2　SOR迭代的最優(yōu)松弛因子§6　求解Ax=b的變分原理與共軛梯度法6.1　求解Ax=b的變分原理與最速下降法6.2　最速下降法的收斂性6.3　共軛方向法6.4　共軛梯度法6.5　共軛梯度法的收斂性6.6　求解非奇異方程組的共軛梯度法§7　問題與探索7.1　不動點原理7.2　預(yù)處理共軛梯度法7.3　最優(yōu)松弛因子的實用選擇方法本章評述習(xí)題三數(shù)值實驗三數(shù)值實驗3.1　基本迭代法的運行（1）數(shù)值實驗3.2　基本迭代法的運行（2）數(shù)值實驗3.3　迭代法的進(jìn)一步認(rèn)識（1）數(shù)值實驗3.4　迭代法的進(jìn)一步認(rèn)識（2）第四章　非線性方程組的數(shù)值求解§l　概述§2　非線性方程的根的定位和二分法2.1　根的定位2.2　二分法§3　基于不動點原理的迭代法3.1　不動點方程與不動點迭代法3.2　不動點的存在性與迭代法的全局收斂性3.3　迭代法的局部收斂性與收斂階3.4　迭代法收斂的加速方法§4　Newton法（切線法）4.1　Newton法及其迭代格式4.2　Newton法的收斂性4.3　求重根的修正Newton法4.4　Newton法的進(jìn)一步研究§5　非線性方程組的數(shù)值求解的基本方法5.1　概述5.2　向量值函數(shù)的可微性5.3　不動點迭代法及其局部收斂性5.4　Newton迭代法§6　非線性方程組的數(shù)值方法的進(jìn)一步研究6.1　同倫算法6.2　擬Newton法§7　問題與探索7.1　方程重根數(shù)的計算方法7.2　基于變分原理的最小二乘法7.3　矩陣特征值問題的實例本章評述習(xí)題四數(shù)值實驗四數(shù)值實驗4.1　算法的設(shè)計和性能比較研究數(shù)值實驗4.2　Newton法收斂域的結(jié)構(gòu)和局部收斂性數(shù)值實驗4.3　一般迭代格式的復(fù)雜行為數(shù)值實驗4.4　非線性方程組的數(shù)值求解第五章　矩陣特征值問題的數(shù)值方法§1　矩陣特征值問題的有關(guān)基礎(chǔ)§2　乘冪法與反乘冪法2.1　乘冪法的基本原理2.2　乘冪法的計算格式2.3　加速收斂技術(shù)2.4　反乘冪法與Rayleigh商迭代法（RQI）2.5　基于乘冪法的降階收縮方法§3　常用的線性變換工具3.1　正交上三角化變換3.2　Householder反射變換3.3　實現(xiàn)正交三角分解的Givens旋轉(zhuǎn)變換和Schmidt變換§4　求解一般矩陣特征值問題的QR方法4.1　基本QR迭代格式4.2　QR方法的收斂性4.3　QR方法的預(yù)處理4.4　帶平移QR迭代方法§5　對稱矩陣特征值問題5.1　乘冪法5.2　對稱QR方法5.3　Householder·方法5.4　Jacobi方法§6　問題與探索6.1　Krylov子空間方法的基本思想6.2　Amoldi過程第六章 數(shù)值逼近問題（1）—插值及其數(shù)值計算第七章 數(shù)值逼近問題（2）—函數(shù)的最優(yōu)逼近與擬合第八章 數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章 常微分方程初值問題的數(shù)值方法主要參考文獻(xiàn)名詞索引

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