泛函分析第二教程

前言

　　泛函分析是數(shù)學(xué)中的一個(gè)較新的重要分支。它起源于經(jīng)典數(shù)學(xué)物理中變分問(wèn)題，概括了經(jīng)典分析、函數(shù)論等中某些重要概念、問(wèn)題和成果，并受到量子物理、現(xiàn)代力學(xué)以及現(xiàn)代工程技術(shù)的有力刺激。它綜合地運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的觀點(diǎn)和方法，研究分析數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理和現(xiàn)代工程技術(shù)等所提出的有關(guān)問(wèn)題。它是本世紀(jì)出現(xiàn)的第一個(gè)高度綜合性的數(shù)學(xué)學(xué)科分支。從本世紀(jì)中葉開(kāi)始，偏微分方程理論、概率論（特別是隨機(jī)過(guò)程理論）以及部分計(jì)算數(shù)學(xué)，由于運(yùn)用了泛函分析而得到了大發(fā)展?，F(xiàn)在，泛函分析的觀念和方法已經(jīng)有力地滲透并影響著現(xiàn)代純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)、理論物理及現(xiàn)代工程技術(shù)理論的許多分支，如微分方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)、量子物理、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、現(xiàn)代控制論、現(xiàn)代力學(xué)、抽象調(diào)和分析、函數(shù)論、大范圍微分幾何等。　　泛函分析課程現(xiàn)在已作為一門基礎(chǔ)課列入我國(guó)高等院校數(shù)學(xué)系和應(yīng)用數(shù)學(xué)系的教學(xué)計(jì)劃，也已成為許多工程技術(shù)專業(yè)研究生必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一?？紤]到泛函分析在數(shù)學(xué)的理論研究和應(yīng)用中的需要，而許多重要和有價(jià)值的內(nèi)容又不可能在基礎(chǔ)課中介紹，因此，1982年春數(shù)學(xué)、力學(xué)教材編審委員會(huì)函數(shù)論、泛函分析組決定在基礎(chǔ)課內(nèi)容基礎(chǔ)上再編寫(xiě)一本泛函分析的選修課讀物，以適應(yīng)我國(guó)目前教學(xué)發(fā)展的需要。

內(nèi)容概要

　　本書(shū)共分五章，分別介紹了向量值函數(shù)的積分和向量值測(cè)度，算子半群，拓?fù)渚€性空間，Banach代數(shù)，非線性映射等基本內(nèi)容。除廣義函數(shù)論因《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（夏道行等編）第七章中已有扼要介紹外，泛函分析中最重要也是最具應(yīng)用價(jià)值的幾個(gè)部分都在《泛函分析第二教程》中作了介紹。只要具備大學(xué)階段所規(guī)定的泛函分析基礎(chǔ)課知識(shí)就可閱讀《泛函分析第二教程》，《泛函分析第二教程》可作為綜合大學(xué)、師范院校數(shù)學(xué)類各專業(yè)高年級(jí)學(xué)生的選修課教材，也可作為理、工科有關(guān)專業(yè)研究生教材。

書(shū)籍目錄

第一章 向量值函數(shù)的積分與向量值測(cè)度§1.1 向量值函數(shù)的微積分1.1.1 向量值函數(shù)的連續(xù)性1.1.2 向量值函數(shù)的可導(dǎo)性1.1.3 向量值函數(shù)的Riemann積分§1.2 向量值可測(cè)函數(shù)1.2.1 可測(cè)函數(shù)的定義1.2.2 強(qiáng)可測(cè)與弱可測(cè)的關(guān)系1.2.3 算子值可測(cè)函數(shù)§1.3 Bochner積分和Pettis積分1.3.1 Pettis積分1.3.2 Bochner積分1.3.3 Bochner可積函數(shù)的性質(zhì)1.3.4 算子值函數(shù)的Bochaner積分§1.4 向量值測(cè)度1.4.1 向量值測(cè)度的基本概念1.4.2 向量值測(cè)度的可列可加性1.4.3 向量值測(cè)度的絕對(duì)連續(xù)性1.4.4 Radon-Nikodvm性質(zhì)1.4.5 具有Riesz表示的算子1.4.6 關(guān)于Radon-Nikodym性質(zhì)的附注1.4.7 Vitali-Hahn-Saks定理1.4.8 數(shù)值函數(shù)關(guān)于向量值測(cè)度的積分第二章 算子半群§2.1 算子半群的概念2.1.1 算子半群概念的由來(lái)2.1.2 算子半群的一些例子2.1.3 算子半群的可測(cè)性和連續(xù)性§2.2 C0類算子半群2.2.1 C0類算子半群的基本概念2.2.2 無(wú)窮小母元的預(yù)解式2.2.3 C0類算子半群的表示2.2.4 無(wú)窮小母元的特征2.2.5 C0類壓縮半群§2.3 算子半群的應(yīng)用2.3.1 Taylor公式的推廣2.3.2 抽象Cauchy問(wèn)題§2.4 遍歷理論2.4.1 概述2.4.2 遍歷定理2.4.3 推廣的形式2.4.4 算子半群的遍歷定理§2.5 單參數(shù)算子群，stone定理2.5.1 半群成為群的條件.2.5.2 單參數(shù)酉算子群的Ston定理2.5.3 Stone定理的應(yīng)用：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.5.4 Stone定理的應(yīng)用：平均遍歷定理第三章 拓?fù)渚€性空間§3.1 拓?fù)淇臻g3.1.1 鄰域，序，網(wǎng)3.1.2 拓?fù)涞膹?qiáng)弱、生成和分離公理3.1.3 連續(xù)映射和ypbIcoH引理3.1.4 緊性3.1.5 乘積拓?fù)?，THxoHoB定理3.1.6 誘導(dǎo)拓?fù)浜涂啥攘炕臻g§3.2 拓?fù)渚€性空間3.2.1 基本概念和性質(zhì)3.2.2 有限維線性空間的特征3.2.3 線性連續(xù)算子和線性連續(xù)泛函3.2.4 有界集和完全有界集3.2.5 局部基的特征，商拓?fù)?.2.6 完備集，完備性3.2.7 線性度量空間§3.3 凸集與局部凸空間3.3.1 凸集及凸集的分離定理3.3.2 凸集的Minkowski泛函，線性泛函的延拓3.3.3 局部凸空間3.3.4 弱拓?fù)?，商拓?fù)?.3.5 弱拓?fù)?.3.6 端點(diǎn)，KpehH-MHbMaH定理，不動(dòng)點(diǎn)定理§3.4 幾種局部凸空間3.4.1 囿空間3.4.2 桶式空間3.4.3 Mackeyr空間3.4.4 賦范線性空間3.4.5 B(H-H)的各種拓?fù)?.4.6 歸納極限與投影極限第四章 Banach代數(shù)§4.1 基本概念和性質(zhì)，元的正則集及譜4.1.1 代數(shù)，單位元，正則元，正則集及譜4.1.2 Banach代數(shù)中元素的譜4.1.3 元素在子代數(shù)中的譜4.1.4 幾個(gè)例子§4.2 reJIb中aH表示，交換Banach代數(shù)4.2.1 線性可乘泛函4.2.2 reJJbaH且表示4.2.3 理想，極大理想4.2.4 幾個(gè)Banach代數(shù)上線性可乘泛函的形式4.2.5 半單的Banach代數(shù)§4.3 對(duì)稱Ba[1ach代數(shù)4.3.1 對(duì)合4.3.2 正泛函與表示4.3.3 不可分解的正泛函與既約表示§4.4 C代數(shù)4.4.1 C代數(shù)的基本性質(zhì)4.4.2 正常元的函數(shù)演算4.4.3 譜分解定理4.4.4 二次換位定理4.4.5 正元4.4.6 Kaplansky稠密性定理4.4.7 正泛函，態(tài)與純態(tài)4.4.8 線性有界泛函的分解4.4.9 純態(tài)與可乘性§4.5 群代數(shù)4.5.1 局部緊Hausclorrff空間上的積分4.5.2 局部緊群上的Haar積分4.5.3 群代數(shù)第五章 非線性映射§5.1 映射的微分5.1.1 強(qiáng)微分5.1.2 弱微分5.1.3 高階微分5.1.4 Taylor公式5.1.5 冪級(jí)數(shù)§5.2 隱函數(shù)定理5.2.1 Gp映射5.2.2 隱函數(shù)存在定理5.2.3 隱函數(shù)的可微性§5.3 泛函極值5.3.1 泛函極值的必要條件5.3.2 泛函極值存在性的下半弱連續(xù)條件5.3.3 最速下降法5.3.4 泛函極值存在性的Palais-Smale條件§5.4 Brouwer度5.4.1 C1類映射的拓?fù)涠?.4.2 幾個(gè)引理5.4.3 C1類映射的拓?fù)涠?續(xù))5.4.4 連續(xù)映射的拓?fù)涠燃捌湫再|(zhì)§5.5 Leray-Schauder度5.5.1 全連續(xù)映射5.5.2 Leray-Schauder度的定義5.5.3 Lerdy-Schallder度的性質(zhì)§5.6 不動(dòng)點(diǎn)定理5.6.1 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理5.6.2 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理5.6.3 集壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)5.6.4 多值映射的不動(dòng)點(diǎn)參考文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

　　第一章 向量值函數(shù)的積分與向量值測(cè)度　　本章目的在于把實(shí)分析中的基本概念提升到向量值情況，這里的向量通常指賦范線性空問(wèn)中的元由于分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是收斂概念，而無(wú)限維賦范線性空間義有若干種不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。因此。實(shí)分析中一個(gè)概念，在向量值函數(shù)理論中，往往可以引伸出強(qiáng)形式的推廣和弱形式的推廣。兩者有區(qū)別、又有聯(lián)系，在某種情況下還可能足一致的，它們分別應(yīng)用于不同問(wèn)題的研究，豐富了向量值函數(shù)分析的內(nèi)容　　作為引子，我們首先在§1.1中建立了向量值函數(shù)的微積分從簡(jiǎn)要的討論中人們可以看到，由數(shù)值函數(shù)過(guò)渡到向量值函數(shù)，相應(yīng)的概念如何進(jìn)一步深化，也能初步體會(huì)到Hahn—B—ach定理、共鳴定理等泛函分析的基本結(jié)果在這類推廣中的作用§12和§13用于討論向量值函數(shù)的可測(cè)性，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出Bc，chner積分和Pettis積分，它們是Lebesgue積分在強(qiáng)、弱兩種情況下的推廣，也是較常崩的兩種向量值函數(shù)的積分本章的另一個(gè)對(duì)象是§1.4所討論的向量值測(cè)度，對(duì)這種可列可加向量值集函數(shù)的研究，不可避免地要大量使用前兩節(jié)所提供的工具我們?cè)谶@一節(jié)中初步介紹了向量值測(cè)度的Radon－Nikodym性質(zhì)。

編輯推薦

《泛函分析第二教程》可作為綜合大學(xué)、師范院校數(shù)學(xué)類各專業(yè)高年級(jí)學(xué)生的選修課教材，也可作為理、工科有關(guān)專業(yè)研究生教材。

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