大學(xué)數(shù)學(xué)微積分（上冊(cè)）

內(nèi)容概要

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)》是普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材“大學(xué)數(shù)學(xué)”系列教材之一，在上海交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程多年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上編寫而成?！洞髮W(xué)數(shù)學(xué)》注重微積分的思想和方法，重視概念和理論的闡述與分析。結(jié)合教材內(nèi)容，適當(dāng)介紹一些歷史知識(shí)，指出微積分發(fā)展的背景和線索，以提高讀者對(duì)微積分的興趣和了解。重視各種數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用和解析，如分析和綜合法、類比法、特殊到一般法、數(shù)形結(jié)合法等等。探索在微積分中適度滲入一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法?！洞髮W(xué)數(shù)學(xué)》內(nèi)容包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、積分、微分方程等6章。在內(nèi)容的安排和闡述上力求樸素明了，深入淺出。例題精心選擇，類型豐富，由易到難，解法中融入各種數(shù)學(xué)基本方法且加以點(diǎn)評(píng)，有助于使讀者領(lǐng)會(huì)和掌握各種數(shù)學(xué)思維方法，也有利于讀者自學(xué)。同時(shí)配以豐富的習(xí)題，易難結(jié)合，幫助讀者通過練習(xí)鞏固和提高微積分的知識(shí)和方法。《大學(xué)數(shù)學(xué)》適用于高等學(xué)校理工類各專業(yè)，也可供工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

前言第1章  函數(shù)1.1 實(shí)數(shù)集1.1.1 集合1.1.2 邏輯符號(hào)1.1.3 有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集1.1.4 區(qū)間和鄰域1.1.5 不等式1.1.6 數(shù)集的界1.2 函數(shù)1.2.1 函數(shù)的概念1.2.2 函數(shù)的運(yùn)算1.2.3 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)1.2.4 初等函數(shù)1.2.5 雙曲函數(shù)1.2.6 由隱方程、參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程表示的函數(shù)1.2.7 函數(shù)圖形的變換習(xí)題1第2章  極限與連續(xù)2.1 數(shù)列的極限2.1.1 數(shù)列2.1.2 數(shù)列極限的定義2.1.3 無窮小和無窮大2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則2.2.1 數(shù)列極限的性質(zhì)2.2.2 數(shù)列極限的運(yùn)算法則2.3 數(shù)列極限存在的判別法2.3.1 夾逼定理2.3.2 單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理2.4 函數(shù)的極限2.4.1 函數(shù)極限的定義2.4.2 函數(shù)極限的性質(zhì)、運(yùn)算法則和判別法2.4.3 兩個(gè)重要的函數(shù)極限2.4.4 無窮小的比較2.5 函數(shù)的連續(xù)性2.5.1 函數(shù)連續(xù)的定義2.5.2 函數(shù)間斷點(diǎn)的分類2.5.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算2.5.4 初等函數(shù)的連續(xù)性2.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)習(xí)題2第3章  導(dǎo)數(shù)與微分3.1 導(dǎo)數(shù)的概念3.1.1 典型例子3.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義3.1.3 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系3.2 微分3.2.1 微分的概念3.2.2 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系3.2.3 微分的幾何意義3.2.4 微分應(yīng)用于近似計(jì)算及誤差估計(jì)3.3 導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則3.3.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則3.3.2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.3.3 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.3.4 基本導(dǎo)數(shù)和微分公式表3.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法3.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.4.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.5 導(dǎo)數(shù)概念在實(shí)際問題中的應(yīng)用3.5.1 一些學(xué)科中的變化率問題舉例3.5.2 相關(guān)變化率3.6 高階導(dǎo)數(shù)3.6.1 高階導(dǎo)數(shù)的概念3.6.2 高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和Leibniz公式3.6.3 隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和參數(shù)方程表示的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)習(xí)題3第4章  微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1 微分中值定理4.1.1 Fermat定理4.1.2 Rolle定理4.1.3 Lagrange定理4.1.4 Cauchy定理4.2 LHospital法則4.3 Taylor公式及其應(yīng)用4.3.1 Taylor定理4.3.2 一些簡(jiǎn)單函數(shù)的Maclaurin公式及其應(yīng)用4.4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)4.4.1 函數(shù)的單調(diào)性4.4.2 函數(shù)的極值和最值4.4.3 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)4.4.4 函數(shù)圖形的描繪4.5 平面曲線的曲率4.5.1 曲線弧長(zhǎng)概念及其微分4.5.2 曲率和曲率公式4.6 方程的近似解4.6.1 二分法4.6.2 Newton切線法習(xí)題4第5章  積分5.1 定積分的概念5.1.1 典型實(shí)例5.1.2 定積分的定義5.1.3 函數(shù)可積的條件5.2 定積分的性質(zhì)5.2.1 定積分的運(yùn)算性質(zhì)5.2.2 積分中值定理5.3 微積分基本定理5.3.1 原函數(shù)與變上限積分5.3.2 Newton．Leibniz公式5.4 不定積分5.4.1 不定積分的概念和性質(zhì)5.4.2 基本積分表5.4.3 第一換元法5.4.4 第二換元法5.4.5 分部積分法5.4.6 幾類常見函數(shù)的不定積分5.5 定積分的計(jì)算5.5.1 定積分的換元法5.5.2 定積分的分部積分法5.5.3 定積分的綜合例題5.5.4 定積分的近似計(jì)算5.6 定積分的應(yīng)用5.6.1 微元法5.6.2 定積分的幾何應(yīng)用5.6.3 定積分的物理應(yīng)用5.7 反常積分5.7.1 無窮區(qū)間上的反常積分5.7.2 無界函數(shù)的反常積分習(xí)題5第6章  微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 一階微分方程6.2.1 可分離變量方程6.2.2 齊次微分方程和其他可化為可分離變量形式的方程6.2.3 一階線性微分方程6.3 某些可降階的高階微分方程6.4 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)6.4.1 二階線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)6.4.2 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)6.5 常系數(shù)線性微分方程6.5.1 常系數(shù)線性齊次方程6.5.2 常系數(shù)線性非齊次方程6.5.3Euler方程6.6 微分方程的數(shù)值解6.7 微分方程的應(yīng)用舉例習(xí)題6習(xí)題參考答案

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：    極限是微積分的理論基礎(chǔ)，也是貫穿微積分的基本研究方法。 極限的思想最早可以追溯到古希臘Archimedes的“窮竭法”和我國魏晉時(shí)代劉徽的“割圓術(shù)”，即用不斷增加邊數(shù)的多邊形面積來近似計(jì)算圓或者封閉曲線所圍圖形的面積。Newton（1642-1727）在建立微積分時(shí)給出了極限理論的雛形，但發(fā)展這理論的主要是法國數(shù)學(xué)家Cauchy（1789-1857）和捷克數(shù)學(xué)家Bolzano（1781-1848），而德國的Weierstrass（1815-1897）進(jìn)一步改進(jìn)了他們的工作，他給出了現(xiàn)在所采用的極限嚴(yán)格定義，完善了極限理論的嚴(yán)密性，這才真正奠定了微積分乃至近代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 本章首先介紹數(shù)列和函數(shù)極限的定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則以及存在判別準(zhǔn)則。在這過程中討論求極限的各種方法，其次介紹與函數(shù)極限密切聯(lián)系的另一重要概念——函數(shù)連續(xù)性，并對(duì)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的特殊性質(zhì)作一些討論。 當(dāng)然它們接近0的方式有所不同：數(shù)列（1）是正項(xiàng)數(shù)列，它單調(diào)減少，越來越接近0；數(shù)列（2）并不單調(diào)，它在0的左右擺動(dòng)，但是越來越接近0；數(shù)列（3）則不能用“越來越接近0”來描述，事實(shí)上它的有些項(xiàng)就是0，而這些項(xiàng)以后卻仍有不為0的項(xiàng)，但隨著n的無限增大，那些不為0的項(xiàng)將越來越接近0，所以，xn仍然可以無限接近0。對(duì)這三個(gè)數(shù)列，我們說它們的極限為0。 然而，“無限增大”和“無限接近”畢竟是一種描述性語言，為了用更確切的數(shù)學(xué)術(shù)語來表達(dá)極限的意義，我們?cè)偻ㄟ^數(shù)列（1）來分析一下數(shù)列無限接近一個(gè)定常數(shù)的含義。 有了極限理論作為基礎(chǔ)，我們可以展開討論微積分的主體內(nèi)容——微分學(xué)和積分學(xué)。 促使微積分產(chǎn)生的重要因素是解決17世紀(jì)的一些主要科學(xué)問題，其中包括了求曲線的切線、求直線運(yùn)動(dòng)的速度以及求函數(shù)的最大最小值。這些問題的解決直接聯(lián)系著導(dǎo)數(shù)概念的形成及其求法，并進(jìn)而導(dǎo)致微積分的創(chuàng)立。在這方面法國的R.Descartes（1596-1650）和P.de Fermat（1601-1665）、英國的I.Barrow（1630-1677）和一大批數(shù)學(xué)家進(jìn)行了探索并作出過貢獻(xiàn)，而毫無疑問I.Newton（1642-1727）和G.W. Leibniz（1646-1716）位于這貢獻(xiàn)的頂峰。 導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)中的最基本的概念。高等數(shù)學(xué)的主要任務(wù)之一就是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計(jì)算或近似計(jì)算，導(dǎo)數(shù)和微分是解決這些問題的有效工具。本章先從幾何、物理及經(jīng)濟(jì)等方面的問題引出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念以及與之密切相關(guān)的微分概念，進(jìn)而給出導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算法則，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論微分學(xué)的理論和應(yīng)用。

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《普通高等教育十一五國家級(jí)規(guī)劃教材?大學(xué)數(shù)學(xué):微積分(上)》是由高等教育出版社出版。

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