應(yīng)用泛函分析

前言

　　本書是以工科碩士研究生為主要教學(xué)對(duì)象而編寫的一本入門教材，是天津大學(xué)數(shù)學(xué)系研究生教學(xué)組編寫的數(shù)學(xué)系列教材之一，并已在天津大學(xué)試用多年?！　≡诳茖W(xué)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，各學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的要求越來越高，如工程、經(jīng)濟(jì)、管理中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)越來越多、越來越深刻，因此在工科研究生中加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論教學(xué)，提高工科研究生數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)研究生創(chuàng)新能力有積極的意義。泛函分析是數(shù)學(xué)中較年輕的分支，它是古典分析觀點(diǎn)的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點(diǎn)研究無(wú)窮維向量空間上的函數(shù)、可看做無(wú)限維的分析學(xué)。泛函分析不僅僅是數(shù)學(xué)中的一個(gè)學(xué)科，作為一種研究工具它已經(jīng)滲透到工程、化學(xué)、生物以及數(shù)學(xué)的許多分支，它在微分方程、概率論、力學(xué)、物理學(xué)、控制論等許多學(xué)科得到廣泛運(yùn)用。對(duì)于數(shù)學(xué)工作者和以數(shù)學(xué)為工具的工程技術(shù)人員，泛函分析是一個(gè)有效的數(shù)學(xué)工具。為了從整體上優(yōu)化工科研究生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，天津大學(xué)數(shù)學(xué)系對(duì)工科研究生數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和教學(xué)體系進(jìn)行了多年的有益探索。考慮到工科研究生大多僅有高等數(shù)學(xué)及線性代數(shù)基礎(chǔ)，因此在教材建設(shè)方面，天津大學(xué)研究生教學(xué)組采取了工科學(xué)生比較容易接受的方式，力求以最少的篇幅講述最為核心的內(nèi)容。1990年天津大學(xué)出版社出版了由熊洪允、蔡高廳等編寫的涵蓋泛函分析、矩陣論、數(shù)學(xué)物理方程和計(jì)算方法等四門課程的《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書，力求能為工科研究生提供所需要的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法，提升工科研究生的研究能力。為完善《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書，天津大學(xué)研究生教學(xué)組在多年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，根據(jù)高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會(huì)制定的課程基本要求，由熊洪允、曾紹標(biāo)、毛云英等執(zhí)筆，分別在1992年和2003年對(duì)《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》進(jìn)行修訂。修訂版對(duì)課程的體系和內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整和豐富。調(diào)整后的教材共有三編，第一編應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以泛函分析為基礎(chǔ)，以工科各專業(yè)研究生普遍需求的數(shù)學(xué)理論為主要內(nèi)容，將泛函分析與矩陣論綜合在一起；第二編工程與科學(xué)計(jì)算；第三編數(shù)學(xué)物理方程。這三編內(nèi)容前后照應(yīng)，又自成體系，在教學(xué)過程中可根據(jù)需要分別講授。目前，各高等學(xué)校工科研究生學(xué)制都做了大幅調(diào)整，由三年或兩年半學(xué)制改為兩年學(xué)制，因此，各專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)課學(xué)時(shí)都有所壓縮。為適應(yīng)新的教學(xué)要求，天津大學(xué)研究生教學(xué)組在繼承和發(fā)展《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的同時(shí)，將此課程又分解成四門課程：應(yīng)用泛函分析、矩陣論、工程與科學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)物理方程，按工科各學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的不同需要進(jìn)行選擇。本書即是在此背景下編寫而成的。

內(nèi)容概要

　　《應(yīng)用泛函分析（非數(shù)學(xué)類專業(yè)研究生教學(xué)用書）》是編者在天津大學(xué)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上編寫而成的。主要內(nèi)容包括線性空間與內(nèi)積空間，度量空間與賦范線性空間，Lebesgue積分與Lp空間，賦范線性空間上的有界線性算子，廣義Fourier級(jí)數(shù)與最佳平方逼近，習(xí)題等。教材對(duì)教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化組合，例題豐富，實(shí)用性強(qiáng)。　　《應(yīng)用泛函分析（非數(shù)學(xué)類專業(yè)研究生教學(xué)用書）》注重?cái)?shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確性和數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，略去繁雜的數(shù)學(xué)證明，注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力和獲取新知識(shí)的自學(xué)能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)得到提高，增強(qiáng)創(chuàng)新能力?！　　稇?yīng)用泛函分析（非數(shù)學(xué)類專業(yè)研究生教學(xué)用書）》可作為高等學(xué)校工科各專業(yè)碩士研究生教材，還可作為數(shù)學(xué)類專業(yè)本科高年級(jí)學(xué)生教材，也可作為工程技術(shù)人員學(xué)習(xí)參考書。

書籍目錄

第一章 線性空間與內(nèi)積空間§1.1 集合與映射§1.1.1 集合及性質(zhì)§1.1.2 集合的運(yùn)算§1.1.3 映射§1.2 集合的基數(shù)§1.2.1 可數(shù)集與不可數(shù)集§1.2.2 實(shí)數(shù)集的確界存在原理§1.3 線性空間與線性算子§1.3.1 線性空間§1.3.2 線性子空間§1.3.3 線性空間的基與維數(shù)§1.3.4 線性算子§1.3.5 線性同構(gòu)§1.4 內(nèi)積空間§1.4.1 內(nèi)積空間的定義及例§1.4.2 內(nèi)積空間的幾何§1.4.3 內(nèi)積空間的線性子空間與同構(gòu)§1.4.4 內(nèi)積空間中的正交系§1.5 疑難問題解析第二章 度量空間與賦范線性空間§2.1 賦范線性空間§2.1.1 賦范線性空間的定義及例§2.1.2 由范數(shù)導(dǎo)出的度量§2.1.3 收斂序列，連續(xù)映射§2.1.4 級(jí)數(shù)與Schauder基§2.1.5 完備的賦范線性空間§2.1.6 子空間§2.2 賦范線性空間中的點(diǎn)集§2.2.1 開集，閉集§2.2.2 集合的閉包§2.2.3 稠密集與可分空間§2.3 度量空間§2.3.1 度量空間§2.3.2 度量空間中的緊性§2.3.3 度量空間的完備化§2.4 有限維賦范線性空間§2.4.1 有限維賦范空間的完備性§2.4.2 有限維線性空間上范數(shù)的等價(jià)性§2.4.3 有限維賦范空間的特征§2.5 Banach壓縮映射定理及其應(yīng)用§2.5.1 Banach壓縮映射定理§2.5.2 Banach壓縮映射定理的應(yīng)用第三章 Lebesgue積分與護(hù)空間§3.1 引言§3.1.1 Riemann積分的定義§3.1.2 Lebesgue積分的定義§3.2 集合的Lebesgue測(cè)度§3.3 可測(cè)函數(shù)。§3.4 Lebesgue積分§3.4.1 有限測(cè)度集E上有界可測(cè)函數(shù)的積分§3.4.2 有限測(cè)度集E上無(wú)界非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分§3.4.3 可測(cè)集E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分§3.4.4 可測(cè)集E上任意可測(cè)函數(shù)的積分§3.5 Lebesgue積分的幾個(gè)重要定理§3.6 Lp[a,b]空間第四章 賦范線性空間上的有界線性算子§4.1 賦范線性空間上的有界線性算子§4.1.1 有界線性算子§4.1.2 線性算子的有界性和連續(xù)性§4.1.3 有界線性算子空間§4.1.4 有界線性算子代數(shù)β(X)§4.2 賦范線性空間上的有界線性泛函§4.2.1 賦范線性空間上的有界線性泛函§4.2.2 對(duì)偶空間§4.2.3 有限秩算子的構(gòu)造§4.3 有限維空間上的線性算子§4.3.1 有限維空間上的線性算子的表示§4.3.2 Mn×n(C)上的方陣范數(shù)§4.3.3 方陣的譜半徑第五章 廣義Fourier級(jí)數(shù)與最佳平方逼近§5.1 正交投影和廣義Fourier級(jí)數(shù)§5.1.1 正交投影與正交分解§5.1.2 Fourieir系數(shù)與Bessel不等式§5.1.3 完全標(biāo)準(zhǔn)正交系及其等價(jià)條件§5.2 函數(shù)的最佳平方逼近§5.2.1 最佳平方逼近問題§5.2.2 多項(xiàng)式逼近§5.2.3 用正交多項(xiàng)式作函數(shù)的最佳平方逼近§5.3 正交多項(xiàng)式§5.3.1 正交多項(xiàng)式的基本概念和性質(zhì)§5.3.2 Legendre多項(xiàng)式§5.3.3 帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式§5.4 曲線擬合的最小二乘法§5.4.1 曲線擬合的最小二乘問題§5.4.2 最小二乘解的求法第六章 習(xí)題§6.1 線性空間與內(nèi)積空間§6.2 度量空間與賦范線性空間§6.3 Lebesgue積分與Lp空間§6.4 賦范線性空間上的有界線性算子§6.5 Hilbert空間§6.6 廣義Fourier級(jí)數(shù)與最佳平方逼近附錄 一些重要的不等式§A.1 Holder不等式§A.2 Minkowski不等式參考文獻(xiàn)

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