微分幾何

前言

　 盡管本教材的第三版出版至今還不到五年，我們又決定再次重新修訂，目的是希望能夠使其內容不斷更新，跟上“微分幾何”發(fā)展的潮流。在這一版中，我們主要增加了比較微分幾何的內容，也就是第四章的最后一節(jié)：完備曲面上的比較定理，其中敘述了“比較定理”和“完備曲面上的Toponogov定理”。這將使讀者進一步學習近代比較黎曼幾何時，有較好的分析準備和直觀的幾何背景?？墒菫榱瞬皇贡窘滩牡姆至窟^重，我們不得不刪去一些內容。我們刪去了“緊致曲面的高斯一波涅公式和歐拉示性數”，這個內容當然很重要，不過問題不大，因為在本書的第三章中已經講述了“曲面上的高斯一波涅公式”。此外，在本書的第四章§3“曲面的整體性質”中，我們已經介紹了正高斯曲率的曲面（即卵形面），為了完整起見，我們增加了負高斯曲率曲面的內容，特別是負常高斯曲率的曲面以及相關的Backlund變換的內容。

內容概要

　　《微分幾何（第4版）》是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，在第三版的基礎上修訂而成。這次再版主要是增加了比較微分幾何的內容，使讀者進一步學習近代比較黎曼幾何時，有較好的分析準備和直觀的幾何背景；同時在第四章3中增加了“負常高斯曲率的曲面”的內容，刪除了4“緊致曲面的高斯一波涅公式和歐拉示性數”一節(jié)。《微分幾何(第4版)》可供高等師范院校數學系用作教材。

書籍目錄

第一章 曲線論§1 向量函數1.1 向量函數的極限1.2 向量函數的連續(xù)性1.3 向量函數的微商1.4 向量函數的泰勒（Taylor）公式1.5 向量函數的積分§2 曲線的概念2.1 曲線的概念2.2 光滑曲線 曲線的正常點2.3 曲線的切線和法面2.4 曲線的弧長 自然參數§3 空間曲線3.1 空間曲線的密切平面3.2 空間曲線的基本三棱形3.3 空間曲線的曲率、撓率和伏雷內（Frenet）公式3.4 空間曲線在一點鄰近的結構3.5 空間曲線論的基本定理3.6 一般螺線第二章 曲面論§1 曲面的概念1.1 簡單曲面及其參數表示1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法線1.3 曲面上的曲線族和曲線網§2 曲面的第一基本形式2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲線的弧長2.2 曲面上兩方向的交角2.3 正交曲線族和正交軌線2.4 曲面域的面積2.5 等距變換2.6 保角變換§3 曲面的第二基本形式3.1 曲面的第二基本形式3.2 曲面上曲線的曲率3.3 迪潘（Dupin）指標線3.4 曲面的漸近方向和共軛方向3.5 曲面的主方向和曲率線3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率3.7 曲面在一點鄰近的結構3.8 高斯曲率的幾何意義§4 直紋面和可展曲面4.1 直紋面4.2 可展曲面4.3 線匯§5 曲面論的基本定理5.1 曲面的基本方程和克里斯托費爾（Christoffel）符號5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率張量和高斯-科達齊-邁因納爾迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式5.3 曲面論的基本定理§6 曲面上的測地線6.1 曲面上曲線的測地曲率6.2 曲面上的測地線6.3 曲面上的半測地坐標網6.4 曲面上測地線的短程性6.5 高斯-波涅（Gauss-Bonnet）公式6.6 曲面上向量的平行移動6.7 極小曲面§7 常高斯曲率的曲面7.1 常高斯曲率的曲面7.2 偽球面7.3 羅氏幾何第三章 外微分形式和活動標架§1 外微分形式1.1 格拉斯曼（Grassmann）代數1.2 外微分形式1.3 弗羅貝尼烏斯（Frobenius）定理§2 活動標架2.1 合同變換群2.2 活動標架2.3 活動標架法§3 用活動標架法研究曲面3.1 曲面論的基本定理3.2 曲面的第一和第二基本形式3.3 曲面上的曲線 法曲率 測地曲率和測地撓率3.4 曲面的主曲率 歐拉公式 高斯曲率和平均曲率3.5 曲面上向量的平行移動3.6 閉曲面的高斯-波涅公式第四章 整體微分幾何初步§1 平面曲線的整體性質1.1 旋轉數1.2 凸曲線1.3 等周不等式1.4 四頂點定理1.5 等寬曲線1.6 平面上的Crofton公式§2 空間曲線的整體性質2.1 Fenchel定理2.2 球面上的Crofton公式2.3 Fary-Milnor定理2.4 閉曲線的全撓率§3 曲面的整體性質3.1 曲面的整體定義3.2 曲面的一般性質3.3 卵形面3.4 完備曲面3.5 負常高斯曲率的曲面§4 完備曲面的比較定理4.1 完備曲面上的極坐標系4.2 比較定理4.3 完備曲面上的比較定理名詞索引

章節(jié)摘錄

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編輯推薦

《微分幾何(第4版)》：微分幾何的主要內容是三維歐氏空間的曲線論和曲面論。歐拉是微分幾何的重要奠基人，他早在1736年就引進了平面曲線的內蘊坐標概念，即以曲線弧長作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內蘊幾何的研究；曲面論的奠基人是19世紀的高斯……

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