微分幾何

前言

　　微分幾何是一門歷史悠久的學(xué)科，可以說，微分幾何是與微積分同時誕生的，微積分最初研究的對象包括曲線的切線與長度，曲線圍成的區(qū)域面積等內(nèi)容。微積分在幾何中的應(yīng)用后來發(fā)展成為本書介紹的曲線論與曲面論。這門學(xué)科的生命力至今很旺盛，近幾十年來它與數(shù)學(xué)中其他分支如代數(shù)、拓?fù)洹⒎治?，與物理等學(xué)科互相影響促進(jìn)，有許多應(yīng)用。它的內(nèi)容與研究方法也在不斷發(fā)展，一直處于數(shù)學(xué)研究的中心?！　∵@是一本微分幾何的入門教材，用解析幾何、微積分、線性代數(shù)等工具研究三維歐氏空間的曲線與曲面，希望有興趣的讀者進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究微分幾何。全書共五章，第一章以Frenet公式及曲率，撓率為中心介紹經(jīng)典的空間曲線理論?，F(xiàn)代微分幾何研究的中心是整體問題，或大范圍問題，第二章介紹一些平面曲線的整體微分幾何。第三章以第一，第二基本形式為主線介紹空間曲面的局部理論?！　∵@本教材在科學(xué)合理取材與安排，在定理的證明等方面作一些嘗試，努力做到綱目清楚，論證嚴(yán)格，易于教學(xué)。寫作時注意區(qū)分局部性質(zhì)與整體性質(zhì)，在整體微分幾何的選材上注意所選內(nèi)容有典型性能反映微分幾何的發(fā)展及應(yīng)用，也考慮到學(xué)生的接受能力以及教材的前后一致等。教材介紹的整體微分幾何的內(nèi)容是經(jīng)典的，希望通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)開拓視野。

內(nèi)容概要

　　《微分幾何》是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材，全書共分五章，第一章以Frenet公式為中心介紹窨曲線理論；第二章介紹一些平面曲線的整體微分幾何；第三章以第一、第二基本形式為主線介紹空間曲面的局部理論；第四章介紹曲面上的測地線與Gauss-Bonnet公式；第五章介紹曲面上矢量的平行移動與Levi-Civita聯(lián)絡(luò)以及了解研究曲線、曲面幾何的方法如何推廣到Riemann流行上。

書籍目錄

第一章 空間曲線1.1 預(yù)備知識習(xí)題1.11.2 曲線的概念1.2.1 曲線的一般概念1.2.2 弧長與弧長參數(shù)習(xí)題1.21.3 空間曲線的nenet公式1.3.1 曲線的密切平面1.3.2 曲線的基本三棱形1.3.3 曲線的曲率和撓率1.3.4 空間曲線在一點附近的形狀習(xí)題1.31.4 平面曲線的nenet公式習(xí)題1.41.5 nenet公式的運用1.5.1 漸伸線與漸縮線1.5.2 球面曲線1.5.3 Bertrand曲線1.5.4 一般螺線習(xí)題1.51.6 空間曲線論基本定理習(xí)題1.6第二章 平面曲線的整體性質(zhì)2.1 平面閉曲線的等周不等式習(xí)題2.12.2 平面曲線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理習(xí)題2.22.3 卵形線2.3.1 凸曲線2.3.2 四頂點定理2.3.3 支持函數(shù)習(xí)題2.3第三章 曲面的局部理論3.1 曲面習(xí)題3.13.2 曲面的第一基本形式3.2.1 第一基本形式3.2.2 曲面的面積3.2.3 曲面上方向的夾角，正交網(wǎng)習(xí)題3.23.3 曲面的等距變換與保角變換3.3.1 等距變換3.3.2 保角變換習(xí)題3.33.4 曲面的第二基本形式3.4.1 曲面的第二基本形式3.4.2 法曲率3.4.3 漸近曲線習(xí)題3.43.5 主方向與主曲率Euler公式3.5.1 主方向與主曲率3.5.2 Euler公式習(xí)題3.53.6 Gauss曲率3.6.1 Gauss曲率3.6.2 Gauss映射3.6.3 Gauss的絕妙定理習(xí)題3.63.7 直紋面與可展曲面3.7.1 直紋面3.7.2 可展曲面習(xí)題3.73.8 一些特殊曲面3.8.1 常Gauss曲率曲面3.8.2 極小曲面習(xí)題3.83.9 曲面論基本定理3.9.1 曲面的基本方程3.9.2 曲面論基本定理習(xí)題3.9第四章 測地線與Gauss-Bonnet公式4.1 曲面上的測地線4.1.1 測地曲率4.1.2 測地線4.1.3 曲面上的半測地坐標(biāo)網(wǎng)習(xí)題4.14.2 Gauss-Bonnet公式4.2.1 平面閉曲線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)4.2.2 Gauss-Bonnet公式習(xí)題4.24.3 整體曲面與Euler數(shù)4.3.1 整體曲面4.3.2 曲面的三角剖分與Euler示性數(shù)習(xí)題4.34.4 整體的Gauss-Bonnet公式4.4.1 整體的Gauss-Bonnet公式4.4.2 Gauss映射的映射度4.4.3 卵形面習(xí)題4.4第五章 曲面上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)5.1 曲面上矢量的平行移動5.1.1 曲面上矢量的平行移動5.1.2 平行矢量場的角變差習(xí)題5.15.2 曲面上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)5.2.1 曲面上的矢量場5.2.2 曲面上的矢量場與Euler數(shù)5.2.3 曲面上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)習(xí)題5.25.3 外微分形式與活動標(biāo)架法5.3.1 外微分形式5.3.2 活動標(biāo)架法習(xí)題5.35.4 Riemann幾何簡介5.4.1 Riemann幾何簡介5.4.2 一個重要的例子習(xí)題5.4附錄1 變分法1 弧長變分2 面積變分附錄2 旋轉(zhuǎn)角附錄3 空間的等距變換習(xí)題名詞索引參考文獻(xiàn)

圖書封面

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