調(diào)和映照講義

前言

對流形之間的映照可很自然地引入能量的概念，這種能量泛函的臨界點稱為調(diào)和映照，開始，調(diào)和映照的研究是和極小曲面的理論聯(lián)系在一起的，Bochner首先將調(diào)和映照理論作為廣義極小曲面而獨立出來，但是，重要的存在性和正則性理論一直等到C，Morrey在上世紀四十年代晚期解決著名的Plateau問題后才建立起來，Moi_rey的理論深刻地影響了后來所有在二維曲面上調(diào)和映照的工作，其中包括Sacks-ulenbeck在極小球面的基本工作和不可壓縮極小曲面的工作，在上世紀七十年代中期，我們已認識到調(diào)和映照理論可用于研究，Teichmuller理論和Kahler幾何。本書的第一部分關注黎曼面上的調(diào)和映照，討論了我們感到有意義的內(nèi)容，概不能全地忽略了很多重要發(fā)展，調(diào)和映照作為恰好可解的模型是最令人注目的。高維流形上的調(diào)和映照理論直到上世紀六十年代中才由Eells和sampson取得主要突破。他們不用變分法，而用后來對幾何產(chǎn)生深刻影響的熱方程法。當目標流形不一定是負曲率的時候，正則性理論的建立要晚得多，本書第二部分的頭兩章中，我們展開了這種正則性理論，其中目標空間可以不是良好的流形。這樣框架下的正則性理論是由本書第一作者，以及后來第一作者和N，KoIevaar的合作發(fā)展起來的，在上世紀七十年代初，第二作者意識到Eells和sampson的定理可以用來重新證明MostOW的著名剛性定理和Margulis的超剛性定理。

內(nèi)容概要

調(diào)和映照是流形間映照能量泛函的臨界點，是幾何中測地線以及極小曲面概念的自然推廣。     《調(diào)和映照講義》分兩部分。第一部分根據(jù)作者于1985年在美國加州大學San Diego分艘作關于調(diào)和映照課題的系列演講的內(nèi)容整理而成。這一部分致力于黎曼面上的調(diào)和映照。內(nèi)容包括Teichmuller空間的緊化，Sacks-Ulenbeck在極小球面的基本工作和不可壓縮極小曲面的工作以及運用調(diào)和映照來證明著名的Frankel猜想等。     《調(diào)和映照講義》第二部分的頭兩章中，討論了調(diào)和映照的正則性理論，其中目標空間可以不是良好的流形。第二部分還包括將調(diào)和映照理論用來研究負曲率流形的拓撲性質(zhì)?！墩{(diào)和映照講義》最后一章用調(diào)和映照方法對著名的Mostow的剛性定理和Margulis超剛性定理給出概念上和原始證明不同的全新的證明?！墩{(diào)和映照講義》可作為研究生教材，也可供高等學校數(shù)學系及物理系研究生及有關科研人員參考。

作者簡介

丘成桐，中國現(xiàn)代數(shù)學家。原籍廣東蕉嶺，1949年4月4日生于廣東汕頭，后全家移居香港。早年喪父，家境清貧，母親克服種種困難供其上學。在香港培正中學就讀時勤奮鉆研數(shù)學，成績優(yōu)異。1966年入香港中文大學數(shù)學系，1969年提前修完四年課程，為美國伯克利加州大學陳省身教授所器重，破格錄取為研究生。在陳省身指導下，1971年獲博士學位。后在斯托尼布魯克的紐約州立大學、斯坦福大學等校任教，并為普林斯頓高級研究所終身教授，現(xiàn)在圣地亞哥加州大學任教。

書籍目錄

第一部分　第一章　曲面的調(diào)和映照　　1.映照的能量　　　　2.調(diào)和映照的方程　　3.曲面上的問題　　4.Rado定理　　5.Hopf微分　　6.方程的復形式　　7.Bochner公式　　8.何時調(diào)和映照為微分同胚?　　9.雙曲曲面的映照　　10.Picard型問題　第二章　Teichmuller空間的緊化　　1.引言　　2.Teichmuller空間　　3.微分同胚于Q06g-6　　4.Teichmuller空間的緊化　　5.可測葉狀結(jié)構(gòu)　　6.{pt}和{Fv(tφ0)}間的漸近關系　　7.Thurston和Wolf的緊化　　　　8.拉伸估計　　9.中發(fā)散序列{pn}的性質(zhì)　　10.緊化定理的證明　第三章　具常負全純截面曲率Kiihler流形的調(diào)和映照　　1.|af|2,|af|2的Laplace　　2.面積不減小的調(diào)和映照　　3.到球體的商流形的映照　　4.Gromov擬?！　?.雙曲流形的Gromov模　　6.對稱域的K／ihler類的Gromov?！〉谒恼隆ahler曲面中的極小曲面　　1.孤立復切平面的指標　　2.Kahler曲面中的非全純極小浸入　第五章　歐氏空間中的穩(wěn)定極小曲面　　1.穩(wěn)定性不等式的復形式　　2.到R2n中全純浸入的一個特征　　3.具有限全曲率和虧格為零的穩(wěn)定極小曲面　　4.R4中的穩(wěn)定極小曲面　第六章　二維球極小浸入的存在性　　1.從曲面出發(fā)的調(diào)和映照　　2.擾動問題的性質(zhì)　　3.估計和推廣　　4.擾動問題臨界映照的收斂性　　5.應用和結(jié)果　第七章　具正全迷向曲率的流形　　1.正全迷向截面曲率　　2.M中調(diào)和2-維球面的指標　　3.α-能量的低指標數(shù)的臨界點　　4.小指標數(shù)調(diào)和二維球的存在性　第八章　具正全純雙截面曲率的緊致Kahler流形　　1.能量,a-能量,以及a-能量　　2.第二變分公式　　3.能量極小映照的復解析性　　4.能量極小映照的存在性　　5.Frankel猜想的證明　參考文獻第二部分　第九章　調(diào)和映照問題的分析觀點和方法　　1.基本問題的程式　　2.Dirichlet問題的可解性　　3.凸性和唯一性定理　　4.調(diào)和映照的先驗估計　　5.一個局部存在定理　　6.同倫Dirichlet問題　　7.存在性和弱解的正則性　　8.熱方程法和非緊目標流形　　參考文獻　第十章　Soblev空間和到度量空間的調(diào)和映照　　1.到距離空間映照的Sobolev空間理論　　2.到非正彎曲度量空間的調(diào)和映照　　參考文獻　第十一章　調(diào)和映照的?？臻g,緊群作用和非正曲率流形的拓撲　　1.距離函數(shù)Hessian的計算　　2.調(diào)和映照的唯一性　　3.調(diào)和映照和完備流形　　4.光滑作用于流形的緊群　　參考文獻　第十二章　調(diào)和映照,穩(wěn)定超曲面的拓撲以及具有非負Ricci曲率的流形　　1.具有有限能量調(diào)和映照的存在性　　2.具有非負Ricci曲率完備流形的基本群　　3.穩(wěn)定浸入的基本群　　參考文獻　第十三章　調(diào)和映照和超剛性　　1.調(diào)和映照的Matsushima型公式　　2.非緊型局部對稱空間的剛性定理　　3.不同情形的討論　　參考文獻

章節(jié)摘錄

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