工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)釋疑解難

前言

　　本書(shū)是“高等教育百門(mén)精品課程教材建設(shè)計(jì)劃”（此計(jì)劃作為整體已列入新聞出版總署“十五”國(guó)家重點(diǎn)圖書(shū)規(guī)劃）研究成果之一，是與普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》（第二版，馬知恩、王錦森主編，高等教育出版社，2006年）（本書(shū)中均稱(chēng)之為《教材》）相配套的教學(xué)輔導(dǎo)書(shū)和參考書(shū)?！　「叩葦?shù)學(xué)是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，學(xué)好這門(mén)課程，不僅對(duì)于后繼課程的學(xué)習(xí)十分重要，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力乃至將來(lái)的工作能力都會(huì)產(chǎn)生十分深遠(yuǎn)的影響。與初等數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)具有概念更加抽象、理論更加嚴(yán)謹(jǐn)、方法更為綜合、應(yīng)用更為廣泛等特點(diǎn)，因而初學(xué)者在學(xué)習(xí)中往往會(huì)產(chǎn)生種種疑難問(wèn)題，特別是對(duì)某些抽象概念與理論理解不夠或者理解錯(cuò)誤，其中學(xué)了不會(huì)用或者用錯(cuò)等問(wèn)題尤為突出。為了幫助讀者解決這些問(wèn)題，并盡快掌握高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，我們編寫(xiě)了這本書(shū)。我們根據(jù)“工科類(lèi)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”以及長(zhǎng)期的教學(xué)積累，整理提煉出來(lái)226個(gè)高等數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，本書(shū)采用問(wèn)與答的形式，解答了這些問(wèn)題，其內(nèi)容主要涉及對(duì)高等數(shù)學(xué)基本概念與基本理論的理解問(wèn)題，對(duì)基本方法的應(yīng)用問(wèn)題，一些基本內(nèi)容的歸納小結(jié)，典型錯(cuò)誤問(wèn)題剖析，相關(guān)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，一些概念、理論與方法的適當(dāng)延伸或者進(jìn)一步討論，等等。本書(shū)既注重理論分析，又注重通過(guò)正反兩方面的例子來(lái)具體說(shuō)明問(wèn)題；既注重?cái)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又注重對(duì)讀者的啟發(fā)引導(dǎo)及能力的培養(yǎng)。希望本書(shū)有助于讀者正確、深刻地理解高等數(shù)學(xué)的基本概念與基本理論，正確并熟練地掌握高等數(shù)學(xué)處理問(wèn)題的基本方法。也希望讀者能在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，不斷地增長(zhǎng)知識(shí)，提高分析和解決問(wèn)題的能力。　　本書(shū)由魏戰(zhàn)線主編，其中第一章由李換琴副教授編寫(xiě)，第二、五章由武忠祥教授編寫(xiě)，第三、六章由魏戰(zhàn)線教授編寫(xiě)，第四、七章由常爭(zhēng)鳴副教授編寫(xiě)，附錄由朱旭副教授編寫(xiě)，全書(shū)由魏戰(zhàn)線統(tǒng)稿并作了一些修改。限于編者水平，本書(shū)難免存在不足甚至錯(cuò)誤之處，真誠(chéng)希望使用本書(shū)的廣大讀者及同行們批評(píng)指正。　　由于教材第八章通常作為選學(xué)內(nèi)容，考慮到大多數(shù)讀者的實(shí)際需要，本書(shū)略去了這一章的釋疑解難。同時(shí)為了方便學(xué)習(xí)多元微積分，本書(shū)增加了一個(gè)附錄，內(nèi)容為向量代數(shù)與空間解析幾何方面的釋疑解難?！　”緯?shū)可供學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的讀者作為學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)，也可供有關(guān)教師作為教學(xué)參考書(shū)，還可供報(bào)考碩士研究生的讀者作為復(fù)習(xí)應(yīng)考書(shū)。

內(nèi)容概要

本書(shū)是“高等教育百門(mén)精品課程教材建設(shè)計(jì)劃”（此計(jì)劃作為整體已列入新聞出版總署“十五”國(guó)家重點(diǎn)圖書(shū)規(guī)劃）研究成果之一，是與普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材《工科數(shù)：學(xué)分析基礎(chǔ)》（第二版）相配套的教學(xué)輔導(dǎo)書(shū)和參考書(shū)。    本書(shū)采用問(wèn)與答的形式，解答了編者根據(jù)教學(xué)基本要求及長(zhǎng)期的教學(xué)積累所整理和提煉出來(lái)的226個(gè)高等數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題。本書(shū)共有七章，內(nèi)容包括：函數(shù)、極限、連續(xù)，一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用，一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用，無(wú)窮級(jí)數(shù)，多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用，多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用，常微分方程以及附錄：向量代數(shù)與空間解析幾何。    本書(shū)可供學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的讀者作為學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)，也可供有關(guān)教師作為教學(xué)參考書(shū)，還可供報(bào)考碩士研究生的讀者作為復(fù)習(xí)參考之用。

書(shū)籍目錄

第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)　問(wèn)題1.1 為什么要引入確界概念？　問(wèn)題1.2 上確界（下確界）有哪些等價(jià)敘述？　問(wèn)題1.3 凡是能夠用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)一定是初等函數(shù)嗎？　問(wèn)題1.4 怎樣用“ε-N”語(yǔ)言描述lim αn/n→∞≠A？　問(wèn)題1.5 如果{x2n}和{x2n+1}都以A為極限（n→∞），是否必定有l(wèi)imXn/n→∞=A？　問(wèn)題1.6 關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)命題的等價(jià)性　問(wèn)題　問(wèn)題1.7 為什么說(shuō)當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)f（x）=sin1/X沒(méi)有極限？　問(wèn)題1.8 復(fù)合函數(shù)求極限　問(wèn)題　問(wèn)題1.9 討論無(wú)窮小有什么意義？　問(wèn)題1.10 兩個(gè)都不是無(wú)窮大的數(shù)列的積一定不是無(wú)窮大嗎？　問(wèn)題1.11 是否任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較？　問(wèn)題1.12 無(wú)窮大量與無(wú)界變量有什么區(qū)別？它們之間有什么關(guān)系？　問(wèn)題1.13 函數(shù)f（x）在點(diǎn)α處連續(xù)有哪些等價(jià)敘述？　問(wèn)題1.14 在一點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)是否在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域也連續(xù)？　問(wèn)題1.15 連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的乘積是否一定不連續(xù)？　問(wèn)題1.16 為什么說(shuō)初等函數(shù)在它的定義區(qū)間連續(xù)，而不說(shuō)在定義域上連續(xù)？　問(wèn)題1.17 是否存在在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上點(diǎn)點(diǎn)有定義但點(diǎn)點(diǎn)不連續(xù)的函數(shù)？　問(wèn)題1.18 如何判定函數(shù)f（x）在區(qū)間ι上的一致連續(xù)性？　問(wèn)題1.19 兩個(gè)一致連續(xù)函數(shù)的乘積也一致連續(xù)嗎？　問(wèn)題1.20 如何利用壓縮映射原理求極限？第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用　問(wèn)題2.1 關(guān)于導(dǎo)數(shù)等價(jià)定義的　問(wèn)題　問(wèn)題2.2 如果函數(shù)f（x）在x0處可導(dǎo)，那么是否存在x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)f（x）也一定可導(dǎo)？　問(wèn)題2.3 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，是否在該點(diǎn)的某鄰域內(nèi)該函數(shù)一定連續(xù)？　問(wèn)題2.4 若函數(shù)f（x）在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，那么其導(dǎo)函數(shù)f（x）是否一定在x0處連續(xù)？　問(wèn)題2.5 若函數(shù)y=f（x）在x=x0處左右導(dǎo)數(shù)都存在，那么y=f（x）在x=x0處是否一定連續(xù)？　問(wèn)題2.6 當(dāng)x→a+時(shí)，f（x）→∞與f（x）→∞之間是否有什么必然聯(lián)系？　問(wèn)題2.7 可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù)嗎？可導(dǎo)的非周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定不是周期函數(shù)嗎？　問(wèn)題2.8 關(guān)于函數(shù)奇偶性與導(dǎo)函數(shù)奇偶性之間的關(guān)系　問(wèn)題2.9 關(guān)于復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)性的　問(wèn)題　問(wèn)題2.10 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的一種典型錯(cuò)誤　問(wèn)題2.11 討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性的一種錯(cuò)誤　問(wèn)題2.12 符號(hào)f'+（x0）與f（x0+0）是否有區(qū)別？　問(wèn)題2.13 在什么條件下一定有f'+（x0）=f'（x0+0）？　問(wèn)題2.14 若函數(shù)y=f（x）在x=x0處不可導(dǎo)，那么曲線y=f（x）是否在點(diǎn)（x0，f（x0））處不存在切線？　問(wèn)題2.15 參數(shù)方程求導(dǎo)的一種典型錯(cuò)誤　問(wèn)題2.16 如果f（x）在（α，b）上可導(dǎo)，那么其導(dǎo)函數(shù)f'（x）在（α，b）上是否一定連續(xù)？　問(wèn)題2.17 微分dy=f'（x）dx中的dx是否一定要很??？　問(wèn)題2.18 函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'（x0）與函數(shù)f（x）的微分dy=f'（x0）△x有什么區(qū)別？　問(wèn)題2.19 當(dāng)△x→0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)處的微分dy一定是與△x同階的無(wú)窮小嗎？　問(wèn)題2.20 Rolle定理結(jié)論中的f'（ξ）=0的點(diǎn)ξ是否一定為f（x）的極值點(diǎn)？　問(wèn)題2.21 證明方程根的存在性時(shí)有哪幾種常用的方法？　問(wèn)題2.22 確定方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)，有哪幾種常用方法？　問(wèn)題2.23 若當(dāng)x充分大以后f（x）可導(dǎo)，且lim f（x）=C（常數(shù)），是否必有l(wèi)im f'（x）=0？第三章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第四章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第五章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用第六章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第七章 常微分方程附錄 向量代數(shù)與空間解析幾何

編輯推薦

　　《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)釋疑解難》根據(jù)“工科類(lèi)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”以及長(zhǎng)期的教學(xué)積累，整理提煉出來(lái)226個(gè)高等數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，并采用問(wèn)與答的形式，解答了這些問(wèn)題。其內(nèi)容主要涉及對(duì)高等數(shù)學(xué)基本概念與基本理論的理解問(wèn)題，對(duì)基本方法的應(yīng)用問(wèn)題，一些基本內(nèi)容的歸納小結(jié)，典型錯(cuò)誤問(wèn)題剖析，相關(guān)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，一些概念、理論與方法的適當(dāng)延伸或者進(jìn)一步討論等?！豆た茢?shù)學(xué)分析基礎(chǔ)釋疑解難》注重理論分析，通過(guò)正反兩方面的例子來(lái)具體說(shuō)明問(wèn)題。

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