工科數(shù)學分析基礎釋疑解難

前言

　　本書是“高等教育百門精品課程教材建設計劃”（此計劃作為整體已列入新聞出版總署“十五”國家重點圖書規(guī)劃）研究成果之一，是與普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材《工科數(shù)學分析基礎》（第二版，馬知恩、王錦森主編，高等教育出版社，2006年）（本書中均稱之為《教材》）相配套的教學輔導書和參考書。　　高等數(shù)學是理工科院校最重要的基礎課之一，學好這門課程，不僅對于后繼課程的學習十分重要，而且對于培養(yǎng)學生的科學思維能力乃至將來的工作能力都會產生十分深遠的影響。與初等數(shù)學相比，高等數(shù)學具有概念更加抽象、理論更加嚴謹、方法更為綜合、應用更為廣泛等特點，因而初學者在學習中往往會產生種種疑難問題，特別是對某些抽象概念與理論理解不夠或者理解錯誤，其中學了不會用或者用錯等問題尤為突出。為了幫助讀者解決這些問題，并盡快掌握高等數(shù)學的基本內容，我們編寫了這本書。我們根據(jù)“工科類本科數(shù)學基礎課程教學基本要求”以及長期的教學積累，整理提煉出來226個高等數(shù)學中的常見問題，本書采用問與答的形式，解答了這些問題，其內容主要涉及對高等數(shù)學基本概念與基本理論的理解問題，對基本方法的應用問題，一些基本內容的歸納小結，典型錯誤問題剖析，相關概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，一些概念、理論與方法的適當延伸或者進一步討論，等等。本書既注重理論分析，又注重通過正反兩方面的例子來具體說明問題；既注重數(shù)學的嚴謹性，又注重對讀者的啟發(fā)引導及能力的培養(yǎng)。希望本書有助于讀者正確、深刻地理解高等數(shù)學的基本概念與基本理論，正確并熟練地掌握高等數(shù)學處理問題的基本方法。也希望讀者能在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程中，不斷地增長知識，提高分析和解決問題的能力?！　”緯晌簯?zhàn)線主編，其中第一章由李換琴副教授編寫，第二、五章由武忠祥教授編寫，第三、六章由魏戰(zhàn)線教授編寫，第四、七章由常爭鳴副教授編寫，附錄由朱旭副教授編寫，全書由魏戰(zhàn)線統(tǒng)稿并作了一些修改。限于編者水平，本書難免存在不足甚至錯誤之處，真誠希望使用本書的廣大讀者及同行們批評指正?！　∮捎诮滩牡诎苏峦ǔＷ鳛檫x學內容，考慮到大多數(shù)讀者的實際需要，本書略去了這一章的釋疑解難。同時為了方便學習多元微積分，本書增加了一個附錄，內容為向量代數(shù)與空間解析幾何方面的釋疑解難?！　”緯晒W習高等數(shù)學的讀者作為學習輔導書，也可供有關教師作為教學參考書，還可供報考碩士研究生的讀者作為復習應考書。

內容概要

本書是“高等教育百門精品課程教材建設計劃”（此計劃作為整體已列入新聞出版總署“十五”國家重點圖書規(guī)劃）研究成果之一，是與普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材《工科數(shù)：學分析基礎》（第二版）相配套的教學輔導書和參考書。    本書采用問與答的形式，解答了編者根據(jù)教學基本要求及長期的教學積累所整理和提煉出來的226個高等數(shù)學中的常見問題。本書共有七章，內容包括：函數(shù)、極限、連續(xù)，一元函數(shù)微分學及其應用，一元函數(shù)積分學及其應用，無窮級數(shù)，多元函數(shù)微分學及其應用，多元函數(shù)積分學及其應用，常微分方程以及附錄：向量代數(shù)與空間解析幾何。    本書可供學習高等數(shù)學的讀者作為學習輔導書，也可供有關教師作為教學參考書，還可供報考碩士研究生的讀者作為復習參考之用。

書籍目錄

第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)　問題1.1 為什么要引入確界概念？　問題1.2 上確界（下確界）有哪些等價敘述？　問題1.3 凡是能夠用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)一定是初等函數(shù)嗎？　問題1.4 怎樣用“ε-N”語言描述lim αn/n→∞≠A？　問題1.5 如果{x2n}和{x2n+1}都以A為極限（n→∞），是否必定有l(wèi)imXn/n→∞=A？　問題1.6 關于實數(shù)完備性的幾個命題的等價性　問題　問題1.7 為什么說當x→0時，函數(shù)f（x）=sin1/X沒有極限？　問題1.8 復合函數(shù)求極限　問題　問題1.9 討論無窮小有什么意義？　問題1.10 兩個都不是無窮大的數(shù)列的積一定不是無窮大嗎？　問題1.11 是否任何兩個無窮小量都可以比較？　問題1.12 無窮大量與無界變量有什么區(qū)別？它們之間有什么關系？　問題1.13 函數(shù)f（x）在點α處連續(xù)有哪些等價敘述？　問題1.14 在一點連續(xù)的函數(shù)是否在該點的某個鄰域也連續(xù)？　問題1.15 連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的乘積是否一定不連續(xù)？　問題1.16 為什么說初等函數(shù)在它的定義區(qū)間連續(xù)，而不說在定義域上連續(xù)？　問題1.17 是否存在在整個實數(shù)軸上點點有定義但點點不連續(xù)的函數(shù)？　問題1.18 如何判定函數(shù)f（x）在區(qū)間ι上的一致連續(xù)性？　問題1.19 兩個一致連續(xù)函數(shù)的乘積也一致連續(xù)嗎？　問題1.20 如何利用壓縮映射原理求極限？第二章 一元函數(shù)微分學及其應用　問題2.1 關于導數(shù)等價定義的　問題　問題2.2 如果函數(shù)f（x）在x0處可導，那么是否存在x0點的一個鄰域，在此鄰域內f（x）也一定可導？　問題2.3 函數(shù)在一點可導，是否在該點的某鄰域內該函數(shù)一定連續(xù)？　問題2.4 若函數(shù)f（x）在x0的某鄰域內可導，那么其導函數(shù)f（x）是否一定在x0處連續(xù)？　問題2.5 若函數(shù)y=f（x）在x=x0處左右導數(shù)都存在，那么y=f（x）在x=x0處是否一定連續(xù)？　問題2.6 當x→a+時，f（x）→∞與f（x）→∞之間是否有什么必然聯(lián)系？　問題2.7 可導的周期函數(shù)的導函數(shù)還是周期函數(shù)嗎？可導的非周期函數(shù)的導函數(shù)一定不是周期函數(shù)嗎？　問題2.8 關于函數(shù)奇偶性與導函數(shù)奇偶性之間的關系　問題2.9 關于復合函數(shù)可導性的　問題　問題2.10 求分段函數(shù)在分界點處導數(shù)的一種典型錯誤　問題2.11 討論分段函數(shù)在分界點處可導性的一種錯誤　問題2.12 符號f'+（x0）與f（x0+0）是否有區(qū)別？　問題2.13 在什么條件下一定有f'+（x0）=f'（x0+0）？　問題2.14 若函數(shù)y=f（x）在x=x0處不可導，那么曲線y=f（x）是否在點（x0，f（x0））處不存在切線？　問題2.15 參數(shù)方程求導的一種典型錯誤　問題2.16 如果f（x）在（α，b）上可導，那么其導函數(shù)f'（x）在（α，b）上是否一定連續(xù)？　問題2.17 微分dy=f'（x）dx中的dx是否一定要很??？　問題2.18 函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)f'（x0）與函數(shù)f（x）的微分dy=f'（x0）△x有什么區(qū)別？　問題2.19 當△x→0時，函數(shù)f（x）在x0點處的微分dy一定是與△x同階的無窮小嗎？　問題2.20 Rolle定理結論中的f'（ξ）=0的點ξ是否一定為f（x）的極值點？　問題2.21 證明方程根的存在性時有哪幾種常用的方法？　問題2.22 確定方程f（x）=0的根的個數(shù)，有哪幾種常用方法？　問題2.23 若當x充分大以后f（x）可導，且lim f（x）=C（常數(shù)），是否必有l(wèi)im f'（x）=0？第三章 一元函數(shù)積分學及其應用第四章 無窮級數(shù)第五章 多元函數(shù)微分學及其應用第六章 多元函數(shù)積分學及其應用第七章 常微分方程附錄 向量代數(shù)與空間解析幾何

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　　《工科數(shù)學分析基礎釋疑解難》根據(jù)“工科類本科數(shù)學基礎課程教學基本要求”以及長期的教學積累，整理提煉出來226個高等數(shù)學中的常見問題，并采用問與答的形式，解答了這些問題。其內容主要涉及對高等數(shù)學基本概念與基本理論的理解問題，對基本方法的應用問題，一些基本內容的歸納小結，典型錯誤問題剖析，相關概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，一些概念、理論與方法的適當延伸或者進一步討論等?！豆た茢?shù)學分析基礎釋疑解難》注重理論分析，通過正反兩方面的例子來具體說明問題。

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