大學(xué)文科數(shù)學(xué)

前言

面向21世紀(jì)課程教材——《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》自2001年出版以來，因其新穎獨特、適用性強，被眾多各類高校連年選用，堪稱幸事。期間，部分教師也提出了一些有益的修改建議，倍生感激。經(jīng)多年應(yīng)用實踐，作者將原教材重新進行修訂，其第二版已列入普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。為順應(yīng)我國高等院校文科專業(yè)培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才的發(fā)展趨勢，本教材進一步突出了文而兼理、選材適當(dāng)、形式新穎、伸縮性強的特色，既可進行知識技能教育，又可進行文化素質(zhì)教育，從而更適合于各類高校文科專業(yè)教學(xué)需要。作者主要在如下幾個方面作了修訂：各章適當(dāng)增加了一些習(xí)題；簡化了推斷統(tǒng)計中較繁難的陳述；調(diào)整了第一、二章中極限與函數(shù)的講述順序；刪去了線性規(guī)劃和數(shù)學(xué)方法論簡介兩章內(nèi)容；在各章末附設(shè)了兩個閱讀材料，一是數(shù)學(xué)思想方法簡介，二是數(shù)學(xué)家簡介。其中數(shù)學(xué)思想方法簡介是新增內(nèi)容，敘述簡明扼要、通俗易懂，并且聯(lián)系各章數(shù)學(xué)內(nèi)容作了例釋，從而有助于文科學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，理解、掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。從素質(zhì)教育的宗旨來考慮，這與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識同樣重要。本教材分為必修和選修兩篇內(nèi)容，保持了教材的伸縮性，有利于不同學(xué)校、不同專業(yè)依據(jù)學(xué)時多少靈活選用。本次修訂工作主要由張國楚、王立冬負責(zé)。其中，第1-3章由張國楚完成，第4-6章由劉崗?fù)瓿?，?章由于義良完成，第8-10章由王立冬完成；張國楚、徐本順撰寫了各章的數(shù)學(xué)思想方法簡介。本書承蒙王梓坤院士熱情指導(dǎo)，欣然題詞，這里謹致以最誠摯的謝意。同時，感謝高等教育出版社馬麗、于麗娜、崔梅萍編輯為本書付出辛勤工作。編寫一本受歷屆師生歡迎的好教材實屬不易，我們當(dāng)盡綿薄之力。然而，由于水平所限，本次修訂不可避免地會存在不當(dāng)之處，誠望使用本教材的師生坦誠指正。

內(nèi)容概要

　　本書在原面向2l世紀(jì)課程教材的基礎(chǔ)上，經(jīng)反復(fù)錘煉，重新修訂而成，已列入普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。
　　全書內(nèi)容分兩部分，其中必修內(nèi)容包括實數(shù)、函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、概率統(tǒng)計初步；選修內(nèi)容包括線性代數(shù)、微分方程、二元微積分。教師可根據(jù)教學(xué)需要靈活選擇教學(xué)內(nèi)容。
　　本書從各個角度自然地引入數(shù)學(xué)的基本概念，既展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，又示范性地保持了數(shù)學(xué)所特有的形式化本質(zhì)特征；列舉了不少有應(yīng)用價值的實例，也扼要地闡明了具有啟發(fā)意義的數(shù)學(xué)思想方法；通過對數(shù)學(xué)內(nèi)容的辯證分析、典型數(shù)學(xué)史料的穿插融合，以及章末附設(shè)的數(shù)學(xué)思想方法簡介和數(shù)學(xué)家簡介兩個閱讀材料，介紹了數(shù)學(xué)與邏輯、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與教育、數(shù)學(xué)與文化、數(shù)學(xué)家品質(zhì)與業(yè)績等內(nèi)容，滲透了數(shù)學(xué)的人文精神。本書在數(shù)學(xué)內(nèi)容的選擇與組織上，考慮到文科數(shù)學(xué)學(xué)時的限制，在必須精簡的條件下，注意了學(xué)科的系統(tǒng)性。
　　本書可作為高等院校文科各專業(yè)教材。第一版教材的配套輔導(dǎo)書《大學(xué)文科數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》已出版發(fā)行，可配合第二版教材使用。

書籍目錄

第一篇　必修內(nèi)容
第一章　微積分的基礎(chǔ)和研究對象
　§1 微積分的基礎(chǔ)——集合、實數(shù)和極限
　　1.1 從牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學(xué)危機談起
　　1.2 極限、實數(shù)、集合在微積分中的作用
　　1.3 實數(shù)系的建立及鄰域概念
　§2 微積分的研究對象——函數(shù)
　　2.1 變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型——函數(shù)
　　2.2 逆向思維一例——反函數(shù)
　　2.3 基本初等函數(shù)
　　2.4 復(fù)合函數(shù)
　　2.5 初等函數(shù)的含義
　　2.6 MM能力培養(yǎng)
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　　悖論淺談
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　(一)數(shù)學(xué)之神——阿基米德
　　(二)雙目失明的數(shù)學(xué)家——歐拉
　習(xí)題一
第二章　微積分的直接基礎(chǔ)——極限
　§1 從阿基里斯追趕烏龜談起——數(shù)列極限
　　1.1 數(shù)列的概念
　　1.2 數(shù)列極限的定性描述
　　1.3 數(shù)列極限的定量描述
　　1.4 數(shù)列極限中蘊含的辯證思想
　§2 函數(shù)極限
　　2.1 自變量X無限趨近于有限數(shù)‰時的情形
　　2.2 左極限和右極限
　　2.3 自變量X的絕對值無限增大時的情形
　　2.4 函數(shù)極限的性質(zhì)
　　2.5 無窮大量與無窮小量
　　2.6 極限的四則運算
　　2.7 兩個重要的極限公式
　§3 極限應(yīng)用的一個例子——連續(xù)函數(shù)
　　3.1 連續(xù)函數(shù)的概念
　　3.2 連續(xù)函數(shù)求極限的法則
　　3.3 初等函數(shù)的連續(xù)性
　　3.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　　數(shù)學(xué)思維
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　我國古代偉大數(shù)學(xué)家——祖沖之
　習(xí)題二
第三章　變量變化速度與局部改變量估值問題——導(dǎo)數(shù)與微分
　§1 函數(shù)的局部變化率——導(dǎo)數(shù)
　　1.1 抽象導(dǎo)數(shù)概念的兩個現(xiàn)實原型
　　1.2 導(dǎo)數(shù)概念
　　1.3 求導(dǎo)過程的哲學(xué)分析
　　1.4 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)
　　1.5 函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性之間的關(guān)系
　　1.6 高階導(dǎo)數(shù)的概念
　§2 求導(dǎo)數(shù)的方法——法則與公式
　　2.1 求導(dǎo)法則
　　2.2 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式
　§3 局部改變量的估值問題——微分及其運算
　　3.1 微分
　　3.2 微分公式和法則
　　3.3 微分在近似計算中的應(yīng)用
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　　數(shù)學(xué)抽象
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　科學(xué)巨擘——牛頓
　習(xí)題三
第四章　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題——洛必達法則、函數(shù)的性質(zhì)和圖像
　§1 聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶——中值定理
　　1.1 費馬定理
　　1.2 中值定理(拉格朗日)
　§2 計算不定式極限的一般方法——洛必達法則
　　2.1 兩個基本類型不定式
　　2.2 其他類型的不定式
　§3 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性，極值和最大最小值
　　3.1 函數(shù)的單調(diào)性
　　3.2 函數(shù)的極值
　　3.3 函數(shù)的最大值和最小值
　§4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像——曲線的繪制
　　4.1 曲線的彎曲方向——凹凸性
　　4.2 利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)的圖像
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　數(shù)學(xué)構(gòu)造法
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　業(yè)余數(shù)學(xué)家之王——費馬
　習(xí)題四
第五章　微分的逆運算問題——不定積分
　§1 逆向思維又一例——原函數(shù)與不定積分
　　1.1 原函數(shù)與不定積分的概念
　　1.2 基本積分公式
　　1.3 不定積分的線性運算法則
　§2 矛盾轉(zhuǎn)化法——換元積分法與分部積分法
　　2.1 換元積分法
　　2.2 分部積分法
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　關(guān)系映射反演方法
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　符號大師——萊布尼茨
　習(xí)題五
第六章　求總量的問題——定積分
　§1 特殊和式的極限——定積分的概念
　　1.1 抽象定積分概念的兩個現(xiàn)實原型
　　1.2 定積分的概念
　　1.3 求定積分過程中的辯證思維
　　1.4 可積條件
　　1.5 定積分的性質(zhì)
　§2 計算定積分的一般方法——微積分基本定理
　　2.1 微積分基本定理
　　2.2 定積分的換元積分法和分部積分法
　§3 定積分的拓展——非正常積分
　§4 定積分魅力的顯示——在若干學(xué)科中的應(yīng)用
　　4.1 微元法
　　4.2 在幾何學(xué)中的應(yīng)用
　　4.3 在物理學(xué)中的應(yīng)用——變力作功
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　數(shù)學(xué)模型方法
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　微積分學(xué)在中國的最早傳播人——李善蘭
　習(xí)題六
第七章　偶然中蘊含必然的問題——概率統(tǒng)計初步
　§1 研究偶然現(xiàn)象的基本元素——隨機事件
　　1.1 隨機現(xiàn)象及其描述
　　1.2 事件的關(guān)系及運算
　§2 偶然中的必然——概率
　　2.1 概率的定義
　　2.2 條件概率
　　2.3 全概率公式和貝葉斯公式
　§3 隨機現(xiàn)象的函數(shù)化——隨機變量
　　3.1 隨機變量的概念
　　3.2 離散型隨機變量
　　3.3 連續(xù)型隨機變量
　§4 隨機現(xiàn)象平均特征的描述——期望值
　　4.1 期望值的概念
　　4.2 期望值的性質(zhì)
　§5 隨機現(xiàn)象離散程度的描述——方差
　　5.1 方差的概念
　　5.2 標(biāo)準(zhǔn)差的概念
　　5.3 方差的性質(zhì)
　§6 收集、整理和分析數(shù)據(jù)的方法——統(tǒng)計
　　6.1 總體和樣本
　　6.2 統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布
　§7 由部分刻畫整體的方法——統(tǒng)計推斷
　　7.1 參數(shù)估計
　　7.2 假設(shè)檢驗
　§8 建立線性函數(shù)的實驗方法——一元線性回歸分析
　　8.1 一元線性回歸方程的建立
　　8.2 回歸方程的顯著性研究
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　觀察與實驗
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　 早期研究平均值的科學(xué)家——帕斯卡
　習(xí)題七
第二篇　選修內(nèi)容
第八章　處理線性關(guān)系的數(shù)學(xué)問題——線性代數(shù)概述
　§1 一種特殊數(shù)——行列式
　　1.1 行列式的定義
　　1.2 行列式的性質(zhì)
　§2線 性方程組的解法
　　2.1 克拉默法則
　　2.2 消元法
　§3 應(yīng)用廣泛的數(shù)表——矩陣
　　3.1 矩陣的概念
　　3.2 矩陣的運算
　　3.3 矩陣的應(yīng)用
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　數(shù)學(xué)美學(xué)方法
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　數(shù)學(xué)王子——高斯
　習(xí)題八
第九章　含變化率的方程問題——微分方程淺說
　§1 微分方程初識——一般概念
　　1.1 例子
　　1.2 一般概念
　　1.3 微分方程及其解的幾何解釋
　§2 特殊類型微分方程的解法——初等積分法
　　2.1 分離變量法
　　2.2 可化為變量分離方程的方程
　　2.3 一階線性微分方程
　§3 幾個有趣的實例——若干應(yīng)用模型
　　3.1 單種群模型與人口問題
　　3.2 遺體死亡年代測定問題
　　3.3 刑事偵察中死亡時間的鑒定問題
　　3.4 學(xué)習(xí)過程模型
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證明
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的一座高聳的金字塔——拉格朗日
　習(xí)題九
第十章　一元微積分的推廣——二元微積分概要
　§1 二元函數(shù)微積分的預(yù)備知識
　　1.1 解析幾何的思想方法
　　1.2 空間直角坐標(biāo)系
　　1.3 空間曲面與代數(shù)方程
　　1.4 空間曲線與代數(shù)方程
　　1.5 用代數(shù)方法研究二次曲面
　§2 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性
　　2.1 二元函數(shù)的概念
　　2.2 二元函數(shù)的極限
　　2.3 二元函數(shù)的連續(xù)性
　§3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分
　　3.1 偏導(dǎo)數(shù)及其計算
　　3.2 全微分
　§4 復(fù)合函數(shù)微分法
　§5 二元函數(shù)的極值
　§6 二重積分的概念與計算
　　6.1 二重積分的概念與性質(zhì)
　　6.2 二重積分的計算
　閱讀材料(1) 數(shù)學(xué)思想方法簡介
　數(shù)學(xué)與創(chuàng)造
　閱讀材料(2) 數(shù)學(xué)家簡介
　　(一)追求新幾何的數(shù)學(xué)家——笛卡兒
　　(二)自學(xué)成才的數(shù)學(xué)大師——華羅庚
　習(xí)題十
附錄一　習(xí)題參考答案
附錄二　三個數(shù)表
　(一)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表
　(二)X2分布臨界值表
　(三)相關(guān)系數(shù)臨界值表
參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、生命延續(xù)、物種演化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的相依關(guān)系方面的反映就是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型。16、17世紀(jì)微積分的醞釀和產(chǎn)生，直接肇始于對物體的連續(xù)運動的研究，比如伽利略所研究的落體運動等都是連續(xù)變化的量，這個時期以及18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，雖然已把連續(xù)變化的量作為研究的重要對象，但仍停留在幾何直觀上，即把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)叫做連續(xù)函數(shù)，直至19世紀(jì)，當(dāng)柯西以及稍后的魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家建立起嚴格的極限理論之后，才對連續(xù)函數(shù)作出了純數(shù)學(xué)的精確表述。連續(xù)函數(shù)不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式、法則等，往往要求函數(shù)具有連續(xù)性。本節(jié)將以極限為基礎(chǔ)，作為極限應(yīng)用的一個例子，介紹連續(xù)函數(shù)的概念、運算以及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)。

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《大學(xué)文科數(shù)學(xué)(第2版)》：面向21世紀(jì)課程教材

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