數(shù)學(xué)分析簡明教程(上)（第二版）

前言

　　數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容是微積分，這是人類在科學(xué)中最偉大的創(chuàng)造之一。微積分研究的對象是連續(xù)量。本教程提供給讀者的是一個連續(xù)量的演算體系及其數(shù)學(xué)理論。過去讀者在中小學(xué)學(xué)的算術(shù)與代數(shù)的演算大都只涉及離散量，本教程將提供一套嶄新的演算——連續(xù)量的演算。一個連續(xù)量對另一個連續(xù)量的連續(xù)依賴，其基本問題之一是“瞬時”變化率，或一個連續(xù)量對另一個連續(xù)量的變化“速率”，這就引導(dǎo)到微商的概念。變化率要“瞬時”，這是連續(xù)量的特征之一。變化率為什么要“瞬時”，其根本原因是，這樣就能“機械化”地進行演算了。另一個基本問題是連續(xù)變化的積累，或連續(xù)作用的總和。這就引導(dǎo)到積分的概念。牛頓與萊布尼茨在創(chuàng)立微積分時的重大貢獻之一是發(fā)現(xiàn)求這種連續(xù)量作用的積累或總和，是求變化率運算的逆運算，從而建立了一套連續(xù)量的“機械化”的演算體系。這一切最重要的體現(xiàn)是立微分方程與解微分方程。實數(shù)本質(zhì)上是（一維）連續(xù)量的數(shù)學(xué)模型。本教程上冊講的一元函數(shù)微積分實際上是初等函數(shù)微積分。為了把它推廣到非初等函數(shù)，人們才需要無窮級數(shù)與含參變量積分這樣的工具，同時為了解決多個連續(xù)量之間的依賴關(guān)系問題，才需要發(fā)展到多元微積分。后面這兩部分（無窮級數(shù)與多元微積分）便構(gòu)成了本教程下冊的主要內(nèi)容。極限是對上述所有概念形式化統(tǒng)一處理的工具。用極限可以把上述概念精確化和統(tǒng)一處理，使理論簡明統(tǒng)一。因此，極限的概念與運算將貫穿全書。但應(yīng)提醒讀者注意，一方面不要因為極限貫穿全書便用它掩蓋了數(shù)學(xué)分析研究連續(xù)量演算體系的本質(zhì)；另一方面，對極限的掌握也是通過對微積分各項內(nèi)容的研究而逐步加深的。這是一個循序漸進的過程，讀者不能希望“一蹴而就”。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)分析簡明教程（上）》是教育部“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計劃”的研究成果。是面向21世紀(jì)課程教材。教程用“連續(xù)量的演算體系及其數(shù)學(xué)理論”的全新觀點統(tǒng)率全書，在保留傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分析基本內(nèi)容的前提下，比較好地處理極限與微積分演算及應(yīng)用的關(guān)系，建立了一個既循序漸進、生動直觀，又保持了嚴(yán)密性的系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的教程十分不同。本教程對概念、方法的來源與實質(zhì)，有許多獨到的、精辟的見解。教程分上、下兩冊，《數(shù)學(xué)分析簡明教程（上）》為上冊，主要內(nèi)容包括實數(shù)連續(xù)統(tǒng)、函數(shù)、極限與函數(shù)連續(xù)性、微商與微分、微分中值定理及其應(yīng)用、不定積分、定積分、微積分進一步應(yīng)用、再論實數(shù)系等?！稊?shù)學(xué)分析簡明教程（上）》是作者集幾十年教學(xué)與教改經(jīng)驗之力作，在教學(xué)改革實踐中取得較好的效果?！　　稊?shù)學(xué)分析簡明教程（上）》可作為高等學(xué)校理科及師范學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)的教科書，也可供計算機學(xué)科、力學(xué)、物理學(xué)科各專業(yè)選用及社會讀者閱讀。

書籍目錄

第一章  緒論1  緒論2  實數(shù)連續(xù)統(tǒng)第二章  函數(shù)1  函數(shù)概念2  復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)3  初等函數(shù)第三章  極限與函數(shù)的連續(xù)性1  極限問題的提出2  數(shù)列的極限3  函數(shù)的極限4  函數(shù)的連續(xù)性5  無窮小量與無窮大量的比較第四章  微商與微分1  微商概念及其計算2  微分概念及其計算3  隱函數(shù)與參數(shù)方程微分法4  高階微商與高階微分第五章  微分中值定理及其應(yīng)用1  微分中值定理2  洛必達法則3  函數(shù)的升降、凸性和函數(shù)作圖4  函數(shù)的最大值最小值問題第六章  不定積分1  不定積分的概念2  換元積分法與分部積分法第七章  定積分1  定積分的概念2  定積分的基本性質(zhì)3  微積分基本定理4  定積分的計算5  定積分在物理中的應(yīng)用初步6  定積分的近似計算第八章  微積分的進一步應(yīng)用1  泰勒公式2  微積分在幾何與物理中的應(yīng)用3  微分方程初步4  開普勒三定律與萬有引力定律第九章  再論實數(shù)系1  實數(shù)連續(xù)性的等價描述2  實數(shù)閉區(qū)間的緊致性3  實數(shù)的完備性4  再論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)5  可積性

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