常微分方程

前言

　　本書(shū)是以我多年在國(guó)立莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系教學(xué)的講義為藍(lán)本編寫(xiě)而成的．在編寫(xiě)該課程教學(xué)大綱時(shí)我從這樣的原則出發(fā)，就是內(nèi)容的選取不應(yīng)該是隨意的，也不應(yīng)該僅僅依靠原有的傳統(tǒng)．常微分方程在振動(dòng)理論和自動(dòng)控制理論中找到了相當(dāng)重要的和引人人勝的應(yīng)用，這些應(yīng)用也成了我選材的指導(dǎo)思想．毫無(wú)疑問(wèn)，振動(dòng)理論和自動(dòng)控制理論在整個(gè)近代物質(zhì)文明的發(fā)展中起了十分重要的作用，所以我認(rèn)為，這樣選擇課程材料的途徑即使不是唯一的，但在任何情況下也是合理的．我希望給予大學(xué)生們的不只是對(duì)技術(shù)應(yīng)用有效的純粹數(shù)學(xué)工具，同時(shí)也要展示應(yīng)用的本身，所以我在講義中加進(jìn)了一些技術(shù)問(wèn)題，它們?cè)诒緯?shū)的第13，27，2..

內(nèi)容概要

　　《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯：常微分方程》（第6版）是 Л.C龐特里亞金院士根據(jù)他多年在莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系所用的講義編成的一本教材。作者從常微分方程在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用出發(fā)，對(duì)材料作了新的選擇和安排，不僅講述了純數(shù)學(xué)的常微分方程理論，同時(shí)還講述了有關(guān)的技術(shù)應(yīng)用本身。全書(shū)內(nèi)容包括引論，常系數(shù)線性方程，變系數(shù)線性方程，存在性定理，穩(wěn)定性共五章，另外還有兩個(gè)與《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯：常微分方程》（第6版）內(nèi)容密切聯(lián)系的附錄，即一些分析問(wèn)題和線性代數(shù)知識(shí)。每節(jié)后面都有例子或者實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

作者簡(jiǎn)介

作者：（俄羅斯）龐特里亞金 譯者：林武忠 倪明康  龐特里亞金（1908—1988）：1908年9月生于莫斯科。14歲時(shí)不幸雙目失明，后以堅(jiān)強(qiáng)的毅力于1929年畢業(yè)于莫斯科大學(xué)。并留校工作。1935年獲得數(shù)理科學(xué)博士學(xué)位，同年成為莫斯科大學(xué)教授。1939年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士，1958年當(dāng)選為院士。曾是蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)評(píng)審委員會(huì)成員、學(xué)校數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席，并任國(guó)際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟副主席。他還是倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)榮譽(yù)會(huì)員、國(guó)際航天學(xué)科學(xué)院榮譽(yù)院士、匈牙利科學(xué)院榮譽(yù)院士。曾多次獲得蘇聯(lián)國(guó)家獎(jiǎng)、列寧獎(jiǎng)、列寧勛章等榮譽(yù)。他的研究領(lǐng)域涉及拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)、控制論等，在數(shù)學(xué)的應(yīng)用方面亦有重要貢獻(xiàn)。他的專著包括《連續(xù)群》、《組合拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》、《最佳過(guò)程的數(shù)學(xué)理論》和《常微分方程》等。

書(shū)籍目錄

《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯》序 原書(shū)的序 第一章引論 1.一階微分方程式 2.一些初等的求積方法 3.存在和唯一性定理的敘述 4.化一般微分方程組到標(biāo)準(zhǔn)方程組的知識(shí) 5.復(fù)值微分方程 6.關(guān)于線性微分方程的一些知識(shí) 第二章常系數(shù)線性方程 7.常系數(shù)線性齊次方程（單根情形） 8.常系數(shù)線性齊次方程（重根情形） 9.穩(wěn)定多項(xiàng)式 10.常系數(shù)線性非齊次方程 11.消去法 12.復(fù)數(shù)振幅法 13.電路 14、標(biāo)準(zhǔn)的常系數(shù)線性齊次方程組 15.自治的微分方程組及其相空間 16.常系數(shù)線性齊次方程組的相平面 第三章變系數(shù)線性方程 17.標(biāo)準(zhǔn)線性方程組 18.n階線性方程 19.周期系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)線性齊次方程組 第四章存在性定理 20.一階方程式存在和唯一性定理的證明 21.標(biāo)準(zhǔn)方程組存在和唯一性定理的證明 22.不可延拓的解 23.解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性 24.解對(duì)初始值和參數(shù)的可微性 25.首次積分 第五章穩(wěn)定性 26.李雅普諾夫定理 27.離心調(diào)速器（維什涅格拉德斯基的研究） 28.極限環(huán) 29.電子管振蕩器 30.二階自治方程組的平衡位置 31.周期解的穩(wěn)定性 附錄Ⅰ若干分析問(wèn)題 32.歐氏空間的拓?fù)湫再|(zhì) 33.隱函數(shù)存在定理 附錄Ⅱ線性代數(shù) 34.最小零化多項(xiàng)式 35.矩陣函數(shù) 36.矩陣的若爾當(dāng)型 名詞索引 譯者后記

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：   現(xiàn)在證明命題（C），我們首先證明：如果點(diǎn)a的每個(gè)領(lǐng)域至少含有集合M不同于a的一個(gè)點(diǎn)，那么該領(lǐng)域一定含有集合M的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，假設(shè)U1是點(diǎn)a的任意一個(gè)半徑為r1的鄰域，x1是集合M中不同于a的點(diǎn)并包含在U1中，因?yàn)閤1≠a，所以|x1—a|=r2>0.中心在點(diǎn)a半徑為r2的球U2不含點(diǎn)x1但它含有集合M不同于a的某個(gè)點(diǎn)x2.繼續(xù)這個(gè)過(guò)程就可得到無(wú)限序列x1，…，xk，…，該序列中的所有點(diǎn)取自于M，包含在U1且兩兩不同。 現(xiàn)證命題（C）中最后一個(gè)結(jié)論，假設(shè)G是R的某個(gè)集合，F(xiàn)是它的補(bǔ)集，G是開(kāi)集，證明F是閉集，設(shè)a是集合F的極限點(diǎn)，則a不屬于集合G.如若不然，由于集合G是開(kāi)的，就一定存在完全屬于G的點(diǎn)a的某個(gè)鄰域，它不含F(xiàn)的任何點(diǎn)，這就意味著點(diǎn)a不是F的極限點(diǎn)，矛盾于假設(shè)，所以a屬于集合F。 現(xiàn)在假設(shè)集合F是閉的，證明集合G是開(kāi)的，假設(shè)a是G的任意點(diǎn)，因?yàn)樗粚儆诩螰，根據(jù)閉性它不是F的極限點(diǎn)并且存在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域，它不含F(xiàn)的任何點(diǎn)，所以該鄰域整個(gè)都含在G中，這樣就證明集合G是開(kāi)的。 于是命題（C）證畢。 顯然空間R既是開(kāi)集又是閉集，而R中的每個(gè)有限點(diǎn)集F都是閉集，事實(shí)上，一般而言集合F沒(méi)有極限點(diǎn)，所以它包含一切極限點(diǎn)，也就是說(shuō)它是閉的。 當(dāng)向量空間R一維時(shí)，它就同所有的實(shí)數(shù)集相一致，此時(shí)定義在向量上的代數(shù)運(yùn)算就是在實(shí)數(shù)上通常的運(yùn)算，而向量的模就成了數(shù)的模。這時(shí)兩點(diǎn)a和b之間的距離就成為兩個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值|a—b|，直接看得出，在實(shí)數(shù)空間中滿足不等式xa的所有點(diǎn)x的集合是開(kāi)集，其中a是某個(gè)固定的數(shù)，由不等式x≥a或者x≤a所確定的集合是閉的。 （D）歐氏空間R中有限個(gè)開(kāi)集的并和交是開(kāi)的，有限個(gè)閉集的并和交是閉的，是空間R中有限個(gè)開(kāi)集，證明它們的并是開(kāi)的，假設(shè)a是屬于該并集的任意點(diǎn)，則它至少屬于（6）中一個(gè)集合，不妨屬于Gi.因?yàn)镚i是開(kāi)的，所以Gi中存在包含點(diǎn)a的某個(gè)鄰域，顯然該鄰域也包含在（6）的并集中。

編輯推薦

《俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯:常微分方程(第6版)》可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)、物理、工程及相關(guān)專業(yè)的本科生、碩士生、教師，以及相關(guān)領(lǐng)域的研究人員參考使用。

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