工程數(shù)學(xué)

前言

　　自然科學(xué)、軍事科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及其他科學(xué)部門(mén)的技術(shù)發(fā)展已經(jīng)從定性走向了定量化，要想使我們國(guó)家的科學(xué)技術(shù)趕超發(fā)達(dá)國(guó)家的水平，首先要強(qiáng)化數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)。尤其在21世紀(jì)這個(gè)信息時(shí)代，各種問(wèn)題以其不同的數(shù)學(xué)形式出現(xiàn)在各個(gè)科學(xué)部門(mén)，留給了我們一個(gè)又一個(gè)有待攻克的難題，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)到了無(wú)孔不入的境地，它的重要性不言而喻。譬如，利用小波方法可以提供各種信息的壓縮技術(shù)；利用求極值的共軛梯度法可以建立經(jīng)濟(jì)發(fā)展的最優(yōu)計(jì)劃模型；利用有限元等數(shù)值手段可以預(yù)測(cè)地下的礦藏儲(chǔ)量；就連現(xiàn)代醫(yī)學(xué)上使用的CT技術(shù)也是以數(shù)學(xué)上的“拉東變換”為理論依據(jù)的?！　”緯?shū)主要討論在工程技術(shù)等領(lǐng)域中常用的計(jì)算方法。這些方法是在計(jì)算機(jī)技術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，因?yàn)樵谠S多工程問(wèn)題中，我們常常要把實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，而由于問(wèn)題的復(fù)雜性，常常得不到模型的準(zhǔn)確解，只能將它離散化后求其數(shù)值解，這個(gè)過(guò)程沒(méi)有計(jì)算機(jī)是不可想象的?！　”娝苤?，微積分是數(shù)學(xué)的重要組成部分，所研究的對(duì)象是函數(shù)。而對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，一方面除了一些簡(jiǎn)單的函數(shù)外，它的求值、求導(dǎo)和求積分通常都很困難；另一方面，在實(shí)際應(yīng)用中，更多的函數(shù)關(guān)系是由測(cè)量或觀測(cè)數(shù)值給出的。為了對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，本書(shū)介紹了數(shù)值逼近方法，即用一類(lèi)“簡(jiǎn)單函數(shù)”來(lái)逼近（或稱(chēng)代替）這些函數(shù)，使其能在計(jì)算機(jī)上容易求函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值和積分值；本書(shū)還利用這一逼近思想討論了非線性方程的求根問(wèn)題、矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算和常微分方程初值問(wèn)題的求解；特別介紹了在工程中常見(jiàn)的線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法問(wèn)題。在討論這些理論和算法構(gòu)造的同時(shí)，本書(shū)對(duì)算法的穩(wěn)定性、收斂性以及誤差估計(jì)等也做出了較詳細(xì)的分析。所有這些理論和方法都是解決工程問(wèn)題時(shí)必不可少的工具?！　”緯?shū)作為非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生和高年級(jí)本科生的《計(jì)算方法》教材已使用多年，形成了自己的特色：　　1.具有很強(qiáng)的使用性：取材精練，難易適中，應(yīng)用廣泛，可靠性強(qiáng)?！　?.具有一定的可讀性：深入淺出，推導(dǎo)翔實(shí)，重點(diǎn)明確，闡述嚴(yán)謹(jǐn)。　　3.具有較高的藝術(shù)性：語(yǔ)言流暢，結(jié)構(gòu)緊湊，前后呼應(yīng)，脈絡(luò)分明?！　?.具有豐富的實(shí)踐性：內(nèi)容互動(dòng)，例題豐富，習(xí)題充分，便于編程?！　×硗?，本書(shū)還保持了數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性以及連貫性等特點(diǎn)。

內(nèi)容概要

　　《工程數(shù)學(xué)：計(jì)算方法》著重介紹了能夠在計(jì)算機(jī)上得以實(shí)現(xiàn)的一數(shù)值解法，如各種形式的代數(shù)插值方法；在工程中經(jīng)常使用的平方逼近方法、數(shù)值積分法，以及在求微分方程數(shù)值解時(shí)經(jīng)常遇到的線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法；還有解非線性方程和方程組的迭代方法、矩陣特征值與特征向量的計(jì)算以及常微分方程初值問(wèn)題的各種解法。并且針對(duì)各種算法討論了誤差及其收斂性和穩(wěn)定性等問(wèn)題?！　　豆こ虜?shù)學(xué)：計(jì)算方法》內(nèi)容豐富，取材精練，闡述嚴(yán)謹(jǐn)，脈絡(luò)分明；推導(dǎo)翔實(shí)，重點(diǎn)突出。具有廣泛的可讀性和應(yīng)用性?！豆こ虜?shù)學(xué)：計(jì)算方法》可作為非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高年級(jí)本科生和理工科研究生的教材使用，也可供從事數(shù)值計(jì)算研究的科技工作者參考。

書(shū)籍目錄

第一章 插值方法§1 Lagrange插值公式1.1 插值問(wèn)題的提法1.2 線性插值1.3 二次插值1.4 n次插值1.5 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)§2 Newton插值公式2.1 差商及其性質(zhì)2.2 Newton插值公式§3 Hermite插值3.1 Hermite插值公式的構(gòu)造3.2 Hermite插值余項(xiàng)§4 分段插值4.1 高次插值的Runge現(xiàn)象4.2 分段低次插值4.3 分段三次Hermite插值§5 三次樣條插值5.1 樣條函數(shù)的概念5.2 三次樣條插值習(xí)題第二章 最佳平方逼近§1 正交多項(xiàng)式1.1 正交函數(shù)系與正交多項(xiàng)式1.2 正交多項(xiàng)式的性質(zhì)1.3 Legendre多項(xiàng)式1.4 Chebyshev多項(xiàng)式1.5 其他常用的正交多項(xiàng)式§2 最小二乘擬合多項(xiàng)式§3 一般最小二乘逼近問(wèn)題的提法3.1 廣義多項(xiàng)式與權(quán)系數(shù)3.2 一般最小二乘逼近問(wèn)題的提法3.3 正規(guī)方程組§4用正交多項(xiàng)式作最佳平方逼近4.1 Legendre多項(xiàng)式的應(yīng)用4.2 Chebyshev多項(xiàng)式的應(yīng)用習(xí)題二第三章 數(shù)值積分§1 數(shù)值求積公式的概念1.1 構(gòu)造求積公式的思想1.2 求積公式的余項(xiàng)1.3 代數(shù)精度的概念1.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性§2 Newton-Cotes求積公式2.1 公式的一般形式2.2 常用的Newton-Cotes公式§3 復(fù)化求積公式3.1 復(fù)化梯形公式3.2 復(fù)化Simpson公式§4 變步長(zhǎng)積分法§5 Romberg方法§6 Gauss求積公式6.1 問(wèn)題的提出6.2 公式的構(gòu)造6.3 Gauss求積公式的收斂性與穩(wěn)定性6.4 常用的Gauss求積公式習(xí)題三第四章 解線性代數(shù)方程組的直接方法§1 Gauss消去法1.1 Gauss消去法的基本思想1.2 Gauss主元消去法1.3 Gauss消去法的矩陣形式§2 矩陣三角分解法2.1 Doolittle分解法2.3 平方根法2.4 追趕法§3 誤差分析3.1 關(guān)于方程組的解的精度3.2 向量的范數(shù)3.3 矩陣的范數(shù)3.4 擾動(dòng)方程組解的誤差界3.5 病態(tài)方程組的解法習(xí)題四第五章 解線性代數(shù)方程組的迭代法§1 Jacobi迭代法1.1 迭代格式的構(gòu)造1.2 Jacobi迭代法的收斂性§2 Gauss-Seidel迭代法2.1 Gauss-Seidel迭代格式2.2 Gauss-Seidel迭代法的收斂性§3 SOR迭代法3.1 SOR迭代格式3.2 SOR迭代法的收斂性§4 最速下降法及共軛斜量法4.1 最速下降法4.2 共軛斜量法習(xí)題五第六章 非線性方程和方程組的迭代解法§1 方程f（x）=O的根與二分法1.1 方程根的概念1.2 二分法§2 迭代法及其收斂法2.1 迭代格式的構(gòu)造及收斂條件2.2 迭代法的局部收斂性§3 Aitken加速迭代法§4 Newton迭代法4.1 Newton迭代格式4.2 Newton法的局部收斂性4.3 關(guān)于重根的進(jìn)一步討論§5 弦截法與拋物線法5.1 弦截法5.2 拋物線法§6 非線性方程組的迭代解法6.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代法6.2 Newton迭代法習(xí)題六第七章 矩陣的特征值與特征向量§1 問(wèn)題的提出§2 乘冪法和反冪法2.1 乘冪法2.2 改進(jìn)的乘冪法2.3 加速收斂技巧2.4 反冪法§3 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的Jacobi方法3.1 Jacobi方法的基本思想3.2 Jacobi方法及其收斂性習(xí)題七第八章 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法§1 問(wèn)題的提出§2 Euler方法2.1 Euler格式的建立2.2 改進(jìn)的Euler方法§3 Runge-Kutta方法3.1 Runge-Kutta方法的基本思想3.2 二階Runge-Kutta格式3.3 三階Runge-Kutta格式3.4 四階Runge-Kutta格式§4 線性多步法4.1 問(wèn)題的提出4.2 Adams格式4.3 Adams預(yù)估校正格式4.4 Simpson與Milne方法4.5 Hamming方法§5 方程組與高階方程5.1 一階方程組5.2 化高階方程為一階方程組習(xí)題八習(xí)題參考答案參考文獻(xiàn)

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