偏微分方程數(shù)值解法

前言

　　1980年，筆者與馮果忱合作為“計(jì)算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用軟件”專業(yè)編寫出版過教材：《微分方程數(shù)值解法》。1989年修改后出了第二版。1996年經(jīng)筆者較大修改后又出了修訂版（第三版）。據(jù)筆者所知，這是一本在同類書中使用較廣的教材。自修訂版問世以來，又過去八年了。在這期間，我國高等教育有了很大變化，專業(yè)目錄作了很大調(diào)整，原計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)更名為“信息與計(jì)算科學(xué)”專業(yè)，相應(yīng)的課程設(shè)置及要求也變了。為此高校計(jì)算數(shù)學(xué)的一些同行建議由吉林大學(xué)編寫這本教材：《偏微分方程數(shù)值解法》，并列入教育部教材建設(shè)十五規(guī)劃，這是促使筆者編寫本書的一個(gè)緣由。促使筆者編寫本書的另一個(gè)也許更重要的因素是——考慮到過去十多年來計(jì)算數(shù)學(xué)有了很大發(fā)展，也有必要對原教材做一次修訂。我們編寫此書的出發(fā)點(diǎn)是，本著少而精和可接受性原則，力求選材基本，對本學(xué)科的發(fā)展有重要影響，并適度反映近年來的新成果?！　』谏鲜隹紤]，我們在1996年修訂版的基礎(chǔ)上做了以下修改。第一，刪去原書第一章常微分方程初值問題的數(shù)值解法，保留后六章關(guān)于有限元法和差分法的基本內(nèi)容，并將書名改為《偏微分方程數(shù)值解法》。第二，增加近年興起的有限體積法（即廣義差分法）。應(yīng)該指出，我們在原書的第一版已首次介紹過有限體積法，當(dāng)時(shí)稱為三角網(wǎng)格的差分格式，現(xiàn)在它已是求解偏微分方程，特別是流體力學(xué)方程的主力方法之一了。有限體積法是介于有限元法和有限差分法之間的方法，它既可從廣義Galerkin法出發(fā)也可從積分插值法出發(fā)建立。為便于讀者接受，我們從積分插值法出發(fā)，把它看成是差分法的推廣，分別列入差分法的各章（第三至第五章）。第三，關(guān)于差分法，在第五章增加了擬線性雙曲方程及（~-odtlnov格式、守恒型格式和單調(diào)格式，這有助于讀者進(jìn)一步學(xué)習(xí)激波計(jì)算的近代方法。在差分格式穩(wěn)定性的代數(shù)準(zhǔn)則部分（第四章），我們強(qiáng)調(diào)判別二階增長矩陣穩(wěn)定性的充要條件，因?yàn)樵摋l件既通用又容易檢驗(yàn)。第四，關(guān)于有限元法（第二章），刪減了某些非基本內(nèi)容，但加強(qiáng)了有限元法的誤差估計(jì)。我們采用較為初等的帶積分余項(xiàng)的Tayh）r展式得到一次元的最佳估計(jì)，這種證法可直接推廣到高次元和高維區(qū)域的邊值問題。第五，增加了有限元形式的多重網(wǎng)格法（第六章），并給出與網(wǎng)格步長無關(guān)的斂速估計(jì)。

內(nèi)容概要

　　本書根據(jù)教育部專業(yè)目錄調(diào)整后的要求及計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展，在筆者修訂版《微分方程數(shù)值解法》的基礎(chǔ)上編寫而成。全書包括六章，第一、二章是變分形式和Galerkin有限元法，第三、四章和第五章是有限差分法和有限體積法，第六章是離散化方程的解法。本書是為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生編寫的教材，但也可作為應(yīng)用數(shù)學(xué)、力學(xué)及某些工程科學(xué)專業(yè)的教學(xué)用書。本書介紹的求解偏微分方程的數(shù)值方法是基本的，對于從事科學(xué)技術(shù)及工程計(jì)算的專業(yè)人員也有參考價(jià)值。

書籍目錄

第一章 邊值問題的變分形式
　§1 二次函數(shù)的極值
　§2 兩點(diǎn)邊值問題
　　2.1 弦的平衡
　　2.2 Sobolev空間H?m(I)
　　2.3 極小位能原理
　　2.4 虛功原理
　§3 二階橢圓邊值問題
　　3.1 Sobolev空間H?m(G)
　　3.2 極小位能原理
　　3.3 自然邊值條件
　　3.4 虛功原理
　§4 Ritz-Galerkin方法
第二章 橢圓和拋物型方程的有限元法
　§1 兩點(diǎn)邊值問題的有限元法
　　1.1 從Ritz法出發(fā)
　　1.2 從Galerkin法出發(fā)
　§2 線性有限元法的誤差估計(jì)
　　2.1 H?1-估計(jì)
　　2.2 L?2-估計(jì) 對偶論證法
　§3 一維高次元
　　3.1 一次元(線性元)
　　3.2 二次元
　　3.3 三次元 ?
　§4 二維矩形元
　　4.1 Lagrange型公式
　　4.2 Hermite型公式
　§5 三角形元
　　5.1 面積坐標(biāo)及有關(guān)公式
　　5.2 Lagrange型公式
　　5.3 Hermite型公式
　　*§6 曲邊元和等參變換
　§7 二階橢圓方程的有限元法
　　7.1 有限元方程的形成
　　7.2 矩陣元素的計(jì)算
　　7.3 邊值條件的處理
　　7.4 舉例
　　*§8 收斂階的估計(jì)
　§9 拋物方程的有限元法
第三章 橢圓型方程的有限差分法
　§1 差分逼近的基本概念
　§2 兩點(diǎn)邊值問題的差分格式
　　2.1 直接差分化?
　　2.2 積分插值法
　　2.3 邊值條件的處理 ?
　§3 二維橢圓邊值問題的差分格式
　　3.1 五點(diǎn)差分格式 ?
　　3.2 邊值條件的處理
　　3.3 極坐標(biāo)形式的差分格式
　§4 極值定理 斂速估計(jì)
　　4.1 差分方程 ?
　　4.2 極值定理
　　4.3 五點(diǎn)格式的斂速估計(jì)?
　　*§5 先驗(yàn)估計(jì)
　　5.1 差分公式
　　5.2 若干不等式
　　5.3 先驗(yàn)估計(jì)
　　5.4 解的存在惟一性及斂速估計(jì)
　§6 有限體積法
　　6.1 三角網(wǎng)的差分格式
　　6.2 有限體積法
第四章 拋物型方程的有限差分法
　§1 最簡差分格式
　§2 穩(wěn)定性與收斂性
　　2.1 穩(wěn)定性概念
　　2.2 判別穩(wěn)定性的直接估計(jì)法
　　2.3 收斂性和誤差估計(jì)
　§3 Fourier方法
　§4 判別差分格式穩(wěn)定性的代數(shù)準(zhǔn)則
　　*§5 變系數(shù)拋物方程
　§6 分?jǐn)?shù)步長法
　　6.1 ADI法
　　6.2 預(yù)-校法
　　6.3 LOD法
　§7 有限體積法
第五章 雙曲型方程的有限差分法
　§1 波動(dòng)方程的差分逼近
　　1.1 波動(dòng)方程及其特征
　　1.2 顯格式
　　1.3 穩(wěn)定性分析 ?
　　1.4 隱格式
　　1.5 強(qiáng)迫振動(dòng)
　§2 一階雙曲型方程組
　　2.1 雙曲型方程組特征概念
　　2.2 Cauchy問題 依存域 影響域 決定域
　　2.3 其他定解問題
　　2.4 擬線性雙曲方程組
　　*2.5 一維不定常流
　§3 雙曲方程差分格式的構(gòu)造
　　3.1 迎風(fēng)格式
　　3.2 Lax格式與Box格式
　　3.3 粘性差分格式 Lax-Wendroff格式 ?
　　*§4 Godunov格式 守恒型格式 單調(diào)格式
　　4.1 Godunov格式
　　4.2 守恒型格式
　　4.3 單調(diào)格式
　　*§5 有限體積法
第六章 離散化方程的解法
　§1 基本迭代法
　　1.1 離散方程的基本特征
　　1.2 一般迭代法
　　1.3 超松弛法(SOR法)?
　　1.4 預(yù)處理迭代法
　§2 交替方向迭代法
　　2.1 二維交替方向迭代
　　2.2 三維交替方向迭代
　§3 預(yù)處理共軛梯度法
　　3.1 共軛梯度法
　　3.2 預(yù)處理共軛梯度法
　§4 多重網(wǎng)格法
　　4.1 二重網(wǎng)格法：差分形式
　　*4.2 二重網(wǎng)格法：有限元形式
　　4.3 多重網(wǎng)格法和套迭代技術(shù)
　　4.4 推廣到多維問題
主要參考文獻(xiàn)

編輯推薦

　　《偏微分方程數(shù)值解法》介紹的求解偏微分方程的數(shù)值方法是基本的，對于從事科學(xué)技術(shù)及工程計(jì)算的專業(yè)人員也有參考價(jià)值。

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