拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)

前言

　　拓?fù)鋵W(xué)起源于17-18世紀(jì)一些孤立問題的研究，如著名的哥尼斯堡七橋問題、四色問題、若爾當(dāng)（C．Jordan）曲線定理等。這些問題最終歸結(jié)為研究幾何圖形在某種連續(xù)變形（即同胚變換）下保持不變的性質(zhì)。19世紀(jì)末期，隨著點集理論的開創(chuàng)，公理化方法的興起，幾何學(xué)與分析學(xué)的發(fā)展需要，促成了拓?fù)鋵W(xué)作為一門學(xué)科而形成?！　〗?jīng)過一個世紀(jì)的發(fā)展，拓?fù)鋵W(xué)已是根深葉茂，成為數(shù)學(xué)中的一個重要分支。其理論與思想幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，同時在數(shù)學(xué)以外的多個學(xué)科如物理、化學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等也有著重要的應(yīng)用。拓?fù)鋵W(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)系的一門重要的基礎(chǔ)課?！　⊥?fù)鋵W(xué)具有多個分支，豐富的內(nèi)容。作為本科生的一門為時一學(xué)期的課程，其內(nèi)容的取舍與編排有較多的選擇?？v觀國內(nèi)外已有的拓?fù)鋵W(xué)教材，其選材與風(fēng)格也是多種多樣。本教材是為適應(yīng)我校課程體系的改革，應(yīng)教學(xué)所需而編寫的。編寫的基本想法是力圖從方法論角度統(tǒng)一拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，注重拓?fù)鋵W(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一，突出嚴(yán)密的邏輯推理與幾何直觀并重，體現(xiàn)某些經(jīng)典內(nèi)容的現(xiàn)代化處理?！　〗滩墓卜治逭?，第一章作為學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)課程的必要準(zhǔn)備，介紹關(guān)于集合、映射以及序結(jié)構(gòu)的基本概念和相關(guān)結(jié)果。第二章是拓?fù)鋵W(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，介紹拓?fù)淇臻g及其相關(guān)的基本概念、拓?fù)淇臻g上的極限理論、連續(xù)映射與同胚、構(gòu)造拓?fù)淇臻g的基本方法等。第三章屬于一般拓?fù)鋵W(xué)最經(jīng)典和最重要的內(nèi)容，介紹正規(guī)空間與完全正則空間、緊空間和緊化理論、度量空間、連通與道路連通空間。學(xué)習(xí)中注意抽象概念產(chǎn)生的背景是重要的，這不僅有助于抽象思維和邏輯推理能力的訓(xùn)練，并由此可體會到拓?fù)鋵W(xué)問題的分析式處理的傳統(tǒng)手法。第四章屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中最簡單和最直觀的內(nèi)容，介紹商空間與閉曲面、基本群及其計算和應(yīng)用。我們強(qiáng)調(diào)抽象的理論與具體的應(yīng)用、幾何直觀與嚴(yán)格的邏輯證明的緊密結(jié)合。本書最后一章反映處理拓?fù)鋵W(xué)問題的另一思路，介紹以序結(jié)構(gòu)的方法處理拓?fù)鋵W(xué)的問題。內(nèi)容有連續(xù)格與局部緊空間、Sober空間、Boolean代數(shù)的拓?fù)浔硎径ɡ淼?。拓?fù)渑c序結(jié)構(gòu)的相互結(jié)合，不僅為研究拓?fù)鋵W(xué)提供了新的角度，同時加強(qiáng)了拓?fù)鋵W(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，拓廣了拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用的途徑。

內(nèi)容概要

本書是普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材。作為拓?fù)鋵W(xué)的入門書，本書從方法論角度統(tǒng)一處理拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，注重拓?fù)鋵W(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系以及拓?fù)鋵W(xué)不同分支之間的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一，強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的邏輯推理與幾何直觀并重、抽象的理論與具體的應(yīng)用相結(jié)合，突出概念、定理的背景與意義，同時對拓?fù)鋵W(xué)的一些經(jīng)典內(nèi)容作了現(xiàn)代化處理。    全書共分五章，第一章作為學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)課程的必要準(zhǔn)備，介紹關(guān)于集合、映射以及序結(jié)構(gòu)的基本概念和相關(guān)結(jié)果。第二章是拓?fù)鋵W(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，介紹拓?fù)淇臻g及其相關(guān)的基本概念、拓?fù)淇臻g上的極限理論、連續(xù)映射與同胚以及構(gòu)造拓?fù)淇臻g的基本方法等。其后的三章：幾類重要的拓?fù)淇臻g，拓?fù)渑c代數(shù)結(jié)構(gòu)——基本群，拓?fù)渑c序結(jié)構(gòu)，分別介紹從分析的，代數(shù)的以及序結(jié)構(gòu)的三種角度來處理拓?fù)鋵W(xué)問題。    本書取材新穎，內(nèi)容豐富，篇幅不大，論證嚴(yán)謹(jǐn)，例題較多，習(xí)題適中。適合作為綜合性大學(xué)、高等師范院校數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生的拓?fù)鋵W(xué)課程教材，也可作為非數(shù)學(xué)類有關(guān)專業(yè)的研究生教材和科技工作者、數(shù)學(xué)愛好者學(xué)習(xí)、了解拓?fù)鋵W(xué)的入門教材或參考資料。

書籍目錄

第一章　集、映射與序結(jié)構(gòu)　1.1　集及其運算　1.2  映射　1.3　序關(guān)系　1 4　笛卡兒積與選擇公理第二章　拓?fù)淇臻g　2.1　拓?fù)?、基與鄰域　2.2　閉包、內(nèi)部與分離性　2.3　連續(xù)映射與同胚　2.4　拓?fù)淇臻g中的極限——網(wǎng)與濾子的收斂　2.5　積空間第三章  幾類重要的拓?fù)淇臻g　3.1　度量空間　3.2　具有函數(shù)分離性的空間　3.3  緊空間　3.4　連通空間與道路連通空間第四章  拓?fù)渑c代數(shù)結(jié)構(gòu)——基本群　4.1　商空間與閉曲面　4.2　基本群的概念與基本性質(zhì)　4.3　覆蓋空間　4.4　基本群的計算與應(yīng)用第五章　拓?fù)渑c序結(jié)構(gòu)　5.1　連續(xù)格與拓?fù)洹?.2　Sober空間與特殊序　5.3　局部緊空間　5.4　拓?fù)浔硎径ɡ矸栒f明名詞索引參考書目

編輯推薦

　  其它版本請見：《普通高等教育十五國家級規(guī)劃教材：拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》

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