微分幾何講義

前言

　　本書主要部分源于鐘家慶兄的筆記，當時我和孫理察每周兩講，由于孩子都還在襁褓中，準備工作有一定的困難，但是作者二人興致勃勃，在準備這些講座時還發(fā)展了一些新的定理。以后到了圣地亞哥，我有十五個博士生在課上聽講，很遺憾的是沒有學生留有完整的講稿。以后張恭慶和丁偉岳重整這部分講稿時，已不能將當時作者二人的講辭全部還原，這是很可惜的。事隔二十年，作者二人已無從追憶當年創(chuàng)作的細節(jié)。所幸國內(nèi)學者包括當時做筆記的幾位學者和我們的學生，確也在這本書上得到一些好處，宛然成一流派，稱為幾何分析。遺憾的是書中有一部分精要的地方未受到重視，尤其是李偉光和我發(fā)展的在拋物方程的不等式，在國外由美國的Hamilton、蘇聯(lián)的Perelman得出幾何學上的深入發(fā)展，解決了一些重要的問題。畢竟幾何分析的一個主要目標是了解幾何結構，不特分析而已矣。盼望本書讀者能夠了解這一點。講稿在中國先行出版，到九十年代才出版英文版，并加上幾篇我的個人著作，以補不足。這次中文新版增加了三篇我近年的文章和演講辭：(幾何學的未來發(fā)展》、《幾何與分析回顧》、《復幾何的歷史及前景》，另對原中文版第一、二、三、六章作了較大的改動，使本書漸臻完善。

內(nèi)容概要

本書是在作者一系列演講的講稿基礎上整理而成的，已成為整體微分幾何方面的一本經(jīng)典著作。它以拓撲、代數(shù)幾何為基礎，以分析為主要工具，論述了幾何學中的某些線性和非線性問題。本書內(nèi)容包括：比較定理與梯度估計、負曲率流形上的調(diào)和函數(shù)、Reimann流形上的特征值問題、ReImann流形上的熱核、純量曲率的共形形變、局部共形平坦流形等。書中還包括了丘成桐教授撰寫的幾何中的非線性分析、幾何中未解決的問題、幾何學未來的發(fā)展、幾何與分析回顧、復幾何的歷史及前景等綜合性論述與演講辭，宏觀和精辟地描述了幾何學中的重要問題，展示了該學科的歷史和未來發(fā)展前景。    本書可供高等院校數(shù)學系高年級學生、研究生作教學用書，也可供現(xiàn)代幾何和分析方面的教師及研究人員參考。

書籍目錄

第一章  比較定理與梯度估計  1.1  比較定理  1.2  分裂定理  1.3  梯度估計  1.4  具非負Ricci曲率的完備Riemann流形第二章　負曲率流形上的調(diào)和函數(shù)  2.1　幾何邊界S(**)及Dirichlet問題的可解性  2.2　Harnack不等式與Poisson核  2.3　Martin邊界與Martin積分表示  2.4　Harhack不等式的證明  2.5　更一般流形上的調(diào)和函數(shù)  2.6　次調(diào)和函數(shù)與次中值公式  附錄  整體Green函數(shù)的存在性第三章　特征值問題  3.1　特征值的基本性質(zhì)  3.2　Riemann流形的熱核  3.3　第一特征值上界估計  3.4　第一特征值下界估計  3.5　高階特征值的估計  3.6　結點集與特征值的重數(shù)　3.7　相鄰兩特征值之空隙　3.8　與曲面有關的特征值問題第四章　Riemann流形上的熱核  4.1　熱方程的梯度估計  4.2　Harnack不等式與熱核的估計  4.3　熱核估計的應用第五章　純量曲率的共形形變  5.1　三維情形  5.2　Yamalbe問題與共形不變量A(M)  5.3　共形正規(guī)坐標與Green函數(shù)的漸近展開  5.4　Yamabe問題的解決  附錄  Sobolev不等式中的最佳常數(shù)第六章  局部共形平坦流形      6.1　共形變換與局部共形平坦流形  6.2　共形不變量  6.3　局部共形平坦流形在Sn上的嵌入  6.4　局部共形平坦流形的拓撲  6.5　與偏微分方程的關系  參考文獻(第一至第六章)第七章　問題集  7.1　曲率及流形上的拓撲  7.2　曲率與復結構  7.3　子流形  7.4　譜  7.5　與測地線有關的問題  7.6　極小子流形  7.7　廣義相對論和Yang—Milh方程　參考文獻第八章　幾何中的非線性分析第九章　幾何中未解決的問題附錄I　幾何學的未來發(fā)展附錄II　幾何與分析回顧附錄III　復幾何的歷史及前景索引

圖書封面

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