編碼理論基礎

內(nèi)容概要

本書是關于編碼理論的一本教材，主要介紹編碼理論的基本知識。全書共十二章，可以分為兩部分。第一部分是第二章至第四章，主要介紹編碼理論中用到的代數(shù)基本知識，特別是有限域的基本知識。第二部分是第五章至第十二章，主要介紹編碼理論的基本知識，包括線性碼、HamHnng碼、Golay碼、循環(huán)碼、BcH碼、Reed-Muller碼以及線性碼的重量分布等?！　”緯m合高等院校的信息科學、計算機科學以及通信等專業(yè)的本科生作為教材使用，也可供相關領域的科研人員和工程技術人員參考。

書籍目錄

第一章　引言　1.1　通信系統(tǒng)　1.2　編碼理論的主要目標　1.3　編碼理論的應用第二章　抽象代數(shù)的基本知識　2.1　半群　2.2　群　　2.2.1　群的定義　　2.2.2　子群　　2.2.3　群元素的階　　　　2.2.4　群的同構　　2.2.5　循環(huán)群　　2.2.6　陪集與商群　2.3　環(huán)　　2.3.1　環(huán)的定義　　2.3.2　環(huán)的基本性質(zhì)　　2.3.3　整環(huán)　　2.3.4　子環(huán)　　2.3.5　理想　　2.3.6　商環(huán)　　2.3.7　環(huán)的同構　2.4　域　　2.4.1　域的定義　　2.4.2　子域　　2.4.3　域的特征　　2.4.4　域的同構　　2.4.5　素域　2.5　域上的多項式　　2.5.1　域上的多項式環(huán)　　2.5.2　多項式的帶余除法　　2.5.3　最高公因式和最低公倍式　　2.5.4　不可約多項式　　2.5.5　多項式的重因式　　2.5.6　多項式的根　　2.5.7　分裂域　　2.5.8　多項式環(huán)的理想與商環(huán)　2.6　習題第三章　有限域理論　3.1　有限域的乘法群　　3.2　有限域的結構　3.3　有限域上的多項式　　3.3.1　有限域上不可約多項式的一些性質(zhì)　　3.3.2　有限域上不可約多項式的數(shù)目　　3.3.3　極小多項式　　3.3.4　本原多項式　3.4　習題第四章　域上的線性代數(shù)　4.1　域上的向量空間　　4.1.1　向量空間的定義　　4.1.2　有限維向量空間的基　　4.1.3　向量空間的子空間　　4.1.4　向量空間的同構　4.2　域上的矩陣　　4.2.1　矩陣的秩　　4.2.2　矩陣的運算　　4.2.3　矩陣的初等變換　　4.2.4　可逆矩陣　4.3　域上的行列式　4.4　域上的線性方程組　4.5　習題第五章　編碼理論的基本知識　5.1　碼的定義　5.2　Hamming距離　5.3　最近鄰譯碼原則　5.4　碼的檢錯和糾錯性能　5.5　碼的等價變換　5.6　編碼理論的基本問題　5.7　系統(tǒng)碼　5.8　由已知碼構造新碼的簡單方法　5.9　習題第六章　線性碼　6.1　線性碼的定義　6.2　線性碼的生成矩陣　6.3　線性碼的編碼方法　6.4　線性碼的標準陣譯碼方法　6.5　譯碼錯誤概率　6.6　不可檢錯誤概率　6.7　線性碼的對偶碼　6.8　線性碼的校驗矩陣　6.9　線性碼的伴隨式譯碼方法　6.10　幾種由已知線性碼構造新線性碼的方法　6.11　習題第七章　Hamming碼　7.1　二元Hamming碼的定義　7.2　q元Hamming碼的定義　7.3　Hamming碼的性質(zhì)　7.4　Hamming碼的譯碼方法　7.5　二元Hamming碼的對偶碼　7.6　習題第八章　Golay碼　8.1　二元G01ay碼G24　8.2　二元Golay碼G23　8.3　三元Golay碼G12　8.4　三元Golay碼G11　8.5　關于完備碼　8.6　習題第九章　循環(huán)碼　9.1　循環(huán)碼的定義　9.2　循環(huán)碼的性質(zhì)　9.3　循環(huán)碼的生成矩陣　9.4　循環(huán)碼的校驗矩陣　9.5　循環(huán)碼的編碼方法　9.6　二元Hamming碼等價于循環(huán)碼　9.7　習題第十章　BCH碼　10.1　BCH碼的定義　10.2　BCH碼的性質(zhì)　10.3　BCH碼的譯碼方法　10.4　Reed-Solomon碼　10.5　廣義BCH碼與廣義Reed-Solomon碼　10.6　習題第十一章　Reed.Muller碼　11.1　布爾函數(shù)　11.2　布爾多項式　11.3　Reed-Muller碼的定義　11.4　Reed-Muller碼的性質(zhì)　11.5　Reed-Muller碼的對偶碼　11.6　習題第十二章　線性碼的重量分布　12.1　重量分布　12.2　Mac　Williams恒等式　12.3　Hamming碼的重量分布　12.4　MDS碼的重量分布　12.5　習題習題解答參考文獻　

章節(jié)摘錄

版權頁：   插圖：   一個q元[n，k]線性碼C的標準陣（standard array）是由V（n，q）中的向量組成的一個qn—k×qk階的陣列，其每一行都是C的一個陪集。第一行由C中的碼字構成，0碼字在最左端。其它各行由陪集ai+C構成，陪集代表元在最左端，其它元素的排列次序與第一行中碼字的排列次序相對應。換句話說，標準陣中的（i，j）位置上的向量是第j列最頂端的碼字與第i行最左端的陪集代表元的加和。 一個q元[n，k]捌線性碼C的標準陣可以按下述方法來構造： （1）首先列出C中的所有碼字，0碼字在最左端。 （2）在V（n，q）中選取一個不在第一行出現(xiàn)并且具有最小重量的向量a1。將a1與第一行中的每個碼字相加得到第二行，它們構成陪集a1+C。 （3）一般地，在V（n，q）中選取一個不在前i行中出現(xiàn)并且具有最小重量的向量ai。將ai與第一行中的每個碼字相加得到第i+1行，它們構成陪集ai+C。 （4）繼續(xù)上述過程，直到將V（n，q）中的所有向量都列出為止。 設C是一個q元[n，k，d]線性碼，x∈C是在信道發(fā)送端發(fā)送的碼字，y∈V（n，q）是在信道接收端接收到的向量。稱e=y—x為差錯向量（error vector）。譯碼器的作用就是確定差錯向量，然后糾正碼字在信道傳輸過程中發(fā)生的錯誤。 線性碼的標準陣譯碼方法描述如下： 設Y是在信道接收端接收到的向量，在標準陣中找到y(tǒng)所在的行和列，將y譯為y所在的列中最頂端（第一行）的碼字，y所在行的最左端的向量（陪集代表元）為差錯向量。 對于在信道接收端接收到的向量y，最近鄰譯碼就是要把y譯成一個碼字x，使得e=y—x最小。顯然，當x取遍線性碼C中的所有碼字時，e將取遍陪集y+C中的所有向量。我們已經(jīng)知道，在標準陣中，每一行都是一個陪集，每行最左端的向量為陪集代表元。由于陪集代表元是一個陪集中重量最小的向量，所以不難看出，標準陣譯碼就是最近鄰譯碼。 例6.9 二元[4，2，2]線性碼C={0000，1011，0101，1110}的標準陣為 0000 1011 0101 1110 1000 0011 1101 0110 0100 1111 0001 1010 0010 1001 0111 1100 設1111是在信道接收端接收到的向量。1111在標準陣中的第3行第2列。將1111譯為第2列中最頂端的碼字1011。第3行最左端的向量（陪集代表元）0100為差錯向量，0100=1111—1011。

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