實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（下）

前言

　　有人說，泛函分析似乎就是有限維線性空間及其線性變換在無限維空間的平行推廣。弦外之音不言而喻。我想，泛函分析存在和發(fā)展了差不多一個世紀(jì)，并且與如此眾多的科學(xué)分支發(fā)生了深刻的聯(lián)系，其重要性自不待言。其實(shí)，稍稍了解泛函分析及其歷史的人都知道，泛函分析的起源來自對微分與積分方程（包括變分法）的研究，無論是其研究手段與方法，還是其高度的概括性與抽象性，都完全有別于線性代數(shù)。從大的方面看，推動它產(chǎn)生與發(fā)展的因素有兩個：其一，“出現(xiàn)了用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來理解19世紀(jì)數(shù)學(xué)各個分支所積累的大量實(shí)際材料的必要性，”使得“泛函分析的基本概念從不同的方面和不同的聯(lián)系中產(chǎn)生了”（見《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》）。其結(jié)果是“代數(shù)和分析在方法上的統(tǒng)一”（HiIbert語，見《數(shù)學(xué)概觀》p，133）。其二，與量子力學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的研究為泛函分析的發(fā)展提供了巨大的動力，并逐步形成泛函分析的基本方向。誠然，泛函分析的最終發(fā)展或許與奠基者們的初衷有所差異，盡管這一理論在量子力學(xué)、偏微分方程乃至拓?fù)?、代?shù)等理論中有著重要的應(yīng)用，但在一些重大經(jīng)典分析問題面前多少顯得有點(diǎn)軟弱無力。不過，這一點(diǎn)也不影響泛函分析在數(shù)學(xué)與自然科學(xué)領(lǐng)域中的地位。事實(shí)上，泛函分析對于任何一個從事數(shù)學(xué)工作的學(xué)者甚至某些自然科學(xué)領(lǐng)域的研究者而言都是必備的知識。

內(nèi)容概要

　　《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》分上、下冊。下冊系統(tǒng)介紹了泛函分析的基礎(chǔ)知識，共分三章：距離空間，Banach空間上的有界線性算子，Hilbert空間上的有界線性算子，講授完約需72學(xué)時?！　　秾?shí)變函數(shù)論與泛函分析》文字流暢，論證嚴(yán)密，對概念、定理的背景與意義交代得十分清楚，介紹了新舊知識之間、泛函分析與其他數(shù)學(xué)分支之間的內(nèi)在聯(lián)系。《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》特別注重培養(yǎng)學(xué)生如何提出問題，以及如何從分析問題的過程中尋求解決方法的能力?！秾?shí)變函數(shù)論與泛函分析》可供綜合大學(xué)與師范院校數(shù)學(xué)各專業(yè)作為教材或教學(xué)參考書，也可作為工科部分專業(yè)高年級本科生與研究生的教材或教學(xué)參考書。同時，《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》對于有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者而言，也是一部很好的自學(xué)參考書。

書籍目錄

前言第一章 距離空間§l線性距離空間1．1線性空間1．2距離空間1．3線性賦范空間§2距離空間的完備性2．1完備性定義及例子2．2完備空間的重要性2．3空間的完備化§3內(nèi)積空間3．1內(nèi)積空間的定義3．2正規(guī)直交（正交）基§4距離空間中的點(diǎn)集4．1開集與閉集4．2稠密性與可分空間4．3列緊集與緊集§5不動點(diǎn)定理5．1壓縮映射的不動點(diǎn)定理5．2凸緊集上的不動點(diǎn)定理習(xí)題第二章 Banach空間上的有界線性算子§1有界線性算子及其范數(shù)1．1有界線性算子1．2算子空間1．3算子的可逆性§2Hahn—Banach定理2．1Hahn—Banach定理2．2Hahn—Banach定理的幾何形式§3一致有界原理與閉圖像定理3．1一致有界原理3．2逆算子定理3．3閉圖像定理§4對偶空間與弱收斂4．1對偶空間、二次對偶與自反空間4．2弱收斂與弱收斂§5Banach共軛算子5．1共軛算子5．2算子的值域與零空間§6有界線性算子的譜6．1算子的預(yù)解式與譜6．2譜半徑公式§7緊算子7．1緊算子的定義與性質(zhì)7．2Ritesz—Schauder理論7．3關(guān)于不變子空間的注習(xí)題二第三章 Hilbert空間上的有界線性算子§1投影定理與Frechet—Riesz表示定理1．1投影定理1．2Frechet-Riesz表示定理1．3Hilbert共軛算子§2幾類特殊算子2．1定義及例子2．2雙線性形式2．3算子譜的性質(zhì)2．4自伴算子的上下界2．5譜映射定理§3緊自伴算子3．1投影算子3．2不變子空間和約化子空間3．3緊自伴算子的譜分解定理§4有界自伴算子的譜分解定理4．1譜系、譜測度與譜積分4．2有界自伴算子的譜分解定理4．3正算子§5酉算子的譜分解定理§6正規(guī)算子的譜分解定理6．1乘積譜測度6．2正規(guī)算子的譜分解定理習(xí)題三參考文獻(xiàn)索引

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