實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（下）

前言

　　有人說(shuō)，泛函分析似乎就是有限維線性空間及其線性變換在無(wú)限維空間的平行推廣。弦外之音不言而喻。我想，泛函分析存在和發(fā)展了差不多一個(gè)世紀(jì)，并且與如此眾多的科學(xué)分支發(fā)生了深刻的聯(lián)系，其重要性自不待言。其實(shí)，稍稍了解泛函分析及其歷史的人都知道，泛函分析的起源來(lái)自對(duì)微分與積分方程（包括變分法）的研究，無(wú)論是其研究手段與方法，還是其高度的概括性與抽象性，都完全有別于線性代數(shù)。從大的方面看，推動(dòng)它產(chǎn)生與發(fā)展的因素有兩個(gè)：其一，“出現(xiàn)了用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)理解19世紀(jì)數(shù)學(xué)各個(gè)分支所積累的大量實(shí)際材料的必要性，”使得“泛函分析的基本概念從不同的方面和不同的聯(lián)系中產(chǎn)生了”（見(jiàn)《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》）。其結(jié)果是“代數(shù)和分析在方法上的統(tǒng)一”（HiIbert語(yǔ)，見(jiàn)《數(shù)學(xué)概觀》p，133）。其二，與量子力學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究為泛函分析的發(fā)展提供了巨大的動(dòng)力，并逐步形成泛函分析的基本方向。誠(chéng)然，泛函分析的最終發(fā)展或許與奠基者們的初衷有所差異，盡管這一理論在量子力學(xué)、偏微分方程乃至拓?fù)?、代?shù)等理論中有著重要的應(yīng)用，但在一些重大經(jīng)典分析問(wèn)題面前多少顯得有點(diǎn)軟弱無(wú)力。不過(guò)，這一點(diǎn)也不影響泛函分析在數(shù)學(xué)與自然科學(xué)領(lǐng)域中的地位。事實(shí)上，泛函分析對(duì)于任何一個(gè)從事數(shù)學(xué)工作的學(xué)者甚至某些自然科學(xué)領(lǐng)域的研究者而言都是必備的知識(shí)。

內(nèi)容概要

　　《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》分上、下冊(cè)。下冊(cè)系統(tǒng)介紹了泛函分析的基礎(chǔ)知識(shí)，共分三章：距離空間，Banach空間上的有界線性算子，Hilbert空間上的有界線性算子，講授完約需72學(xué)時(shí)?！　　秾?shí)變函數(shù)論與泛函分析》文字流暢，論證嚴(yán)密，對(duì)概念、定理的背景與意義交代得十分清楚，介紹了新舊知識(shí)之間、泛函分析與其他數(shù)學(xué)分支之間的內(nèi)在聯(lián)系?！秾?shí)變函數(shù)論與泛函分析》特別注重培養(yǎng)學(xué)生如何提出問(wèn)題，以及如何從分析問(wèn)題的過(guò)程中尋求解決方法的能力。《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》可供綜合大學(xué)與師范院校數(shù)學(xué)各專業(yè)作為教材或教學(xué)參考書(shū)，也可作為工科部分專業(yè)高年級(jí)本科生與研究生的教材或教學(xué)參考書(shū)。同時(shí)，《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》對(duì)于有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者而言，也是一部很好的自學(xué)參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

前言第一章 距離空間§l線性距離空間1．1線性空間1．2距離空間1．3線性賦范空間§2距離空間的完備性2．1完備性定義及例子2．2完備空間的重要性2．3空間的完備化§3內(nèi)積空間3．1內(nèi)積空間的定義3．2正規(guī)直交（正交）基§4距離空間中的點(diǎn)集4．1開(kāi)集與閉集4．2稠密性與可分空間4．3列緊集與緊集§5不動(dòng)點(diǎn)定理5．1壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理5．2凸緊集上的不動(dòng)點(diǎn)定理習(xí)題第二章 Banach空間上的有界線性算子§1有界線性算子及其范數(shù)1．1有界線性算子1．2算子空間1．3算子的可逆性§2Hahn—Banach定理2．1Hahn—Banach定理2．2Hahn—Banach定理的幾何形式§3一致有界原理與閉圖像定理3．1一致有界原理3．2逆算子定理3．3閉圖像定理§4對(duì)偶空間與弱收斂4．1對(duì)偶空間、二次對(duì)偶與自反空間4．2弱收斂與弱收斂§5Banach共軛算子5．1共軛算子5．2算子的值域與零空間§6有界線性算子的譜6．1算子的預(yù)解式與譜6．2譜半徑公式§7緊算子7．1緊算子的定義與性質(zhì)7．2Ritesz—Schauder理論7．3關(guān)于不變子空間的注習(xí)題二第三章 Hilbert空間上的有界線性算子§1投影定理與Frechet—Riesz表示定理1．1投影定理1．2Frechet-Riesz表示定理1．3Hilbert共軛算子§2幾類特殊算子2．1定義及例子2．2雙線性形式2．3算子譜的性質(zhì)2．4自伴算子的上下界2．5譜映射定理§3緊自伴算子3．1投影算子3．2不變子空間和約化子空間3．3緊自伴算子的譜分解定理§4有界自伴算子的譜分解定理4．1譜系、譜測(cè)度與譜積分4．2有界自伴算子的譜分解定理4．3正算子§5酉算子的譜分解定理§6正規(guī)算子的譜分解定理6．1乘積譜測(cè)度6．2正規(guī)算子的譜分解定理習(xí)題三參考文獻(xiàn)索引

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