數(shù)值分析

前言

　　計算問題是現(xiàn)代社會各個領(lǐng)域普遍存在的共同問題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等，各部門都有許多數(shù)據(jù)需要計算，通過數(shù)據(jù)計算和分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要強有力的計算能力，人類計算能力的提高包括兩個方面，一是計算機性能的提高，二是計算方法效率的提高。近幾十年來，人類使用計算機解決的應(yīng)用問題在不斷變化，應(yīng)用范圍不斷擴張、應(yīng)用問題的規(guī)模不斷增加、應(yīng)用問題本身也越來越復(fù)雜。有不少例子表明，計算的應(yīng)用需求超過了計算機性能提高速度，現(xiàn)代人要解決的大多數(shù)是大規(guī)模、非線性、多因素的復(fù)雜計算問題，而且對解決問題的時間又有嚴(yán)格限制，面對這種情況，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法幾乎無能為力，這是對算法研究的挑戰(zhàn)?！　‘?dāng)1946年世界上第一臺電子計算機（ENIAC）誕生時，很少有人能想到計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用會有今天這樣波瀾壯闊的情形。而人類研制ENIAC的最初目的是為了解決數(shù)值計算問題（火炮發(fā)射的彈道計算）。研究計算問題的解決方法和有關(guān)數(shù)學(xué)理論問題的學(xué)科就是數(shù)值分析。數(shù)值分析又稱為數(shù)值計算方法，在計算機作為人類計算工具的時代，數(shù)值分析的主要任務(wù)是研究有關(guān)的數(shù)學(xué)和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決?！　∮嬎銠C和數(shù)值計算方法兩個方面的進步，極大提高了人類的計算能力，從而引起科學(xué)方法論的巨大變革。如果說伽利略和牛頓在科學(xué)發(fā)展史上奠定了實驗和理論這兩個科學(xué)方法支柱，那么從馮·諾依曼開始，科學(xué)計算逐步走上了人類科學(xué)活動的前沿，它已成為第三個方法支柱?？茖W(xué)計算與實驗、理論共同成為科學(xué)方法論的基本環(huán)節(jié)。它們互相補充，互相依賴，而又相對獨立，不可缺少。人們可以用數(shù)值計算來模擬現(xiàn)實世界的各種過程，部分地取代或作為實驗的補充、檢驗理論模型、進行預(yù)測、模擬實際無法重復(fù)或無法進行實驗的現(xiàn)象。由于有了這一手段，大大增強了人們科學(xué)研究的能力，促進了不同學(xué)科之間交叉滲透，縮短了基礎(chǔ)研究到應(yīng)用開發(fā)的過程。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)值分析》是為高年級本科生、工科碩士研究生和數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生開設(shè)的“數(shù)值分析”（數(shù)值計算方法）課程編寫的教材。其內(nèi)容包括數(shù)值分析的基本概念、非線性方程求根方法、解線性方程組的直接法、線性方程組的迭代解法、數(shù)據(jù)插值方法、數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的數(shù)值解法。內(nèi)容覆蓋了國家教委工科研究生數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)小組所制定的工科碩士生數(shù)值分析課程教學(xué)基本要求?！　〗滩淖⒅乩碚撆c實踐相結(jié)合，既注重數(shù)值方法理論，也注重數(shù)值試驗課題介紹。特別對于數(shù)值計算中的常用方法（如迭代方法、對連續(xù)問題的離散化方法等）的應(yīng)用給出了豐富的例子和數(shù)值試驗。書中每章后附有習(xí)題和數(shù)值計算的應(yīng)用實例。重視數(shù)值試驗、應(yīng)用實例是《數(shù)值分析》的特色之一?！　　稊?shù)值分析》也可供從事科學(xué)與工程計算的工作者參考。

書籍目錄

第一章 數(shù)值分析的基本概念§1．1 誤差和有效數(shù)字§1．2 數(shù)值運算的誤差估計§1．3 數(shù)值計算中的一些基本原則應(yīng)用：Koch分形曲線算法習(xí)題第二章 非線性方程求根方法§2．1 二分法：§2．2 迭代法的一般理論§2．3 牛頓迭代法應(yīng)用：計算圓周率算法習(xí)題二第三章 解線性方程組的直接法§3．1 高斯消元法§3．2 列主元消元法與三角分解§3．3 直接三角分解法§3．4 向量和矩陣范數(shù)§3．5 方程組直接方法的誤差估計應(yīng)用：小行星軌道問題習(xí)題三第四章 線性方程組的迭代解法§4．1 雅可比迭代和高斯一賽德爾迭代§4．2 雅可比迭代和高斯一賽德爾迭代的收斂性§4．3 超松弛迭代法§4．4 分塊迭代法§4．5 共軛梯度算法應(yīng)用：平面溫度場計算問題習(xí)題四第五章 數(shù)據(jù)插值方法§5．1 拉格朗日插值§5．2 均差與牛頓插值§5．3 分段線性插值與多元函數(shù)插值§5．4 埃爾米特插值§5．5 樣條插值應(yīng)用：最速降線問題習(xí)題五第六章 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近§6．1 曲線擬合的最小二乘法§6．2 正交多項式§6．3 最佳平方逼近應(yīng)用：三角函數(shù)的有理逼近習(xí)題六第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分§7．1 插值型求積公式與代數(shù)精確度§7．2 復(fù)合求積公式及算法§7．3 外推原理與龍貝格算法§7．4 高斯型求積公式及其復(fù)合公式§7．5 數(shù)值微分應(yīng)用：通信衛(wèi)星覆蓋地球面積算法，計算定積分的蒙特卡羅方法習(xí)題七第八章 常微分方程的數(shù)值解法§8．1 簡單的數(shù)值方法§8．2 龍格一庫塔方法§8．3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性§8．4 線性多步法§8．5 一階常微分方程組和高階方程應(yīng)用：追擊曲線問題習(xí)題八參考文獻

章節(jié)摘錄

　　計算問題是現(xiàn)代社會各個領(lǐng)域普遍存在的共同問題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等，各部門都有許多數(shù)據(jù)需要計算，通過數(shù)據(jù)計算和分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要強有力的計算能力，人類計算能力的提高包括兩個方面，一是計算機性能的提高，二是計算方法效率的提高。近幾十年來，人類使用計算機解決的應(yīng)用問題在不斷變化，應(yīng)用范圍不斷擴張、應(yīng)用問題的規(guī)模不斷增加、應(yīng)用問題本身也越來越復(fù)雜。有不少例子表明，計算的應(yīng)用需求超過了計算機性能提高速度，現(xiàn)代人要解決的大多數(shù)是大規(guī)模、非線性、多因素的復(fù)雜計算問題，而且對解決問題的時間又有嚴(yán)格限制，面對這種情況，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法幾乎無能為力，這是對算法研究的挑戰(zhàn)?！　‘?dāng)1946年世界上第一臺電子計算機（ENIAC）誕生時，很少有人能想到計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用會有今天這樣波瀾壯闊的情形。而人類研制ENIAC的最初目的是為了解決數(shù)值計算問題（火炮發(fā)射的彈道計算）。研究計算問題的解決方法和有關(guān)數(shù)學(xué)理論問題的學(xué)科就是數(shù)值分析。數(shù)值分析又稱為數(shù)值計算方法，在計算機作為人類計算工具的時代，數(shù)值分析的主要任務(wù)是研究有關(guān)的數(shù)學(xué)和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決?！　∮嬎銠C和數(shù)值計算方法兩個方面的進步，極大提高了人類的計算能力，從而引起科學(xué)方法論的巨大變革。如果說伽利略和牛頓在科學(xué)發(fā)展史上奠定了實驗和理論這兩個科學(xué)方法支柱，那么從馮·諾依曼開始，科學(xué)計算逐步走上了人類科學(xué)活動的前沿，它已成為第三個方法支柱?？茖W(xué)計算與實驗、理論共同成為科學(xué)方法論的基本環(huán)節(jié)。它們互相補充，互相依賴，而又相對獨立，不可缺少。人們可以用數(shù)值計算來模擬現(xiàn)實世界的各種過程，部分地取代或作為實驗的補充、檢驗理論模型、進行預(yù)測、模擬實際無法重復(fù)或無法進行實驗的現(xiàn)象。由于有了這一手段，大大增強了人們科學(xué)研究的能力，促進了不同學(xué)科之間交叉滲透，縮短了基礎(chǔ)研究到應(yīng)用開發(fā)的過程。

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