高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

前言

　　本書是普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材。全書共分三冊，即《一元函數(shù)微積分與無窮級數(shù)》、《線性代數(shù)與解析幾何》、《多元函數(shù)微積分與常微分方程（組）》，其中的微積分部分是作者編寫的《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》一書的簡化本。《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》是由高等教育出版社出版的面向21世紀(jì)教材，也是“九五”國家級重點(diǎn)教材，并于2001年獲“中國高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)一等獎(jiǎng)”，2002年獲“國家優(yōu)秀教材一等獎(jiǎng)”，適用于高等理工科院校對數(shù)學(xué)要求較高的非數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生。本書則兼顧科技發(fā)展的需要和當(dāng)前我國高等院校的實(shí)際情況，對《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》內(nèi)容的深廣度作較大幅度的調(diào)整，使其適用于多數(shù)院校的教學(xué)需求。本書在編寫的指導(dǎo)思想和內(nèi)容體系方面繼承了《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》的一些主要特色：　　1.適當(dāng)拓寬必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。與《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》相比，本書雖然刪去了實(shí)數(shù)完備性、確界定理、一致連續(xù)、含參變量積分、微分方程穩(wěn)定性與無限維分析等內(nèi)容，削減了極限理論以及某些定理的證明，并在級數(shù)的一致收斂、微分方程組前冠以“*”號，不作為教學(xué)基本要求。但是，本書保留了在集合與映射的基礎(chǔ)上講解函數(shù)、極限的基本理論、向量值函數(shù)的微分、通過向量值函數(shù)的微分來研究曲線與曲面的性質(zhì)等內(nèi)容。對于沒有給出分析證明的重要定理，也努力通過幾何直觀或其他方法分析并揭示定理的正確性或定理證明的基本思路，以便使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，在數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性方面受到必要的基本訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的理性思維方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力?！　?.注意分析、代數(shù)與幾何相關(guān)內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合和相互滲透。本書從多元函數(shù)微分學(xué)開始，就注意逐步加強(qiáng)向量和矩陣的運(yùn)用，利用向量、矩陣和線性代數(shù)中的知識來表述微積分中的有關(guān)內(nèi)容，并采用從二維、三維逐步過渡到n維的講解方法。例如，利用Jacobi矩陣來表示向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分；用向量值函數(shù)的微分來研究曲線和曲面的性質(zhì)；將第二型線面積分與向量場的研究結(jié)合起來。另一方面在線性代數(shù)中，又列舉了一些分析方面的例題，說明線性代數(shù)的某些概念。例如在講解內(nèi)積時(shí)，介紹了用兩個(gè)函數(shù)乘積的定積分定義函數(shù)空間中內(nèi)積的例子，在矩陣特征值理論中講解了它在求解線性微分方程組方面的應(yīng)用等。這樣做，既有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，又能更好地滿足現(xiàn)代科技的發(fā)展對數(shù)學(xué)的需求。

內(nèi)容概要

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》是普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材，全書共分三冊，本書是其中的一冊，也是作者編寫的《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》上冊的簡化本。內(nèi)容包括微積分的理論基礎(chǔ)、一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用、一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用和無窮級數(shù)共四章。本書保持了《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》一書的主要特色，適當(dāng)降低了教學(xué)要求，刪去了一些要求較高的理論內(nèi)容，努力揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的講授和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)基本訓(xùn)練，以適應(yīng)多數(shù)高等理工科院校的教學(xué)需要。本書體系結(jié)構(gòu)簡明嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容豐富，要求適中，應(yīng)用實(shí)例范圍廣泛，敘述清晰，深入淺出，富于啟發(fā)性。每節(jié)習(xí)題分為A、B兩類，每章后還配有習(xí)題和綜合練習(xí)題，書末有部分習(xí)題答案和提示。    本書可作為高等理工科院校非數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生的教材，也可供其他專業(yè)選用和社會讀者閱讀。

書籍目錄

緒論　微積分的研究對象和基本思想方法第一章　微積分的理論基礎(chǔ)　第一節(jié)　集合與函數(shù)　  1.1　集合及其運(yùn)算  　1.2　映射與函數(shù)的概念　  1.3　復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)  　1.4　逆映射與反函數(shù)　  1.5　初等函數(shù)與雙曲函數(shù)  　1.6  建立實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式  　習(xí)題1.1  　第二節(jié)　數(shù)列的極限　  2.1　數(shù)列極限的概念  　2.2　收斂數(shù)列的性質(zhì)與極限運(yùn)算法則　  2.3　數(shù)列收斂的判別準(zhǔn)則  　習(xí)題1.2　第三節(jié)　函數(shù)的極限  　3.1　函數(shù)極限的概念　  3.2　函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則  　3.3　兩個(gè)重要極限　  3.4　函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則  　習(xí)題1.3　第四節(jié)　無窮小量與無窮大量  　4.1　無窮小量及其階的概念　  4.2　無窮小的等價(jià)代換  　4.3　無窮大量　  習(xí)題1.4　第五節(jié)　連續(xù)函數(shù)  　5.1  函數(shù)的連續(xù)性概念與間斷點(diǎn)的分類　  5.2　連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性  　5.3  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　  習(xí)題1.5  第一章習(xí)題  綜合練習(xí)題第二章　一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用　第一節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念  　1.1　導(dǎo)數(shù)的定義　  1.2　導(dǎo)數(shù)的幾何意義  　1.3　可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系　  1.4　科學(xué)技術(shù)中的導(dǎo)數(shù)問題舉例  　習(xí)題2.1  第二節(jié)　求導(dǎo)的基本法則    2.1  函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則    2.2　復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    2.3　反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    2.4　高階導(dǎo)數(shù)    習(xí)題2.2  第三節(jié)　  隱函數(shù)與參數(shù)方程的求導(dǎo)法    3.1　隱函數(shù)求導(dǎo)法    3.2　參數(shù)方程求導(dǎo)法    3.3　相關(guān)變化率    習(xí)題2.3  第四節(jié)　微分　  4.1　微分的概念　　4.2　微分的幾何意義　　4.3　微分的運(yùn)算法則　  4.4　微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用　  習(xí)題2.4　第五節(jié)　微分中值定理及L’Hospital法則  　5.1　微分中值定理　  5.2　L’HOSpital法則  　習(xí)題2.5　第六節(jié)　Taylor定理  　6.1　Tavlor定理　  6.2  幾個(gè)初等函數(shù)的Maclaurin公式    　6.3　Tavlor公式的應(yīng)用　  習(xí)題2.6……第三章　一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第四章　無窮極數(shù)附錄　部分習(xí)題答案與提示

章節(jié)摘錄

　　例2 警犬搜捕逃犯　　警犬之所以成為警察搜捕逃犯的得力助手，是因?yàn)樗徐`敏的嗅覺。只要將帶有逃犯氣味的某種物品讓警犬聞一聞，它就能迅速而準(zhǔn)確地去捕捉逃犯。試問：警犬搜捕逃犯的路徑是什么曲線呢（假定搜捕范圍是一塊平坦地帶）？研究發(fā)現(xiàn)，警犬在搜捕逃犯過程中的每一瞬時(shí)都是沿著逃犯氣味濃度變化最快的方向前進(jìn)的。只要能測定逃犯氣味濃度的變化規(guī)律（一般是所在位置的某種指數(shù)函數(shù)），那么，利用微積分方法就可以求出警犬搜捕路徑的曲線方程。在一定條件下，這種路徑是一條拋物線。類似地，鯊魚在海平面上追尋受傷魚類的前進(jìn)路線也是如此（詳見本書多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用）?！　±?行星的運(yùn)動　　在浩瀚無垠的星空，行星的運(yùn)動有無規(guī)律呢？它是否也以一定的空間形式在運(yùn)動，在運(yùn)動變化中遵循一定的數(shù)量關(guān)系呢？這是人類自古以來就不斷探究的問題。德國天文學(xué)家Kepler根據(jù)大量的觀測資料總結(jié)出了行星運(yùn)動的三大定律。他發(fā)現(xiàn)的第一定律是：行星以橢圓軌道繞太陽旋轉(zhuǎn)，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。這一發(fā)現(xiàn)與長期統(tǒng)治人類思想的“地心說”形成了尖銳的矛盾，引起了巨大的轟動和爭論。英國著名科學(xué)家Newton堅(jiān)信這一論斷的正確性。他相信，行星的運(yùn)動規(guī)律也符合他的第二定律：F=ma。那么，支配行星運(yùn)動的力F是什么樣的力呢？經(jīng)過堅(jiān)忍不拔的努力，他不但發(fā)現(xiàn)了支配行星運(yùn)動的萬有引力，而且利用他與德國科學(xué)家Leibniz發(fā)明的微積分方法，準(zhǔn)確地計(jì)算了行星運(yùn)動的規(guī)律，證明了Kepler三大定律的正確性，宣告了“地心說”的徹底滅亡。不僅如此，他還指出，在不同的初始能量下，行星運(yùn)動的軌跡可能是橢圓、雙曲線或拋物線（統(tǒng)稱為圓錐曲線的一種）。　　拋開事物質(zhì)的不同（例如，不論它是物理的、化學(xué)的、生物的或者是經(jīng)濟(jì)的），研究客觀事物在運(yùn)動變化中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的規(guī)律，就是數(shù)學(xué)科學(xué)的根本任務(wù)。簡而言之，數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的科學(xué)。然而，隨著人類對客觀事物認(rèn)識的不斷深化，在數(shù)學(xué)發(fā)展的不同階段，“數(shù)”和“形”的內(nèi)涵和表現(xiàn)形式也有很大的不同?！　?shù)學(xué)的發(fā)展大體上可以劃分為三個(gè)階段。　　從古希臘時(shí)代（公元前五世紀(jì)到公元前三世紀(jì)）到十七世紀(jì)中葉，是數(shù)學(xué)發(fā)展的第一階段。在這段漫長的時(shí)期內(nèi)，由于生產(chǎn)力落后，社會生產(chǎn)發(fā)展非常緩慢，人類對自然界的認(rèn)識受到很大的局限，數(shù)學(xué)的研究對象是常數(shù)或常量（即在某一運(yùn)動變化過程中保持不變或相對保持不變、可以看作一個(gè)固定數(shù)值的量）與簡單的規(guī)則幾何形體（例如，直線、平面、直線形與直面形等）。這個(gè)階段常被稱為常量數(shù)學(xué)階段或初等數(shù)學(xué)階段。

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