實(shí)變函數(shù)與泛函分析簡明教程

前言

　　科學(xué)發(fā)展日新月異、相互滲透，許多新學(xué)科和新技術(shù)蓬勃興起，數(shù)學(xué)也不例外．大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的課程設(shè)置和內(nèi)容改革與時(shí)俱進(jìn)，不斷地深入．現(xiàn)在課程設(shè)置增多了，學(xué)制仍保持不變，因此為了學(xué)生學(xué)習(xí)和身心全面健康的發(fā)展，以現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展為指導(dǎo)，編寫一部由淺入深，簡明易學(xué)的教科書是極其重要的．　　實(shí)變函數(shù)與泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，應(yīng)用廣泛．這些在許多現(xiàn)行的教科書的序或前言中皆有精僻的闡述，這里不再重復(fù)．從數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、幾何和古典概率等到實(shí)變函數(shù)與泛函分析，是數(shù)學(xué)思想、方法和理論的一個(gè)飛躍．實(shí)變函數(shù)創(chuàng)立了一種新的Lebesgue測度和積分理論；泛函分析則把一維和高維微積分發(fā)展到無限維的情形，它綜合并發(fā)展了先行各門課程的思想、理論和方法，其概念和方法抽象難懂。而由于實(shí)變函數(shù)與泛函分析自身的特點(diǎn)與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼拖到y(tǒng)性，課程內(nèi)容環(huán)環(huán)緊密相扣，使得編寫一本能夠涵蓋實(shí)變函數(shù)的主要內(nèi)容與泛函分析的基礎(chǔ)知識、內(nèi)容精煉而又簡明易學(xué)的教材的任務(wù)十分艱巨，任重而道遠(yuǎn)．　　基于以上所述，本書作者經(jīng)長期的教學(xué)和科研實(shí)踐，逐步形成并編寫了這部“實(shí)變函數(shù)與泛函分析簡明教程”．這本書以現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展為指導(dǎo)，精選內(nèi)容，安排實(shí)變函數(shù)與泛函分析在一學(xué)期完成。內(nèi)容的安排與闡述，聯(lián)系經(jīng)典分析，并在第一、二、三、四和第七章附錄中，介紹了相關(guān)內(nèi)容發(fā)展簡史，循循善導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟從經(jīng)典概念、理論和方法抽象到更高情形發(fā)展的必然和必須．這些對學(xué)生的全面發(fā)展和對書中內(nèi)容的理解和掌握以及培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力都是十分有助的，無疑是很有特色的一種有益嘗試．

內(nèi)容概要

　　《實(shí)變函數(shù)與泛函分析簡明教程》是“江蘇省普通高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計(jì)劃”的研究成果。該書根據(jù)高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)的實(shí)際情況與培養(yǎng)人才的需要，從少而精的基礎(chǔ)課、廣而約的專業(yè)課以及精減課時(shí)與課程門數(shù)、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)和課程內(nèi)容現(xiàn)代化的教改目標(biāo)出發(fā)，把實(shí)變函數(shù)與泛函分析整合為一門課程，在一學(xué)期內(nèi)（約72～80學(xué)時(shí)）學(xué)完。全書以簡明的體系與方法和流暢的語言闡述了實(shí)變函數(shù)的主要內(nèi)容和泛函分析的基礎(chǔ)知識，突出平臺(tái)思想及抽象分析簡明實(shí)用的方法，注意與經(jīng)典分析的聯(lián)系，重視應(yīng)用性與知識現(xiàn)代化。全書內(nèi)容包括集合論基礎(chǔ)、Lebesgue測度與Lebesgue積分、線性賦范空間與ilbert空間的基本理論和有界線性算子簡介?！秾?shí)變函數(shù)與泛函分析簡明教程》的幾個(gè)附錄有助于學(xué)生了解現(xiàn)代抽象分析思想方法的產(chǎn)生與發(fā)展?！秾?shí)變函數(shù)與泛函分析簡明教程》適合于用作普通高等師院院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生及本科函數(shù)生教材，也可作為師專數(shù)學(xué)專業(yè)選修課和其他院校相關(guān)課程的教材。

書籍目錄

第一章 集合§1．1 集合及其運(yùn)算§1．2 映射§1．3 集合的基數(shù)§1．4 可數(shù)集與不可數(shù)集§1．5 直線上的點(diǎn)集附錄集合論的誕生與數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)上的裂縫習(xí)題第二章 測度§2．1 外測度§2．2 Lebesgue可測集§2．3 可測集的結(jié)構(gòu)附錄關(guān)于測度概念的注記習(xí)題二第三章 可測函數(shù)§3．1 連續(xù)函數(shù)與單調(diào)函數(shù)*§3．2 有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)§3．3 簡單函數(shù)§3．4 可測函數(shù)的概念與性質(zhì)§3．5 可測函數(shù)的逼近§3．6 可測函數(shù)列的收斂性附錄函數(shù)概念的發(fā)展習(xí)題三第四章 積分§4．1 可測函數(shù)的Lebesgue積分§4．2 Lebesgue積分的性質(zhì)§4．3 積分的極限定理§4．4 應(yīng)用Lebesgue積分研究Riemann積分*§4．5 微分與積分附錄Lebesgue積分與實(shí)變函數(shù)習(xí)題四第五章 線性賦范空間§5．1 線性空間§5．2 范數(shù)與距離§5．3 線性賦范空間中的點(diǎn)集§5．4 空間的完備性§5．5 列緊性與有限維空間§5．6 不動(dòng)點(diǎn)定理§5．7 度量空間·拓?fù)淇臻g附錄}J61der不等式與Minkowski不等式習(xí)題五第六章 IIilbert空間幾何學(xué)簡介§6．1 內(nèi)積空間與}tilbel·t空間§6．2 正交與正交補(bǔ)§6．3 正交分解定理*§6．4 內(nèi)積空間中的．Fourier級數(shù)習(xí)題六第七章 線性算子的基本理論§7．1 有界線性算子§7．2 連續(xù)線性泛函*§7．3 開映射定理、閉圖像定理和一致有界定理§7．4 弱收斂附錄泛函分析的確立與發(fā)展習(xí)題七

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