偏微分方程

前言

　　偏微分方程是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個極其重要的領(lǐng)域，它是數(shù)學(xué)與其它科學(xué)學(xué)科聯(lián)系的重要橋梁之一，也是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)發(fā)展的基本源泉之一。然而，由于這一領(lǐng)域?qū)W科背景的多樣化和復(fù)雜性，在如何開設(shè)這門課程和講授哪些內(nèi)容等方面都還有不少值得深入研究和探討的問題。　　我們認(rèn)為，從數(shù)學(xué)史來看，很難找到一個數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展是與偏微分方程沒有關(guān)系的；再就培養(yǎng)數(shù)學(xué)系學(xué)生的角度來看，種種數(shù)學(xué)門類的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，其原委大多能較好地在偏微分方程課程的學(xué)習(xí)過程中獲得較好的理解。不僅如此，偏微分方程課程還是學(xué)習(xí)前人數(shù)學(xué)思想、方法和觀點所難得的一門課程。以往我們差不多把數(shù)學(xué)理解成了“智力游戲”，在數(shù)學(xué)的講授過程中也往往將其變成了一些神奇技巧的傳授（新近又有一種將數(shù)學(xué)變成其他學(xué)科附庸的傾向），這些都反映我們對數(shù)學(xué)（乃至科學(xué)）理解方面的偏差。因此，編寫一本適合我國高校情況的偏微分方程教材是非常迫切的。　　從1994年9月以來，基于對偏微分方程及數(shù)理方程課程和教材的現(xiàn)狀，我們開始了對該課程教改的思考與實踐并著手編寫講義。從1996年9月開始在我系1994級至2000級基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生偏微分方程課程中使用。使用效果是良好的，這表現(xiàn)在兩方面：一是通過這門課程的講授，可以使學(xué)生熟悉和逐步習(xí)慣于以問題為中心的學(xué)習(xí)方式，從而能主動地進(jìn)行學(xué)習(xí)，并使學(xué)生掌握解決問題的基本步驟，了解數(shù)學(xué)分析和常微分方程及泛函分析等學(xué)科中的一些問題的由來，特別是一些具體問題在這些學(xué)科中的相關(guān)理論創(chuàng)立中的作用；另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，尤其暴露出他們在前期數(shù)學(xué)教育中養(yǎng)成的思維方法上和知識NN_E存在的問題：學(xué)生希望并習(xí)慣于等著教師把題目的條件都設(shè)計得天衣無縫，而自己只需要作幾個三段論（他們覺得數(shù)學(xué)就是推理，與此無關(guān)的一切他們都不應(yīng)該去做）；在知識層面，學(xué)生的一元微積分計算還可以，但對矩陣運(yùn)算、分部積分、多元微積分及級數(shù)的基本運(yùn)算則很不熟練，甚至在心理上有巨大的排斥感?！　』谶@樣一些認(rèn)識，我們試圖從數(shù)學(xué)理論的完整性，物理模型刻畫的完整性和邏輯性與歷史性的統(tǒng)一性等三個層面來設(shè)計教材?！　?shù)學(xué)理論的完整性：是指以本科數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)與常微分方程等課程提供的工具，以此作為選擇偏微分方程課程內(nèi)容的依據(jù)。具體地說，分部積分、場論、Sturm．Liouville理論等工具在討論偏微分方程的過程中一步步展開，使其作用與意義能夠得到揭示。書中對極值原理也做較仔細(xì)的討論。

內(nèi)容概要

　　《偏微分方程》以數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)和常微分方程等本科課程所提供的工具為依據(jù)來選擇偏微分方程課程的內(nèi)容。把分部積分、場論、Sturm-Liouville等理論與偏微分方程結(jié)合起來討論以便揭示其作用與意義，對極值原理也作了較仔細(xì)的論證《偏微分方程》內(nèi)容以微積分理論所能容納的程度為限．具體內(nèi)容包括：一階方程、變分問題、常系數(shù)線性方程求解方法、二階線性方程等?！　　镀⒎址匠獭妨η蟊M可能保持物理模型講述的完整性以及偏微分方程中邏輯性與歷史性的統(tǒng)一。在各部分內(nèi)容的討論中，除了保證數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性之外，還注意對其實際意義的解釋，并穿插有關(guān)的歷史事例，希望能為討論注入活力并向?qū)W生介紹正確的數(shù)學(xué)觀。　　《偏微分方程》可作為高等院校數(shù)學(xué)系偏微分方程課程的教材。

書籍目錄

第一章 基本概念和一階偏微分方程§1．1 記號和基本概念1．1．1 記號1．1．2 基本概念1．1．3 定解條件和定解問題1．1．4 偏微分方程小史1．1．5 本課程的打算§1．2 一階偏微分方程的求解1．2．1 擬線性方程的Cauchy問題1．2．2 一階完全非線性方程的Cauchy問題§1．3 全積分和包面§1．4 冪級數(shù)和(auchyKovalevskaja定理1．4．1 實解析函數(shù)和優(yōu)函數(shù)1．4．2 常微分方程的實解析解1．4．3 Dauchy．Kcwalevskaja定理第二章 定解問題的導(dǎo)出和二階線性偏微分方程的分類及化簡§2．1 變分問題和微分方程與變分原理和定解問題2．1．1 泛函和變分問題2．1．2 定解問題§2．2 二階線性偏微分方程的分類和化簡2．2．1 二階常系數(shù)線性偏微分方程的分類和化簡2．2．2 變系數(shù)二階線性偏微分方程的分類和有關(guān)的坐標(biāo)變換2．2．3 兩個自變量的變系數(shù)二階線性偏微分方程的化簡第三章 二階常系數(shù)線性偏微分方程的求解方法§3．1 疊加原理和齊次化原理3．1．1 定解問題的分解3．1．2 齊次化(Duhamel)原理§3．2 Fourier級數(shù)和分離變量法§3．3 Fourier積分和積分變換3．3．1 F0urier積分定理3．3．2 Fourier變換及其性質(zhì)3．3．3 Laplace變換及其性質(zhì)第四章 波動方程§4．1 波動方程的建立4．1．1 弦振動方程(一維波動方程)的建立4．1．2 膜振動方程(二維波動方程)的建立4．1．3 彈性介質(zhì)中的振動方程(三維波動方程)的建立§4．2 弦振動方程的cauchy問題與半無界弦的初邊值問題4．2．1 弦振動方程的Cauchy問題4．2．2 半無界弦的初邊值問題(延拓法)§4．3 三維和二維波動方程的Cauchy問題4．3．1 三維波動方程的Cauchy問題(球平均法)4．3．2 二維波動方程cauchy問題的求解(降維法)4．3．3 依賴區(qū)域，決定區(qū)域和影響區(qū)域以及二維波動和三維波動的區(qū)別4．3．4 波動方程Cauchy問題的惟一性和穩(wěn)定性，能量積分4．4 波動方程在有界區(qū)域上的初邊值問題4．4．1 弦振動方程的初邊值問題4．4．2 有界區(qū)間上弦振動方程解的物理意義4．4．3 高維波動方程在有界區(qū)域上的初邊值問題4．4．4 有界區(qū)域上波動方程初邊值問題的惟一性和穩(wěn)定性第五章 熱傳導(dǎo)方程§5．1 熱傳導(dǎo)方程的建立§5．2 有界區(qū)域上初邊值問題的分離變量法55．3 熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題和半空間上的初邊值問題5．3．1 熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題5．3．2 熱傳導(dǎo)方程在半空間上的初邊值問題5．4 極值原理與惟一性和穩(wěn)定性5．4．1 極值原理5．4．2 有界區(qū)域上初邊值問題的惟一性5．4．3 有界區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的穩(wěn)定性(最大?；蜃畲笾倒烙?5．4．4 Callchy問題的惟一性和穩(wěn)定性5．4．5 熱傳導(dǎo)方程的能量積分第六章 位勢方程6．1 位勢方程的引入，定解問題的提法和基本解§6．2 極值原理，位勢方程的惟一性和穩(wěn)定性§6．3 Green公式和Green函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)6．3．1 Green公式及其若干推論6．3．2 Green函數(shù)和球域上Dhichlet．問題的求解公式6．3．3 調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)§6．4 Newton位勢和非齊次位勢方程的特解§6．5 Perron方法和有界區(qū)域上Dirichlet，問題的可解性參考文獻(xiàn)

圖書封面

圖書標(biāo)簽Tags

無

評論、評分、閱讀與下載

---

    偏微分方程 PDF格式下載

---