偏微分方程

前言

　　偏微分方程是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)極其重要的領(lǐng)域，它是數(shù)學(xué)與其它科學(xué)學(xué)科聯(lián)系的重要橋梁之一，也是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)發(fā)展的基本源泉之一。然而，由于這一領(lǐng)域?qū)W科背景的多樣化和復(fù)雜性，在如何開(kāi)設(shè)這門課程和講授哪些內(nèi)容等方面都還有不少值得深入研究和探討的問(wèn)題?！　∥覀冋J(rèn)為，從數(shù)學(xué)史來(lái)看，很難找到一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展是與偏微分方程沒(méi)有關(guān)系的；再就培養(yǎng)數(shù)學(xué)系學(xué)生的角度來(lái)看，種種數(shù)學(xué)門類的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，其原委大多能較好地在偏微分方程課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得較好的理解。不僅如此，偏微分方程課程還是學(xué)習(xí)前人數(shù)學(xué)思想、方法和觀點(diǎn)所難得的一門課程。以往我們差不多把數(shù)學(xué)理解成了“智力游戲”，在數(shù)學(xué)的講授過(guò)程中也往往將其變成了一些神奇技巧的傳授（新近又有一種將數(shù)學(xué)變成其他學(xué)科附庸的傾向），這些都反映我們對(duì)數(shù)學(xué)（乃至科學(xué)）理解方面的偏差。因此，編寫(xiě)一本適合我國(guó)高校情況的偏微分方程教材是非常迫切的?！　?994年9月以來(lái)，基于對(duì)偏微分方程及數(shù)理方程課程和教材的現(xiàn)狀，我們開(kāi)始了對(duì)該課程教改的思考與實(shí)踐并著手編寫(xiě)講義。從1996年9月開(kāi)始在我系1994級(jí)至2000級(jí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生偏微分方程課程中使用。使用效果是良好的，這表現(xiàn)在兩方面：一是通過(guò)這門課程的講授，可以使學(xué)生熟悉和逐步習(xí)慣于以問(wèn)題為中心的學(xué)習(xí)方式，從而能主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，并使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的基本步驟，了解數(shù)學(xué)分析和常微分方程及泛函分析等學(xué)科中的一些問(wèn)題的由來(lái)，特別是一些具體問(wèn)題在這些學(xué)科中的相關(guān)理論創(chuàng)立中的作用；另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，尤其暴露出他們?cè)谇捌跀?shù)學(xué)教育中養(yǎng)成的思維方法上和知識(shí)NN_E存在的問(wèn)題：學(xué)生希望并習(xí)慣于等著教師把題目的條件都設(shè)計(jì)得天衣無(wú)縫，而自己只需要作幾個(gè)三段論（他們覺(jué)得數(shù)學(xué)就是推理，與此無(wú)關(guān)的一切他們都不應(yīng)該去做）；在知識(shí)層面，學(xué)生的一元微積分計(jì)算還可以，但對(duì)矩陣運(yùn)算、分部積分、多元微積分及級(jí)數(shù)的基本運(yùn)算則很不熟練，甚至在心理上有巨大的排斥感?！　』谶@樣一些認(rèn)識(shí)，我們?cè)噲D從數(shù)學(xué)理論的完整性，物理模型刻畫(huà)的完整性和邏輯性與歷史性的統(tǒng)一性等三個(gè)層面來(lái)設(shè)計(jì)教材?！　?shù)學(xué)理論的完整性：是指以本科數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)與常微分方程等課程提供的工具，以此作為選擇偏微分方程課程內(nèi)容的依據(jù)。具體地說(shuō)，分部積分、場(chǎng)論、Sturm．Liouville理論等工具在討論偏微分方程的過(guò)程中一步步展開(kāi)，使其作用與意義能夠得到揭示。書(shū)中對(duì)極值原理也做較仔細(xì)的討論。

內(nèi)容概要

　　《偏微分方程》以數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)和常微分方程等本科課程所提供的工具為依據(jù)來(lái)選擇偏微分方程課程的內(nèi)容。把分部積分、場(chǎng)論、Sturm-Liouville等理論與偏微分方程結(jié)合起來(lái)討論以便揭示其作用與意義，對(duì)極值原理也作了較仔細(xì)的論證《偏微分方程》內(nèi)容以微積分理論所能容納的程度為限．具體內(nèi)容包括：一階方程、變分問(wèn)題、常系數(shù)線性方程求解方法、二階線性方程等?！　　镀⒎址匠獭妨η蟊M可能保持物理模型講述的完整性以及偏微分方程中邏輯性與歷史性的統(tǒng)一。在各部分內(nèi)容的討論中，除了保證數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性之外，還注意對(duì)其實(shí)際意義的解釋，并穿插有關(guān)的歷史事例，希望能為討論注入活力并向?qū)W生介紹正確的數(shù)學(xué)觀?！　　镀⒎址匠獭房勺鳛楦叩仍盒?shù)學(xué)系偏微分方程課程的教材。

書(shū)籍目錄

第一章 基本概念和一階偏微分方程§1．1 記號(hào)和基本概念1．1．1 記號(hào)1．1．2 基本概念1．1．3 定解條件和定解問(wèn)題1．1．4 偏微分方程小史1．1．5 本課程的打算§1．2 一階偏微分方程的求解1．2．1 擬線性方程的Cauchy問(wèn)題1．2．2 一階完全非線性方程的Cauchy問(wèn)題§1．3 全積分和包面§1．4 冪級(jí)數(shù)和(auchyKovalevskaja定理1．4．1 實(shí)解析函數(shù)和優(yōu)函數(shù)1．4．2 常微分方程的實(shí)解析解1．4．3 Dauchy．Kcwalevskaja定理第二章 定解問(wèn)題的導(dǎo)出和二階線性偏微分方程的分類及化簡(jiǎn)§2．1 變分問(wèn)題和微分方程與變分原理和定解問(wèn)題2．1．1 泛函和變分問(wèn)題2．1．2 定解問(wèn)題§2．2 二階線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn)2．2．1 二階常系數(shù)線性偏微分方程的分類和化簡(jiǎn)2．2．2 變系數(shù)二階線性偏微分方程的分類和有關(guān)的坐標(biāo)變換2．2．3 兩個(gè)自變量的變系數(shù)二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)第三章 二階常系數(shù)線性偏微分方程的求解方法§3．1 疊加原理和齊次化原理3．1．1 定解問(wèn)題的分解3．1．2 齊次化(Duhamel)原理§3．2 Fourier級(jí)數(shù)和分離變量法§3．3 Fourier積分和積分變換3．3．1 F0urier積分定理3．3．2 Fourier變換及其性質(zhì)3．3．3 Laplace變換及其性質(zhì)第四章 波動(dòng)方程§4．1 波動(dòng)方程的建立4．1．1 弦振動(dòng)方程(一維波動(dòng)方程)的建立4．1．2 膜振動(dòng)方程(二維波動(dòng)方程)的建立4．1．3 彈性介質(zhì)中的振動(dòng)方程(三維波動(dòng)方程)的建立§4．2 弦振動(dòng)方程的cauchy問(wèn)題與半無(wú)界弦的初邊值問(wèn)題4．2．1 弦振動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題4．2．2 半無(wú)界弦的初邊值問(wèn)題(延拓法)§4．3 三維和二維波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題4．3．1 三維波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題(球平均法)4．3．2 二維波動(dòng)方程cauchy問(wèn)題的求解(降維法)4．3．3 依賴區(qū)域，決定區(qū)域和影響區(qū)域以及二維波動(dòng)和三維波動(dòng)的區(qū)別4．3．4 波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的惟一性和穩(wěn)定性，能量積分4．4 波動(dòng)方程在有界區(qū)域上的初邊值問(wèn)題4．4．1 弦振動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題4．4．2 有界區(qū)間上弦振動(dòng)方程解的物理意義4．4．3 高維波動(dòng)方程在有界區(qū)域上的初邊值問(wèn)題4．4．4 有界區(qū)域上波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的惟一性和穩(wěn)定性第五章 熱傳導(dǎo)方程§5．1 熱傳導(dǎo)方程的建立§5．2 有界區(qū)域上初邊值問(wèn)題的分離變量法55．3 熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問(wèn)題和半空間上的初邊值問(wèn)題5．3．1 熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問(wèn)題5．3．2 熱傳導(dǎo)方程在半空間上的初邊值問(wèn)題5．4 極值原理與惟一性和穩(wěn)定性5．4．1 極值原理5．4．2 有界區(qū)域上初邊值問(wèn)題的惟一性5．4．3 有界區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題的穩(wěn)定性(最大?；蜃畲笾倒烙?jì))5．4．4 Callchy問(wèn)題的惟一性和穩(wěn)定性5．4．5 熱傳導(dǎo)方程的能量積分第六章 位勢(shì)方程6．1 位勢(shì)方程的引入，定解問(wèn)題的提法和基本解§6．2 極值原理，位勢(shì)方程的惟一性和穩(wěn)定性§6．3 Green公式和Green函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)6．3．1 Green公式及其若干推論6．3．2 Green函數(shù)和球域上Dhichlet．問(wèn)題的求解公式6．3．3 調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)§6．4 Newton位勢(shì)和非齊次位勢(shì)方程的特解§6．5 Perron方法和有界區(qū)域上Dirichlet，問(wèn)題的可解性參考文獻(xiàn)

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