隨機(jī)數(shù)學(xué)

前言

　　提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于教師，但一套較好的教材也是重要的．隨著我國大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革的逐步深入，當(dāng)前不少高等學(xué)校在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革方面有了一些進(jìn)展，例如單純“面向?qū)I(yè)”的觀念有所淡化，代數(shù)課程的內(nèi)容和學(xué)時(shí)有所增加，開設(shè)了一些新的課程，如“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和“隨機(jī)數(shù)學(xué)”等；相應(yīng)地有一批新教材出版．本套教材也在試用了兩年多以后，進(jìn)行了部分修訂．這就是《大學(xué)數(shù)學(xué)》的第二版．　　在保持原有的指導(dǎo)思想和風(fēng)格的前提下，這一套教材由原來的五本：《一元微積分》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》改編、擴(kuò)充為七本，即：《微積分（一）》、《微積分（二）》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《流形上的微積分》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，其中《流形上的微積分》是新編人的．其它幾本修訂的大致情況如下：　　《微積分（一）》以原來的《一元微積分》中的第一篇，即“直觀基礎(chǔ)上的微積分”為其主要內(nèi)容，力求做到“返璞歸真”．除了進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了計(jì)算和應(yīng)用之外，還增加了一些對(duì)“極限”的樸素描述．　　《微積分（二）》是把原來《一元微積分》中的第二篇，即“理性微積分”的內(nèi)容作一些修改而成．其中為了使讀者能更好體會(huì)數(shù)學(xué)分析中的一些基本手法，對(duì)用階梯函數(shù)逼近的辦法來處理定積分（即函數(shù)集擴(kuò)張的思想）又作了一些改進(jìn)．　　《多元微積分及其應(yīng)用》是把原書加以適當(dāng)精簡而成．原書中“復(fù)變函數(shù)”部分重新改寫以求突出重點(diǎn)和更加精練；原書的“微分幾何”部分移到《代數(shù)與幾何》．　　以上三本教材的習(xí)題也都作了調(diào)整．　　《流形上的微積分》與前面三本微積分教材合在一起，就顯示了微積分從古典一直到現(xiàn)代的基本面貌，而且也是一個(gè)理解當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理的一個(gè)不可缺少的臺(tái)階．雖然目前它并不屬于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的范圍，但可供對(duì)此有興趣的學(xué)生選修．此外，對(duì)從事微積分教學(xué)而在這方面有所欠缺的教師來講，不妨順便補(bǔ)上這一課．　　《代數(shù)與幾何》內(nèi)容的變動(dòng)是適當(dāng)精簡了代數(shù)的內(nèi)容，增加了“行列式的幾何意義”；幾何部分則增加了“微分幾何”的基本內(nèi)容．　　《隨機(jī)數(shù)學(xué)》的一部分內(nèi)容作了進(jìn)一步精簡，同時(shí)增加了一些諸如線性回歸和隨機(jī)數(shù)學(xué)內(nèi)容，補(bǔ)充了一些有趣的例子．

內(nèi)容概要

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)》是高等教育出版社2000年版“大學(xué)數(shù)學(xué)”系列教材的第二版，相當(dāng)于第一版中《隨機(jī)數(shù)學(xué)》?！洞髮W(xué)數(shù)學(xué)》的整體結(jié)構(gòu)仍與第一版保持一致，在局部作了一些改動(dòng)和補(bǔ)充。《大學(xué)數(shù)學(xué)》從隨機(jī)數(shù)學(xué)的典型問題出發(fā)，集中討論了隨機(jī)數(shù)學(xué)的核心問題，以涵蓋隨機(jī)過程這一較深內(nèi)容，并突出介紹了一些常用的分析方法和處理技巧?！洞髮W(xué)數(shù)學(xué)》的理論體系較為完整、新穎，敘述方式力求通俗易懂，并特別強(qiáng)調(diào)了從實(shí)例出發(fā)來導(dǎo)出泊松分布、正態(tài)分布等，使讀者自然地將這些分布與隨機(jī)過程聯(lián)系起來。《大學(xué)數(shù)學(xué)》可作為高等院校理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)的教材，也可供有關(guān)人員及教師參考。

書籍目錄

第一章 概率與概率空間l.1 引言1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)數(shù)學(xué)1.1.2 概率論的簡單發(fā)展歷史1.2 隨機(jī)事件及其概率1.2.1 對(duì)稱情形的隨機(jī)事件的描述及等可能性分析1.2.2 事件的運(yùn)算1.2.3 加法公理1.3 概率空間及概率的計(jì)算1.3.1 概率空間1.3.2 概率的性質(zhì)及計(jì)算1.4 條件概率與Bayes公式1.4.1 條件概率1.4.2 乘法公式1.4.3 全概率公式1.4.4 Bayes公式（逆概率公式）1.5 事件的獨(dú)立性和相關(guān)性1.5.1 兩事件的獨(dú)立性與相關(guān)性1.5.2 多個(gè)事件的獨(dú)立性1.5.3 系統(tǒng)的可靠性第一章評(píng)注習(xí)題l第二章 離散隨機(jī)變量與隨機(jī)徘徊2.1 隨機(jī)變量及其分布2.1.1 隨機(jī)變量的概念2.1.2 隨機(jī)變量的分布2.1.3 Bernoulli概型與二項(xiàng)分布2.1.4 多維隨機(jī)變量的概率分布2.2 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.2.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）概念的抽象2.2.2 隨機(jī)變量的函數(shù)及其數(shù)學(xué)期望2.2.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2.2.4 數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義2.2.5 方差2.3 離散型隨機(jī)變量的條件分布，獨(dú)立性與相關(guān)性的描述2.3.1 離散型隨機(jī)變量的條件分布2.3.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性2.3.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)2.3.4 分布的熵2.4 條件數(shù)學(xué)期望2.4.1 條件數(shù)學(xué)期望的概念2.4.2 條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2.4.3 作為隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望2.5 隨機(jī)徘徊——一個(gè)簡單的隨機(jī)過程2.5.1 從Bernoulli試驗(yàn)到隨機(jī)徘徊2.5.2 簡單隨機(jī)徘徊取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的刻畫2.5.3 隨機(jī)過程的定義2.5.4 獨(dú)立增量過程及隨機(jī)徘徊的獨(dú)立增量性第二章評(píng)注習(xí)題2第三章 Poisson分布與Poisson過程3.1 Poisson分布3.1.1 保險(xiǎn)理賠次數(shù)與Poisson分布3.1.2 Poisson分布的性質(zhì)3.2 Poisson過程及其應(yīng)用3.2.1 Poisson過程3.2.2 Poisson過程的應(yīng)用舉例第三章評(píng)注習(xí)題3第四章 連續(xù)型隨機(jī)變量4.1 概率密度函數(shù)4.2 數(shù)學(xué)期望4.3 ]L.類重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布4.4 二維連續(xù)型隨機(jī)向量，連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性與相關(guān)性4.5 條件分布與條件數(shù)學(xué)期望4.6 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布4.7 隨機(jī)數(shù)生成介紹4.7.1 隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)4.7.2 逆變換法4.7.3 VonNeumann取舍原則（RejectionPrinciple）第四章評(píng)注習(xí)題4第五章 Brown運(yùn)動(dòng)與特征函數(shù)5.1 特征函數(shù)及其性質(zhì)5.2 多維Gauss分布、多維正態(tài)分布及其特征函數(shù)5.3 Brown運(yùn)動(dòng)以及它的分布5.4 Brown運(yùn)動(dòng)的簡單特性第五章 評(píng)注習(xí)題5第六章 從極限定理到Donsker不變原理6.1 大數(shù)定律與依概率收斂6.2 中心極限定理6.3 DonSker不變原理第六章評(píng)注習(xí)題6第七章 Markov鏈7.1 Markov鏈的概念、刻畫與例子7.1.1 Markov鏈及其轉(zhuǎn)移概率矩陣7.1.2 Markov鏈的簡單例子7.1.3 n步轉(zhuǎn)移概率與Chapman-Kolmogorov方程7.2 Markov鏈的狀態(tài)分類7.3 Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率的極限與不變分布第七章評(píng)注習(xí)題7附表1 幾種常見的概率分布附表2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表附表3 Poisson分布表部分習(xí)題答案名詞索引

章節(jié)摘錄

　　基于對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象與可能性的認(rèn)識(shí)作決策，正是人類智能的表現(xiàn)。明智的人們并不是簡單地由某個(gè)事情會(huì)發(fā)生，就作決策；而是根據(jù)事情發(fā)生的可能性的大小，權(quán)衡利弊再來作決策的。例如，在交通繁忙的現(xiàn)代都市，我們上街去，就有發(fā)生車禍的可能，但是我們并不因此而停止上街，而是想出種種方法，定出種種規(guī)則，來使車禍發(fā)生的可能性減小到一定程度。　　其實(shí)，這里蘊(yùn)含了一種不同于讀者在以往確定性數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用的思想方法和世界觀。在隨機(jī)現(xiàn)象的研究中，我們不是期望能將復(fù)雜的隨機(jī)現(xiàn)象簡單地化為確定性的，而是承認(rèn)在所研究的系統(tǒng)中確有一些我們不能掌握或根本不知道的因素，即確認(rèn)系統(tǒng)中會(huì)有隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生。面對(duì)這樣的現(xiàn)實(shí)，從隨機(jī)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，我們的態(tài)度是：并不無視隨機(jī)性的存在，而簡單地就己經(jīng)掌握的片面情況，亂作決定；也不盲目地逃避不確定性，而躊躇不前，以至認(rèn)為無法定出什么好決策；而是，找出實(shí)際情況中隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，并基于對(duì)它們的認(rèn)識(shí)，做盡可能好的決策。然而，有時(shí)候也會(huì)面對(duì)各種可能結(jié)果，并不存在一個(gè)萬全的決策，這時(shí)我們往往只能給出這樣的決策：以可以忍受的小概率失敗的風(fēng)險(xiǎn)來換取能以大概率得到成功的效果?！　「怕收撌请S機(jī)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的任務(wù)是給出隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)語言來描述它們，進(jìn)而研究其基本規(guī)律，以便幫助人們透過表面的偶然性，找出其內(nèi)在規(guī)律，并以數(shù)學(xué)的形式來描述這些規(guī)律，建立起隨機(jī)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)其他分支的橋梁，使得我們可以使用許多己經(jīng)成熟的數(shù)學(xué)方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象。事實(shí)上，隨著概率論的發(fā)展，它也不斷地對(duì)其他數(shù)學(xué)分支提出了許多新的問題，并為它們提供了解決問題的新思路與直觀的啟迪?！　‰S機(jī)數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要分支是數(shù)理統(tǒng)計(jì)，它側(cè)重從觀測數(shù)據(jù)出發(fā)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，因而，數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是以概率論為基礎(chǔ)的，在實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是處理隨機(jī)現(xiàn)象的最重要的工具。但是，由于篇幅所限，本書只將其作為概率論的應(yīng)用實(shí)例來處理。

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