大學(xué)數(shù)學(xué)

前言

提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于教師，但一套較好的教材也是重要的,隨著我國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革的逐步深入，當(dāng)前不少高等學(xué)校在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革方面有了一些進(jìn)展，例如單純“面向?qū)I(yè)”的觀念有所淡化，代數(shù)課程的內(nèi)容和學(xué)時(shí)有所增加，開(kāi)設(shè)了一些新的課程，如“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和“隨機(jī)數(shù)學(xué)”等；相應(yīng)地有一批新教材出版．本套教材也在試用了兩年多以后，進(jìn)行了部分修訂．這就是《大學(xué)數(shù)學(xué)》的第二版．在保持原有的指導(dǎo)思想和風(fēng)格的前提下，這一套教材由原來(lái)的五本：《一元微積分》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》改編、擴(kuò)充為七本，即：《微積分(一)》、《微積分(二)》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《流形上的微積分》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，其中《流形上的微積分》是新編入的．其它幾本修訂的大致情況如下：《微積分(一)》以原來(lái)的《一元微積分》中的第一篇，即“直觀基礎(chǔ)上的微積分”為其主要內(nèi)容，力求做到“返璞歸真”，除了進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了計(jì)算和應(yīng)用之外，還增加了一些對(duì)“極限”的樸素描述。《微積分(二)》是把原來(lái)《一元微積分》中的第二篇，即“理性微積分”的內(nèi)容作一些修改而成．其中為了使讀者能更好體會(huì)數(shù)學(xué)分析中的一些基本手法，對(duì)用階梯函數(shù)逼近的辦法來(lái)處理定積分(即函數(shù)集擴(kuò)張的思想)又作了一些改進(jìn)?！抖嘣⒎e分及其應(yīng)用》是把原書(shū)加以適當(dāng)精簡(jiǎn)而成．原書(shū)中“復(fù)變函數(shù)”部分重新改寫(xiě)以求突出重點(diǎn)和更加精練；原書(shū)的“微分幾何”部分移到《代數(shù)與幾何》。以上三本教材的習(xí)題也都作了調(diào)整?！读餍紊系奈⒎e分》與前面三本微積分教材合在一起，就顯示了微積分從古典一直到現(xiàn)代的基本面貌，而且也是一個(gè)理解當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理的一個(gè)不可缺少的臺(tái)階．雖然目前它并不屬于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的范圍，但可供對(duì)此有興趣的學(xué)生選修．此外，對(duì)從事微積分教學(xué)而在這方面有所欠缺的教師來(lái)講，不妨順便補(bǔ)上這一課?！洞鷶?shù)與幾何》內(nèi)容的變動(dòng)是適當(dāng)精簡(jiǎn)了代數(shù)的內(nèi)容，增加了“行列式的幾何意義”；幾何部分則增加了“微分幾何”的基本內(nèi)容。

內(nèi)容概要

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)》是普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學(xué)數(shù)學(xué)”系列教材的第二版。 《大學(xué)數(shù)學(xué)》主要講授定義在拓?fù)淇臻g和微分流形上的連續(xù)函數(shù)、光滑函數(shù)和光滑影射，并介紹處理它們之間的關(guān)系的原理和方法。全書(shū)由4章組成：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，光滑結(jié)構(gòu)，外微分式及其積分，黎曼流形上的微分算子等。 《大學(xué)數(shù)學(xué)》可作為高等學(xué)校理工科各專業(yè)的教材，也可供其他專業(yè)人員參考。

書(shū)籍目錄

第一章　拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)1．1　n維歐氏空間1．1．1n維歐氏向量空間1．1．2n維歐氏空間上的距離函數(shù)1．1．3n維歐氏空間中的球狀鄰域1．1．4n維歐氏空間中點(diǎn)列的極限1．1．5n維歐氏空間上的連續(xù)函數(shù)1．1．6從n維歐氏空間到m維歐氏空間的連續(xù)映射1．2　拓?fù)淇臻g1．2．1拓?fù)?．2．2拓?fù)浠?．2．3由拓?fù)渲苯优缮幕靖拍?．2．4拓?fù)渥涌臻g1．2．5連續(xù)映射1．3　常見(jiàn)的拓?fù)淇臻g1．3．1度量空間1．3．2乘積空間1．3．3商空間1．4　重要的拓?fù)湫再|(zhì)1．4．1分離性公理1．4．2緊致性1．4．3局部緊致性1．4．4連通性和道路連通性1．4．5局部連通性和局部道路連通性1．5　習(xí)題一第二章　光滑結(jié)構(gòu)2．1　微分流形2．1．1拓?fù)淞餍?．1．2局部坐標(biāo)的變換2．1．3光滑微分結(jié)構(gòu)2．1．4光滑流形的例子2．2　光滑函數(shù)2．2．1光滑函數(shù)的定義2．2．2截?cái)嗪瘮?shù)2．2．3單位分解定理2．2．4光滑映射2．3　切空間2．3．1切向量2．3．2切空間2．3．3自然基底2．3．4切向量的分量2．3．5光滑映射的切映射2．3．6切映射的坐標(biāo)表示2．4　子流形2．4．1浸入子流形2．4．2R中的正則曲線和正則曲面2．4．3光滑函數(shù)的水平面2．5　光滑切向量場(chǎng)2．5．1光滑切向量場(chǎng)2．5．2作為微分算子的光滑切向量場(chǎng)2．5．3Poisson括號(hào)積2．5．4在光滑映射下相關(guān)的光滑切向量場(chǎng)2．6　習(xí)題二第三章　外微分式及其積分3．1　外形式3．1．1對(duì)偶向量空間3．1．2對(duì)偶基底3．1．3線性函數(shù)的分量的坐標(biāo)變換公式3．1．4多重線性函數(shù)3．1．5r次外形式3．1．6反對(duì)稱化算子3，1．7外形式的外積3．1．8外形式的坐標(biāo)表達(dá)式3．1．9外多項(xiàng)式3．1．10向量空間的線性映射在外形式空間上的誘導(dǎo)映射3．2　外微分式3．2．1余切向量和余切空間3．2．2r次外微分式3．2．3外微分3．2．4外微分的運(yùn)算規(guī)則3．2．5外微分的求值公式3．2．6拉回映射3．3　可定向光滑流形和帶邊區(qū)域3．3．1向量空間的定向3．3．2可定向光滑流形3．3．3可定向性的判別準(zhǔn)則3．3．4帶邊區(qū)域3．3．5有向光滑流形在帶邊區(qū)域的邊界上的誘導(dǎo)定向3．4　外微分式的積分3．4．1外微分式的支撐集包含在坐標(biāo)域內(nèi)的情形3．4．2一般情形3．4．3積分的性質(zhì)3．4．4在浸入子流形上的積分3．5　Stoke-s定理3．5．1Stokes定理的敘述3．5．2Stokes定理的證明3．5．2．1情形UnaD=Φ的證明3．5．2．2情形unaD≠Φ的證明3．6　習(xí)題三第四章　黎曼流形上的微分算子4．1　黎曼流形4．1．1歐氏向量空間4．1．2黎曼流形的定義4．1．3黎曼流形的例子4．1．4R中的正則曲面4．2　梯度算子4．2．1歐氏向量空間與其對(duì)偶空間的自然同構(gòu)4．2．2歐氏向量空間V和V的自然同構(gòu)在任意的基底下的表示4．2．3黎曼流形上的梯度算子4．3　光滑切向量場(chǎng)的協(xié)變微分4．3．1R上的光滑切向量場(chǎng)的微分4．3．2黎曼流形上的光滑切向量場(chǎng)的協(xié)變微分4．3．3光滑切向量場(chǎng)的分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)及其坐標(biāo)變換公式4．4　散度算子和Laplace算子4．4．1光滑切向量場(chǎng)的散度4．4．2散度的局部坐標(biāo)表達(dá)式4．4．3Laplace算子4．4．4單位球面上的Laplace算子4．5　黎曼流形上的外微分學(xué)4．5．1n維歐氏向量空間中的Hodge星算子4．5．2Hodge星算子在非單位正交基底下的表達(dá)式4．5．3Hodge星算子在外微分式上的作用4．5．4R中的場(chǎng)論公式4．5．5有向黎曼流形上的Hodge星算子和余微分算子4．6習(xí)題四參考文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

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