計算方法簡明教程

前言

　　縱觀上下數(shù)千年的科學史，科學的發(fā)展大致經(jīng)歷了古代科學、近代科學和現(xiàn)代科學三個歷史階段?！　≡谶b遠的古代，雖然人們在長期的社會實踐中積累了不少知識，但這些知識是零碎的、不系統(tǒng)的和沒有經(jīng)過嚴格論證的。古人所獲取的知識大都表現(xiàn)為經(jīng)驗性的總結(jié)或猜測性的思辨，其研究方法實際上是不科學的。在這個意義上，古代科學只是科學的萌芽，還不是真正的科學?！　〗茖W蓬勃興起于17世紀，其奠基工作從Gallieo（1564－1642）開始，而由Newton（1642-1727）所完成。近代科學方法強調(diào)實驗和理論的緊密結(jié)合，即以實驗的事實（數(shù)據(jù)和資料）為依據(jù)，通過嚴密的論證（數(shù)學推理）形成系統(tǒng)的理論。這種科學方法促進了科學的繁榮與發(fā)展?！　‰娮佑嬎銠C的問世開創(chuàng)了現(xiàn)代科學的新時代。隨著計算機的廣泛應(yīng)用，科學計算正逐步上升為一種新的科學方法，與科學實驗、科學理論并列，構(gòu)成現(xiàn)代科學方法的三大組成部分?！　≡诮裉?，為適應(yīng)新的技術(shù)革命的需要，實際課題的規(guī)模空前擴大，所謂大型乃至超大型科學計算日益為人們所重視。與此相適應(yīng)，巨型計算機在科學計算中正扮演著越來越重要的角色。計算機的更新?lián)Q代強有力地推動著算法研究的深入。科學計算正處于蓬勃發(fā)展的新時代?！　∮嬎銛?shù)學是科學計算的一門主體學科。它伴隨著電子計算機的推廣應(yīng)用而成長壯大，是一門僅有幾十年歷史的新興學科。在科學計算蓬勃發(fā)展的今天，迫切要求充實完善計算數(shù)學的學科體系?！　》_科學發(fā)展史，可以看到，一門學科的形成可以有不同的方式、方法和途徑。誠如吳文俊先生所指出的②：“古希臘時代，對待幾何學就有兩種不同的方法：一種可以歐幾里得的《幾何原本》為代表，把數(shù)量關(guān)系完全排除在外，而單純追求各種幾何事實的邏輯關(guān)系，以此建立幾何公理體系。

內(nèi)容概要

　　《計算方法簡明教程》力圖改革計算方法課程的教學體系。新的體系立足于數(shù)學思維而面向科學計算的實際需要，內(nèi)容處理上突出數(shù)值算法的基本設(shè)計技術(shù)?！队嬎惴椒ê喢鹘坛獭贩稚?、下兩篇：上篇“計算方法講義”運用算法設(shè)計技術(shù)設(shè)計了科學計算中的一些常用算法，下篇“高效算法講座”著重推薦高效算法設(shè)計的二分技術(shù)。計算機科學在某種意義上就是算法學。數(shù)學思維的化歸策略貫穿于數(shù)值算法設(shè)計的全過程。數(shù)值算法設(shè)計的基本技術(shù)包括化大為小的縮減技術(shù)，化難為易的校正技術(shù)以及化粗為精的松弛技術(shù)等?！队嬎惴椒ê喢鹘坛獭飞掀谶@些技術(shù)設(shè)計并剖析了一些常用的數(shù)值算法，其內(nèi)容涵蓋插值方法、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的數(shù)值解法、方程求根以及線性方程的解法等有關(guān)知識。計算方法是一門開拓性很強的學科。隨著計算機體系結(jié)構(gòu)的更新，計算機上的數(shù)值算法也正從串行算法向并行算法轉(zhuǎn)變?！队嬎惴椒ê喢鹘坛獭废缕獋?cè)重于介紹實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的二分技術(shù)，其內(nèi)容包括遞推計算的并行化以及快速變換等。這些資料供讀者自學時參考。《計算方法簡明教程》追求簡明實用。書中所闡述的算法設(shè)計原理容易理解，而所推薦的算法設(shè)計技術(shù)也不難掌握。作為計算機科學重要基礎(chǔ)的數(shù)值算法設(shè)計學，其設(shè)計思想的簡樸、設(shè)計方法的協(xié)調(diào)、設(shè)計技術(shù)的實用，體現(xiàn)了這門學科內(nèi)在的科學美?！队嬎惴椒ê喢鹘坛獭匪嫦虻淖x者沒有刻意追求。上篇內(nèi)容大學的理科、工科、文科各個專業(yè)均能采用，下篇則主要面向碩士、博士研究生?！队嬎惴椒ê喢鹘坛獭芬嗫晒氖驴茖W計算的工程技術(shù)人員以及其他科技人員閱讀參考。

作者簡介

　　王能超，教授，是我國并行算法設(shè)計的先驅(qū)者之一，他在這方面有許多獨特的重要貢獻，其中最主要的是他巧妙地運用二分技術(shù)于并行算法設(shè)計，把相當多的一類串行算法需N次運算的問題，只要提供足夠數(shù)量的處理機進行并行計算，即可把運算次數(shù)從N降到log2N。串行算法中的快速算法如FFT把運算次數(shù)從N2階降到Nlog2N階而著稱于世。而并行算法利用二分技術(shù)則能對許多類型的大量計算問題的運算次數(shù)下降到相應(yīng)程度?！　⊥跄艹淌谠诓⑿兴惴ㄔO(shè)計中所以能取得巨大進展。主要由于他對算法設(shè)計的基本原理有深刻的研究，這反映在他的專著

書籍目錄

引論1 算法重在設(shè)計1.1 科學計算離不開算法設(shè)計1.2 算法設(shè)計要有“智類之明1.3 數(shù)學思維的化歸策略2 化大為小的縮減技術(shù)2.1 Zeno悖論的啟示2.2 數(shù)列求和的累加算法2.3 縮減技術(shù)的設(shè)計思想2.4 多項式求值的秦九韶算法2.5 秦九韶算法的計算流程3 化難為易的校正技術(shù)3.1 Zeno悖論中的“Zeno鐘3.2 求開方值的迭代公式3.3 校正技術(shù)的設(shè)計思想4 化粗為精的松弛技術(shù)4.1 Zeno算法的升華4.2 千古絕技“割圓術(shù)4.3 求倒數(shù)值的迭代算法4.4 松弛技術(shù)的設(shè)計思想5 會通古今的中華數(shù)學5.1 中華民族是個擅長計算的民族5.2 《周易》論“簡易習題0第一章 插值方法1.1 插值問題的提法1.1.1 什么是插值1.1.2 插值平均的概念1.1.3 代數(shù)精度的概念1.1.4 Lagrange插值的提法1.2 Lagrange插值公式1.2.1 插值基函數(shù)的概念1.2.2 兩點插值1.2.3 三點插值1.2.4 多點插值1.2.5 Lagrange插值公式的計算流程1.3 Nevile逐步插值算法1.3.1 兩點插值的松弛公式1.3.2 插值公式的逐步構(gòu)造1.3.3 逐步插值的計算流程1.4 Newton插值多項式1.4.1 插值逼近的概念1.4.2 插值多項式的逐步生成1.4.3 差商及其性質(zhì)1.4.4 差商形式的插值公式1.4.5 差分形式的插值公式1.5 Hermite插值1.5.1 Taylor插值1.5.2 構(gòu)造插值多項式的待定系數(shù)法1.5.3 構(gòu)造插值多項式的余項校正法1.5.4 構(gòu)造插值多項式的基函數(shù)方法1.6 分段插值1.6.1 高次插值的Runge現(xiàn)象1.6.2 分段插值的概念1.6.3 分段三次Hermite插值1.7 樣條插值1.7.1 樣條函數(shù)的概念1.7.2 三次樣條插值小結(jié)習題第二章 數(shù)值積分2.1 機械求積2.1.1 求積方法的歷史變遷2.1.2 機械求積的概念2.1.3 求積公式的精度2.1.4.點注記2.2 Newton－Cotes公式2.2.1 Newton－Cotes公式的設(shè)計方法2.2.2 Newton－Cotes公式的精度分析2.3 Gallss公式2.3.1 Grauss公式的設(shè)計方法2.3.2 帶權(quán)的Grauss公式舉例2.4 復化求積法2.4.1 復化求積公式2.4.2 變步長的梯形法2.5 Romberg算法叫2.5.1 梯形法的加速2.5.2 Simpson法再加速2.5.3 Cotes法的進.步加速2.5.4 Romberg算法的計算流程2.6 數(shù)值微分2.6.1 數(shù)值求導的差商公式2.6.2 數(shù)值求導公式的設(shè)計方法小結(jié)習題二第三章 常微分方程的差分法3.1 Euler方法3.1.1 Euler格式3.1.2 隱式Euler格式3.1.3 Euler兩步格式3.1.4 梯形格式3.1.5 改進的Euler格式3.1.6 Euler方法的分類3.1.7 Euler方法的精度分析3.2 Runl8bKutta方法3.2.1 Runge－Kutta方法的設(shè)計思想3.2.2 中點格式3.2.3 二階Rungc－Kutta方法3.2.4 Kutta格式3.2.5 四階經(jīng)典Runge－Kutta格式3.3 Adams方法3.3.1 二階Adams格式3.3.2 誤差的事后估計3.3.3 實用的四階Adams預報校正系統(tǒng)3.4 幾種重要的線性多步格式3.4.1 smpson格式3.4.2 Milne格式3.4.3 Hamming格式3.4.4 實用的Milne－Hamming預報校正系統(tǒng)3.5 收斂性與穩(wěn)定性3.5.1 收斂性問題3.5.2 穩(wěn)定性問題3.6 方程組與高階方程的情形3.6.1 階方程組3.6.2 化高階方程為.階方程組3.7 邊值問題小結(jié)習題三第四章 方程求根的迭代法4.1 開方法4.1.1 開方公式的建立4.1.2 開方法的直觀解釋4.1.3 開方法的收斂性4.2 Newton法4.2.1 Newton公式的導出4.2.2 Newton法的幾何解釋4.2.3 Newton法的計算流程4.2.4 Newton法應(yīng)用舉例4.3 壓縮映象原理4.3.1 線性迭代函數(shù)的啟示4.3.2 大范圍的收斂性4.3.3 局部收斂性4.3.4 迭代過程的收斂速度4.4 NeWton法的改進與變形4.4.1 Newton下山法4.4.2 弦截法4.4.3 快速弦截法4.5 Aitken加速算法小結(jié)習題四第五章 線性方程組的迭代法5.1 引言5.2 迭代公式的建立5.2.1 JaCobi迭代5.2.2 Gauss－Scidel迭代5.3 迭代法的設(shè)計技術(shù)5.3.1 迭代矩陣的概念5.3.2 矩陣分裂技術(shù)5.3.3 預報校正技術(shù)5.4 迭代過程的收斂性5.4.1 對角占優(yōu)陣的概念5.4.2 迭代收斂的一個充分條件5.5 超松弛迭代小結(jié)習題五第六章 線性方程組的直接法6.1 追趕法6.1.1 二對角方程組的回代過程6.1.2 追趕法的設(shè)計思想6.1.3 追趕法的計算公式6.1.4 追趕法的計算流程6.1.5 追趕法的可行性6.2 三對角陣的二對角分解6.2.1 追趕法的矩陣分解手續(xù)6.2.2 三對角陣的LDU分解6.3 對稱陣的三角分解6.3.1 對稱陣的Chotesky分解6.3.2 對稱陣的壓縮存儲技巧6.4 矩陣分解方法6.4.1.般矩陣的三角分解6.4.2 Crout分解的計算公式6.4.3 Doolittle分解的計算公式6.5 消去法6.5.1 Gauss消去法的設(shè)計思想6.5.2 Gauss消去法的計算步驟6.5.3 選主元素6.6 中國古代數(shù)學的“方程術(shù)”小結(jié)習題六上篇部分習題參考答案導論第七章 疊加計算第八章 一階線性遞推第九章 三角方程組第十章 三對角方程組第十一章 快速Fourier變換第十二章 快速Walsh變換

章節(jié)摘錄

　　在知識“大爆炸”的今天，算法的數(shù)量也正以大爆炸的速度與日俱增，所涉及的文獻著作數(shù)以千萬計，形成浩繁的卷帙。面對這知識的汪洋大海，如何才能進行有效的學習呢？許多有志于從事科學計算的青年科學工作者正為這門學科的知識龐雜所困擾。出路在哪里？我國最古老的一部數(shù)學經(jīng)典《周髀算經(jīng)》中，采取陳子與榮方兩人對話的方式，推薦了三千多年前一位上古先賢陳子的治學方法?！　s方問陳子：“算法那么多，怎樣才能學好呢？”　　陳子說：“算法之術(shù)，是用智矣！”陳子特別強調(diào)算法設(shè)計要用智慧。　　陳子又說：“夫道術(shù)，言約而用博者，智類之明。問一類而以萬事達者，謂之知道?！薄　￡愖痈嬲]人們，算法設(shè)計的基本技術(shù)，講起來很簡單，應(yīng)用卻很廣泛。要學好算法，關(guān)鍵在于將各色各樣的具體算法進行歸納分類，并能觸類旁通。他特別強調(diào)，只要掌握了算法設(shè)計的基本技術(shù)，就能設(shè)計出許許多多具體算法，做到問一知萬，“問一類而以萬事達”。這就是陳子所倡導的“智類之明”。這是一付解讀各種算法的良丹妙藥。　　魏晉大數(shù)學家劉徽（公元3世紀）提出的“割圓術(shù)”、“重差術(shù)”等算法設(shè)計技術(shù)，至今仍放射著智慧的光輝，對當今高效算法設(shè)計有著深刻的啟迪。關(guān)于算法設(shè)計的機理，劉徽在《九章算術(shù)注》“自序”中說：　　“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發(fā)其一端而已?！薄　　坝|類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入?！薄　⒒照J為，算法設(shè)計學就像一株枝繁葉茂的參天大樹，雖然它的枝枝葉葉零亂紛雜，但它們都是從同一主干發(fā)出的。算法設(shè)計有著共通的基本規(guī)律可循；而掌握了基本規(guī)律，就能舉一反三，觸類旁通。這樣不管問題多么隱晦曲折，總能迎刃而解。

編輯推薦

　　王能超教授的這本書。是一本富于哲學思想和科學方法論精神的著作。書中對各種各樣的數(shù)值算法提出了幾種富于概括性的設(shè)計思想和方法原則。這些思想和原則對從事研究和運用計算方法的科技工作者無疑會有深刻的啟迪和指導作用。例如.書中所講述的“縮減技術(shù)”、“校正技術(shù)”、“松弛技術(shù)“和快速算法及并行算法設(shè)計等，都是極為重要的方法原則。任何人如能精通并靈活運用這些方法原則，則不僅能圓滿地解決實際計算問題。

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