常微分方程定性方法的應(yīng)用

前言

　　本書(shū)內(nèi)容側(cè)重于常微分方程定性方法在理論研究方面的應(yīng)用，它與作者在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系多年從事的常微分方程教學(xué)和研究工作有密切的聯(lián)系，可作為同行教師和研究生的教學(xué)參考書(shū)．　　第一章從常微分方程的一些古典的定理開(kāi)始，其實(shí)它們也是現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)．作者在教學(xué)工作中有機(jī)會(huì)反復(fù)思考這些內(nèi)容，像嚼橄欖一樣品嘗到其中滋味．簡(jiǎn)單的概念可以是理論發(fā)展的軸心．例如，常微分方程的初值問(wèn)題從分析解的局部性質(zhì)到全局性質(zhì)，從研究運(yùn)動(dòng)的確定過(guò)程到隨機(jī)過(guò)程，貫串于常微分方程理論發(fā)展的整個(gè)歷史．所謂確定過(guò)程是指初值問(wèn)題解的存在和唯一性，它在有限時(shí)間內(nèi)蘊(yùn)含解對(duì)初值的穩(wěn)定性．這意味著常微分方程初值問(wèn)題的解在有限時(shí)間內(nèi)是可以預(yù)報(bào)的．另外，解的存在和唯一性也蘊(yùn)含一般差分計(jì)算的收斂性，這為差分方法在常微分方程的應(yīng)用提供了最簡(jiǎn)單的條件．而所謂隨機(jī)過(guò)程說(shuō)的是：Poincar6發(fā)現(xiàn)某些微分方程初值問(wèn)題的解在無(wú)限時(shí)間內(nèi)是不可預(yù)報(bào)的，其原因在于這種解在無(wú)限時(shí)間內(nèi)對(duì)初值是敏感的(從而是不穩(wěn)定的)．這也是現(xiàn)代混沌學(xué)的核心．　　第二章介紹了有關(guān)向量場(chǎng)和不動(dòng)點(diǎn)定理的基本知識(shí)，其中Poincar6Bohl不動(dòng)點(diǎn)定理和Poincare-Birkhoff扭轉(zhuǎn)定理是重點(diǎn)內(nèi)容，因?yàn)樗鼈冊(cè)诒緯?shū)有多次的應(yīng)用．其次，我們按Poincar6指數(shù)的定義就閉曲線(xiàn)上的向量場(chǎng)證明了。Poincar6-Bendixson的指數(shù)公式，而且在閉曲面上對(duì)Poincar6-Hopf的指數(shù)公式給出一個(gè)非傳統(tǒng)的證明．另外，我們還介紹了Littlewood關(guān)于Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣?！　〉谌碌闹饕獌?nèi)容是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)，其核心思想是運(yùn)動(dòng)的各種回復(fù)性，它們是周期性不同的推廣．首先是在Poisson意義下的所謂P-式回復(fù)運(yùn)動(dòng)以及相關(guān)的準(zhǔn)極小集；其次是由Birkhoff發(fā)現(xiàn)的所謂B-式回復(fù)運(yùn)動(dòng)及其與極小集的聯(lián)系，包括對(duì)Poincar6-Bendixson定理的推廣；最后是概周期運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)經(jīng)典的定理是：B-式回復(fù)運(yùn)動(dòng)是概周期的當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)軌線(xiàn)的閉包是Liapunov穩(wěn)定的．　　然后，作為古典動(dòng)力系統(tǒng)的發(fā)展，我們按wiggins的定義介紹了混沌運(yùn)動(dòng)的基本知識(shí)，它的特征是對(duì)初值的敏感性．因此，混沌運(yùn)動(dòng)不是概周期的運(yùn)動(dòng)．值得注意，混沌運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)極小集內(nèi)的P一式回復(fù)運(yùn)動(dòng)，但重要的問(wèn)題是逆命題何時(shí)成立?

內(nèi)容概要

　　《常微分方程定性方法的應(yīng)用》內(nèi)容側(cè)重于常微分方程定性方法在理論研究中的應(yīng)用，它與作者在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系多年從事的常微分方程教學(xué)和研究工作有密切的聯(lián)系，適合于同行教師和研究生們的教學(xué)用書(shū)。全書(shū)共有六章，分別為：常微分方程基礎(chǔ)知識(shí)，Poincare指數(shù)及其應(yīng)用，拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)與混沌，對(duì)幾個(gè)公開(kāi)問(wèn)題的探討，Duffing微分方程的非共振性和對(duì)幾個(gè)特殊微分方程的分析。

書(shū)籍目錄

第一章 常微分方程基礎(chǔ)知識(shí)1．初值問(wèn)題2．peano現(xiàn)象3．liapunov穩(wěn)定性4．peano存在定理的補(bǔ)充5．初值問(wèn)題的差分計(jì)算參考文獻(xiàn)i第二章 poincare指數(shù)及其應(yīng)用1．向量場(chǎng)的poincare指數(shù)2．閉曲面上poincare-hopf的奇點(diǎn)指數(shù)公式3．poincare指數(shù)的應(yīng)用4．poincare-birkhoff扭轉(zhuǎn)定理5．poincare映射的不動(dòng)點(diǎn)參考文獻(xiàn)ii第三章 拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)與混沌1．常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)2．p-式回復(fù)運(yùn)動(dòng)3．b-式回復(fù)運(yùn)動(dòng)4．概周期運(yùn)動(dòng)5．特殊情形的極小集.6．massera定理的推廣7．動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性參考文獻(xiàn)iii第四章 對(duì)幾個(gè)公開(kāi)問(wèn)題的探討1．reeb問(wèn)題2．birkhoff猜測(cè)3．morse猜測(cè)4．二維流形上的morse猜測(cè)和各態(tài)歷經(jīng)定理5．bernfeld-haddock猜測(cè)6．kolmogorov問(wèn)題7．閉曲面上的強(qiáng)混合流參考文獻(xiàn)iv第五章 duffing方程的非共振性1．during方程的周期振動(dòng)2．時(shí)間映射3．超二次位勢(shì)的during方程4．次二次位勢(shì)的during方程5．半線(xiàn)性during方程——隔離共振點(diǎn)6．半線(xiàn)性during方程——接觸共振點(diǎn)7．半線(xiàn)性during方程——橫跨共振點(diǎn)8．時(shí)間映射的極限變差參考文獻(xiàn)v第六章 對(duì)幾個(gè)特殊微分方程的分析1．brillouin電子束的周期聚焦2．lotka-volterra周期生態(tài)系統(tǒng)3．小振幅與大振幅的高頻振動(dòng)4．高階duffing方程5．弱耦合系統(tǒng)6．小阻尼的半線(xiàn)性duffing方程7．在粗周期攝動(dòng)下的保守振子參考文獻(xiàn)vi索引

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