點集拓撲講義

前言

　　本書這次重版主要作了以下方面修訂：　　第一，我們歷來就覺得在大學的拓撲學課程中，應當給學生們介紹一點代數(shù)拓撲知識。目前大多數(shù)院校都不開專門的代數(shù)拓撲課程，為了做到這一點，只有在點集拓撲課程中添加有關章節(jié)了。這次，我們將基本群及其應用作為獨立的一章，添加到這本講義之中。在這一章中我們引入了空間的基本群，計算了一些簡單空間的基本群，并且還給出了兩個重要的應用：2維Brouwer不動點定理和Jordan分割定理的證明，通過最短的篇幅向讀者顯示代數(shù)拓撲方法理論的精妙和應用的廣泛，以期吸引讀者進一步研究學習拓撲學的興趣?！　〉诙?，樸素集合論中等價于選擇公理的一些命題，如Tukey引理、Zemelo假定、Zorn引理、良序原則等等為高等數(shù)學的許多課程所需要，然而沒有一個課程對此作系統(tǒng)的介紹。集合論和點集拓撲的關系相對說來比較密切，因此我們這次重版在書中重新組織了一章“樸素集合論（續(xù)）”。這一章與原來的一章“樸素集合論”共同構成了介紹樸素集合論的一個比較完整的材料?！　〉谌?，對于原來的內(nèi)容作了一次全面的校訂，同時也改寫了部分內(nèi)容?！　τ诮M織教學，我們作如下的建議：　　第一，本講義的第一卷是點集拓撲這一學科最為基礎的知識。就我國大部分高校的實際情況而言，一學期的課程（周學時4）教完這些內(nèi)容，應當是最基本的要求，也是完全可能的。

內(nèi)容概要

　　本書講述點集拓撲的基本知識，其基本內(nèi)容涵蓋：拓撲空間和連續(xù)映射的定義及其基本性質(zhì)；構造新的拓撲空間的方法；各種拓撲不變性質(zhì)，如連通性、分離性、緊致性、度量空間的完備性等，以及這些拓撲不變性質(zhì)之間的相互關聯(lián)；這些拓撲不變性質(zhì)的可積、可遺傳等性質(zhì)；映射空間及其各種基本的拓撲。本次重版專門加入了一章講述基本群及其應用，同時也補充和完善了關于樸素集合論方面的內(nèi)容，增加介紹了與選擇公理等價的一些常用命題。本書可作為數(shù)學類專業(yè)點集拓撲課程的教材或教學參考書。

書籍目錄

第Ⅰ卷　點集拓撲基礎 　第一章　樸素集合論 　　1.1　集合的基本概念 　　1.2　集合的基本運算 　　1.3　關系 　　1.4　等價關系 　　1.5　映射 　　1.6　集族及其運算 　　1.7　可數(shù)集，不可數(shù)集，基數(shù) 　　1.8　選擇公理 　第二章　拓撲空間與連續(xù)映射 　　2.1　度量空間與連續(xù)映射 　　2.2　拓撲空間與連續(xù)映射 　　2.3　鄰域與鄰域系 　　2.4　導集，閉集，閉包 　　2.5　內(nèi)部，邊界 　　2.6　基與子基 　　2.7　拓撲空間中的序列 　第三章　子空間，（有限）積空間，商空間 　　3.1　子空間 　　3.2?。ㄓ邢蓿┓e空間 　　3.3　商空間 　第四章　連通性 　　4.1　連通空間 　　4.2　連通性的某些簡單應用 　　4.3　連通分支 　　4.4　局部連通空間 　　4.5　道路連通空間 　第五章　有關可數(shù)性的公理 　　5.1　第一與第二可數(shù)性公理 　　5.2　可分空間 　　5.3　Lindel迸ff空間 　第六章　分離性公理 　　6.1　T0，T1，Hausdorff空間 　　6.2　正則，正規(guī)，T3，T4空間 　　6.3　Urysohn引理和Tietze擴張定理 　　6.4　完全正則空間，Tychonoff空間 　　6.5　分離性公理與子空間，（有限）積空間和商空間 　　6.6　可度量化空間 　第七章　緊致性 　　7.1　緊致空間 　　7.2　緊致性與分離性公理 　　7.3　n維歐氏空間Rn中的緊致子集 　　7.4　幾種緊致性以及其間的關系 　　7.5　度量空間中的緊致性 　　7.6　局部緊致空間，仿緊致空間 　第八章　完備度量空間 　　8.1　度量空間的完備化 　　8.2　度量空間的完備性與緊致性，Baire定理 　第九章　基本群及其應用 　　9.1　基本群的定義 　　9.2　連續(xù)映射誘導同態(tài) 　　9.3　圓周的基本群 　　9.4　2維Brouwer不動點定理 　　9.5　Jordan分割定理 第Ⅱ卷　積空間和映射空間 索引

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