微分幾何

前言

這本《微分幾何》教材自從1981年出版、1988年再版以來(lái)，一直被許多高等學(xué)校的數(shù)學(xué)專業(yè)采用，看來(lái)它的內(nèi)容基本上能夠符合時(shí)代發(fā)展的要求。1999年，這本教材的第二版還獲得了北京市科技進(jìn)步獎(jiǎng)的二等獎(jiǎng)。這一次再版，砍掉了一些內(nèi)容，主要是原教材的第一章中的向量代數(shù)部分和第二章中的平面曲線部分，因?yàn)檫@些內(nèi)容可以在解析幾何和微積分的教材中找到?？车暨@些內(nèi)容的原意是，在整體微分幾何部分增添一些近代微分幾何的內(nèi)容。但是由于這本書(shū)是大學(xué)本科的專業(yè)課教材，并不是給研究生用的教材，不能添加過(guò)深的內(nèi)容，最后決定只是在第四章增加了一節(jié)：完備曲面，其目的是使讀者閱讀了這些內(nèi)容以后思維領(lǐng)域能夠從緊致擴(kuò)充到完備，這也是目前近代微分幾何研究的重點(diǎn)之一。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，在這本教材中開(kāi)了一個(gè)頭，使讀者學(xué)習(xí)了近代微分幾何這些內(nèi)容以后在腦子里經(jīng)常思索這樣一個(gè)問(wèn)題：如何把微分幾何中對(duì)緊致情形成立的一些成果推廣到完備的情形。在這一版的最后，添加了名詞索引。名詞后的數(shù)碼表示第幾章第幾節(jié)。

內(nèi)容概要

　　《微分幾何》是在《微分幾何》（第二版，梅向明、黃敬之編）的基礎(chǔ)上修訂而成的，這次再版主要是刪除了原教材的第一章中的向量代數(shù)部分和第二章中的平面曲線部分；同時(shí)在第四章增添了完備曲面一節(jié)，其目的是使讀者閱讀了這些以后思維領(lǐng)域能夠從緊致擴(kuò)充到完備。《微分幾何》最后添加了名詞索引。　　《微分幾何》可供高等師范院校數(shù)學(xué)系用作教材。

書(shū)籍目錄

第一章　曲線論§1　向量函數(shù)1．1　向量函數(shù)的極限1．2　向量函數(shù)的連續(xù)性1．3　向量函數(shù)的微商1．4　向量函數(shù)的泰勒（Taylor）公式1．5　向量函數(shù)的積分§2　曲線的概念2．1　曲線的概念2．2　光滑曲線曲線的正常點(diǎn)2．3　曲線的切線和法面2．4　曲線的弧長(zhǎng)自然參數(shù)§3　空間曲線3．1　空間曲線的密切平面3．2　空間曲線的基本三棱形3．3　空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)（Frenet）公式3．4　空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)3．5　空間曲線論的基本定理3．6　一般螺線第二章　曲面論§1　曲面的概念1．1　簡(jiǎn)單曲面及其參數(shù)表示1．2　光滑曲面曲面的切平面和法線1．3　曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)§2　曲面的第一基本形式2．1　曲面的第一基本形式曲面上曲線的弧長(zhǎng)2．2　曲面上兩方向的交角2．3　正交曲線族和正交軌線2．4　曲面域的面積2．5　等距變換2．6　保角變換§3　曲面的第二基本形式3．1　曲面的第二基本形式3．2　曲面上曲線的曲率3．3　杜邦（Dupin）指標(biāo)線3．4　曲面的漸近方向和共軛方向3．5　曲面的主方向和曲率線3．6　曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率3．7　曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)3．8　高斯曲率的幾何意義§4　直紋面和可展曲面4．1　直紋面4．2　可展曲面§5　曲面論的基本定理5．1　曲面的基本方程和克里斯托費(fèi)爾（Christoffel）符號(hào)5．2　曲面的黎曼（Riemann）曲率張量和高斯一科達(dá)齊一邁因納爾迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式5．3　曲面論的基本定理§6　曲面上的測(cè)地線6．1　曲面上曲線的測(cè)地曲率6．2　曲面上的測(cè)地線6．3　曲面上的半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)6．4　曲面上測(cè)地線的短程性6．5　高斯波涅（（9auss-Bonnet）公式6．6　曲面上向量的平行移動(dòng)6．7　極小曲面§7　常高斯曲率的曲面7．1　常高斯曲率的曲面7．2　偽球面7．3　羅氏幾何第三章　外微分形式和活動(dòng)標(biāo)架§l　外微分形式1．1　格拉斯曼（（3rassmann）代數(shù)1．2　外微分形式1．3　弗羅貝尼烏斯（Frobenius）定理§2　活動(dòng)標(biāo)架2．1　合同變換群2．2　活動(dòng)標(biāo)架2．3　活動(dòng)標(biāo)架法§3　用活動(dòng)標(biāo)架法研究曲面3．1　曲面論的基本定理3．2　曲面的第一和第二基本形式3．3　曲面上的曲線法曲率測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下?．4　曲面的主曲率歐拉公式高斯曲率和平均曲率3．5　曲面上向量的平行移動(dòng)3．6　閉曲面的高斯一波涅公式第四章　整體微分幾何初步§1　平面曲線的整體性質(zhì)1．1　旋轉(zhuǎn)數(shù)1．2　凸曲線1．3　等周不等式1．4　四頂點(diǎn)定理1．5　等寬曲線1．6　平面上的Crofton公式§2　空間曲線的整體性質(zhì)2．1　Fenchel定理2．2　球面上的Crofton公式2．3　Fary-Milnor定理2．4　閉曲線的全撓率§3　曲面的整體性質(zhì)3．1　曲面的整體定義3．2　曲面的一般性質(zhì)3．3　卵形面3．4　完備曲面§4　緊致曲面的高斯一波涅公式和歐拉示性數(shù)4．1　緊致曲面的三角剖分4．2　緊致曲面的歐拉示性數(shù)4．3　緊致定向曲面的虧格（gerUS）4．4　緊致曲面的高斯一波涅公式4．5　緊致曲面上的向量場(chǎng)名詞索引

章節(jié)摘錄

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