數(shù)學分析教程.上冊

前言

“數(shù)學分析”究竟應該包括哪些內容，從西方和東歐各國名為《數(shù)學分析》的書籍來看，一直沒有十分明確的定義，但是在我國，它作為大學教學系的一門課程的名稱，通常包含一元和多元微分學和積分學，以及與之相關的內容。從它的地位和作用，從所占用的學時數(shù)來看，說它是數(shù)學系最重要的基礎課，是當之無愧的。微積分已有三百多年的歷史，經(jīng)過跨越好幾個世紀的數(shù)學巨匠們的精雕細琢，千錘百煉，已經(jīng)形成了一個完整的、精密的龐大知識寶庫。隨著時代的進步和科學技術的發(fā)展，傳統(tǒng)數(shù)學分析教材的內容顯得比較陳舊，只有極少數(shù)的幾處（例如Bernstein多項式）涉及20世紀初的發(fā)現(xiàn)。從21世紀的今天來看，這種反差更加強烈，改革數(shù)學分析教材的必要性日益顯露出來了。在有些新出版的數(shù)學分析教科書中，引入了拓撲空間、微分流形，這是朝“現(xiàn)代化”方向走的一種試驗。我們的想法則是在保持原有理論水平的基礎上，著重于加強數(shù)學分析同現(xiàn)代應用數(shù)學的其他分支學科的聯(lián)系。這樣做既不會加重學生的負擔，又不會擠占后續(xù)課程的時間。我們認為，任何積極的改革，都不應該觸動其中最基礎的理論部分。回顧20世紀50年代和70年代以拋棄這些基本理論為特色的教學改革都未能堅持下來的歷史，使我們變得聰明起來，不再干那種蠢事。何琛、史濟懷、徐森林三位教授所著的《數(shù)學分析》（共三冊）一書，由高等教育出版社于1985年公開出版。其實，該書早在1985年以前，就以講義的形式作為中國科學技術大學數(shù)學系、少年班和教改試點班的教材。至今，這套教材已經(jīng)為中國科學技術大學的數(shù)學教學起過重要的作用，在全國同類教材中也產生了積極的影響。本書正是以上述《數(shù)學分析》一書為基礎而寫成的。這中間融合了20多年來用它作為教科書的教學經(jīng)驗，同時也參考了國內外同類書籍中的許多名著。在我們看來，本教程有如下特色。

內容概要

　　《數(shù)學分析教程（上冊）》是普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材，是在1998年江蘇教育出版社出版的《數(shù)學分析教程》的基礎上作了較大的改動而成的，原書在全國同類教材中有非常積極的影響?！稊?shù)學分析教程（上冊）》分上、下兩冊。上冊內容包括：實數(shù)和數(shù)列極限，函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的導數(shù)，一元微分學的基本定理，插值與逼近初步，求導的逆運算，函數(shù)的積分，曲線的表示和逼近，數(shù)項級數(shù)，函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)等?！稊?shù)學分析教程（上冊）》可供綜合性大學和理工科院校數(shù)學系作為教材使用，也可作為其他科研人員的參考書。

書籍目錄

第1章 實數(shù)和數(shù)列極限1.1 數(shù)軸1.2 無盡小數(shù)1.3 數(shù)列和收斂數(shù)列1.4 收斂數(shù)列的性質1.5 數(shù)列極限概念的推廣1.6 單調數(shù)列1.7 自然對數(shù)底e1.8 基本列和收斂原理1.9 上確界和下確界1.10 有限覆蓋定理1.11 上極限和下極限1.12 Stolz定理1.13 數(shù)列極限的應用第2章 函數(shù)的連續(xù)性2.1 集合的映射2.2 集合的勢2.3 函數(shù)2.4 函數(shù)的極限2.5 極限過程的其他形式2.6 無窮小與無窮大2.7 連續(xù)函數(shù)2.8 連續(xù)函數(shù)與極限計算2.9 函數(shù)的一致連續(xù)性2.10 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質2.11 函數(shù)的上極限和下極限2.12 混沌現(xiàn)象第3章 函數(shù)的導數(shù)3.1 導數(shù)的定義3.2 導數(shù)的計算3.3 高階導數(shù)3.4 微分學的中值定理3.5 利用導數(shù)研究函數(shù)3.6 L'Hospital法則3.7 函數(shù)作圖第4章 一元微分學的頂峰——Taylor定理4.1 函數(shù)的微分4.2 帶Peano余項的Taylor定理4.3 帶Lagrange余項和Cauchy余項的Taylor定理第5章插值與逼近初步5.1 Lagrange插值公式5.2 多項式的Bernstein表示5.3 Bernstein多項式第6章 求導的逆運算6.1 原函數(shù)的概念6.2 分部積分和換元法6.3 有理函數(shù)的原函數(shù)6.4 可有理化函數(shù)的原函數(shù)第7章 函數(shù)的積分7.1 積分的概念7.2 可積函數(shù)的性質7.3 微積分基本定理7.4 分部積分與換元7.5 可積性理論7.6 Lebesgue定理7.7 反常積分7.8 面積原理7.9 Wallis公式和Stirling公式7.10 數(shù)值積分第8章曲線的表示和逼近8.1 參數(shù)曲線8.2 曲線的切向量8.3 光滑曲線的弧長8.4 曲率第9章 數(shù)項級數(shù)9.1 無窮級數(shù)的基本性質9.2 正項級數(shù)的比較判別法9.3 正項級數(shù)的其他判別法9.4 一般級數(shù)9.5 絕對收斂和條件收斂9.6 級數(shù)的乘法9.7 無窮乘積第10章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)10.1 問題的提出10.2 一致收斂10.3 極限函數(shù)與和函數(shù)的性質10.4 由冪級數(shù)確定的函數(shù)10.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式10.6 用多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)10.7 冪級數(shù)在組合數(shù)學中的應用10.8 從兩個著名的例子談起附錄問題的解答與提示

章節(jié)摘錄

插圖：粗略地說，數(shù)學由三個大的分支組成：幾何學、代數(shù)學和分析學。它們有著各自的研究對象、內容和方法，同時又互相依賴和滲透。分析學是從“微積分”開始的。雖然在古代，已經(jīng)產生了微積分的樸素的思想。但是作為一門學科，則建立于17世紀下半葉。在這一方面，英國、法國和德國的數(shù)學家們做出了杰出的貢獻。創(chuàng)立微積分的大師們著眼于發(fā)展強有力的方法，他們雖然解決了許多過去被認為是無法攻克的難題，卻未能為自己的方法奠定無懈可擊的理論基礎。這就引起了長達一個多世紀的混亂和爭論，直到19世紀初才玉宇澄清，一切混亂、誤解的陰霾才為之一掃。這主要是由于有了嚴格的極限理論，以及這一理論所依賴的“實數(shù)體系的連續(xù)性”得以確立。本書書名為《數(shù)學分析教程》，正是研究微積分學的原理和應用，因此我們得從實數(shù)理論和數(shù)列的極限理論談起。

編輯推薦

《數(shù)學分析教程(上冊)》為普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材之一。

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