數(shù)學(xué)分析教程.上冊(cè)

前言

“數(shù)學(xué)分析”究竟應(yīng)該包括哪些內(nèi)容，從西方和東歐各國(guó)名為《數(shù)學(xué)分析》的書(shū)籍來(lái)看，一直沒(méi)有十分明確的定義，但是在我國(guó)，它作為大學(xué)教學(xué)系的一門(mén)課程的名稱(chēng)，通常包含一元和多元微分學(xué)和積分學(xué)，以及與之相關(guān)的內(nèi)容。從它的地位和作用，從所占用的學(xué)時(shí)數(shù)來(lái)看，說(shuō)它是數(shù)學(xué)系最重要的基礎(chǔ)課，是當(dāng)之無(wú)愧的。微積分已有三百多年的歷史，經(jīng)過(guò)跨越好幾個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)巨匠們的精雕細(xì)琢，千錘百煉，已經(jīng)形成了一個(gè)完整的、精密的龐大知識(shí)寶庫(kù)。隨著時(shí)代的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分析教材的內(nèi)容顯得比較陳舊，只有極少數(shù)的幾處（例如Bernstein多項(xiàng)式）涉及20世紀(jì)初的發(fā)現(xiàn)。從21世紀(jì)的今天來(lái)看，這種反差更加強(qiáng)烈，改革數(shù)學(xué)分析教材的必要性日益顯露出來(lái)了。在有些新出版的數(shù)學(xué)分析教科書(shū)中，引入了拓?fù)淇臻g、微分流形，這是朝“現(xiàn)代化”方向走的一種試驗(yàn)。我們的想法則是在保持原有理論水平的基礎(chǔ)上，著重于加強(qiáng)數(shù)學(xué)分析同現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的其他分支學(xué)科的聯(lián)系。這樣做既不會(huì)加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)，又不會(huì)擠占后續(xù)課程的時(shí)間。我們認(rèn)為，任何積極的改革，都不應(yīng)該觸動(dòng)其中最基礎(chǔ)的理論部分?；仡?0世紀(jì)50年代和70年代以拋棄這些基本理論為特色的教學(xué)改革都未能堅(jiān)持下來(lái)的歷史，使我們變得聰明起來(lái)，不再干那種蠢事。何琛、史濟(jì)懷、徐森林三位教授所著的《數(shù)學(xué)分析》（共三冊(cè)）一書(shū)，由高等教育出版社于1985年公開(kāi)出版。其實(shí)，該書(shū)早在1985年以前，就以講義的形式作為中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系、少年班和教改試點(diǎn)班的教材。至今，這套教材已經(jīng)為中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)起過(guò)重要的作用，在全國(guó)同類(lèi)教材中也產(chǎn)生了積極的影響。本書(shū)正是以上述《數(shù)學(xué)分析》一書(shū)為基礎(chǔ)而寫(xiě)成的。這中間融合了20多年來(lái)用它作為教科書(shū)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也參考了國(guó)內(nèi)外同類(lèi)書(shū)籍中的許多名著。在我們看來(lái)，本教程有如下特色。

內(nèi)容概要

　　《數(shù)學(xué)分析教程（上冊(cè)）》是普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，是在1998年江蘇教育出版社出版的《數(shù)學(xué)分析教程》的基礎(chǔ)上作了較大的改動(dòng)而成的，原書(shū)在全國(guó)同類(lèi)教材中有非常積極的影響?！稊?shù)學(xué)分析教程（上冊(cè)）》分上、下兩冊(cè)。上冊(cè)內(nèi)容包括：實(shí)數(shù)和數(shù)列極限，函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一元微分學(xué)的基本定理，插值與逼近初步，求導(dǎo)的逆運(yùn)算，函數(shù)的積分，曲線的表示和逼近，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等?！稊?shù)學(xué)分析教程（上冊(cè)）》可供綜合性大學(xué)和理工科院校數(shù)學(xué)系作為教材使用，也可作為其他科研人員的參考書(shū)。

書(shū)籍目錄

第1章 實(shí)數(shù)和數(shù)列極限1.1 數(shù)軸1.2 無(wú)盡小數(shù)1.3 數(shù)列和收斂數(shù)列1.4 收斂數(shù)列的性質(zhì)1.5 數(shù)列極限概念的推廣1.6 單調(diào)數(shù)列1.7 自然對(duì)數(shù)底e1.8 基本列和收斂原理1.9 上確界和下確界1.10 有限覆蓋定理1.11 上極限和下極限1.12 Stolz定理1.13 數(shù)列極限的應(yīng)用第2章 函數(shù)的連續(xù)性2.1 集合的映射2.2 集合的勢(shì)2.3 函數(shù)2.4 函數(shù)的極限2.5 極限過(guò)程的其他形式2.6 無(wú)窮小與無(wú)窮大2.7 連續(xù)函數(shù)2.8 連續(xù)函數(shù)與極限計(jì)算2.9 函數(shù)的一致連續(xù)性2.10 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.11 函數(shù)的上極限和下極限2.12 混沌現(xiàn)象第3章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.1 導(dǎo)數(shù)的定義3.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3.3 高階導(dǎo)數(shù)3.4 微分學(xué)的中值定理3.5 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)3.6 L'Hospital法則3.7 函數(shù)作圖第4章 一元微分學(xué)的頂峰——Taylor定理4.1 函數(shù)的微分4.2 帶Peano余項(xiàng)的Taylor定理4.3 帶Lagrange余項(xiàng)和Cauchy余項(xiàng)的Taylor定理第5章插值與逼近初步5.1 Lagrange插值公式5.2 多項(xiàng)式的Bernstein表示5.3 Bernstein多項(xiàng)式第6章 求導(dǎo)的逆運(yùn)算6.1 原函數(shù)的概念6.2 分部積分和換元法6.3 有理函數(shù)的原函數(shù)6.4 可有理化函數(shù)的原函數(shù)第7章 函數(shù)的積分7.1 積分的概念7.2 可積函數(shù)的性質(zhì)7.3 微積分基本定理7.4 分部積分與換元7.5 可積性理論7.6 Lebesgue定理7.7 反常積分7.8 面積原理7.9 Wallis公式和Stirling公式7.10 數(shù)值積分第8章曲線的表示和逼近8.1 參數(shù)曲線8.2 曲線的切向量8.3 光滑曲線的弧長(zhǎng)8.4 曲率第9章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)9.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)9.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法9.3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的其他判別法9.4 一般級(jí)數(shù)9.5 絕對(duì)收斂和條件收斂9.6 級(jí)數(shù)的乘法9.7 無(wú)窮乘積第10章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1 問(wèn)題的提出10.2 一致收斂10.3 極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)10.4 由冪級(jí)數(shù)確定的函數(shù)10.5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式10.6 用多項(xiàng)式一致逼近連續(xù)函數(shù)10.7 冪級(jí)數(shù)在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用10.8 從兩個(gè)著名的例子談起附錄問(wèn)題的解答與提示

章節(jié)摘錄

插圖：粗略地說(shuō)，數(shù)學(xué)由三個(gè)大的分支組成：幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)。它們有著各自的研究對(duì)象、內(nèi)容和方法，同時(shí)又互相依賴(lài)和滲透。分析學(xué)是從“微積分”開(kāi)始的。雖然在古代，已經(jīng)產(chǎn)生了微積分的樸素的思想。但是作為一門(mén)學(xué)科，則建立于17世紀(jì)下半葉。在這一方面，英國(guó)、法國(guó)和德國(guó)的數(shù)學(xué)家們做出了杰出的貢獻(xiàn)。創(chuàng)立微積分的大師們著眼于發(fā)展強(qiáng)有力的方法，他們雖然解決了許多過(guò)去被認(rèn)為是無(wú)法攻克的難題，卻未能為自己的方法奠定無(wú)懈可擊的理論基礎(chǔ)。這就引起了長(zhǎng)達(dá)一個(gè)多世紀(jì)的混亂和爭(zhēng)論，直到19世紀(jì)初才玉宇澄清，一切混亂、誤解的陰霾才為之一掃。這主要是由于有了嚴(yán)格的極限理論，以及這一理論所依賴(lài)的“實(shí)數(shù)體系的連續(xù)性”得以確立。本書(shū)書(shū)名為《數(shù)學(xué)分析教程》，正是研究微積分學(xué)的原理和應(yīng)用，因此我們得從實(shí)數(shù)理論和數(shù)列的極限理論談起。

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《數(shù)學(xué)分析教程(上冊(cè))》為普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材之一。

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