多元微積分及其應(yīng)用

前言

　　提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于教師，但一套較好的教材也是重要的。隨著我國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革的逐步深入，當(dāng)前不少高等學(xué)校在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革方面有了一些進(jìn)展，例如單純“面向?qū)I(yè)”的觀念有所淡化，代數(shù)課程的內(nèi)容和學(xué)時(shí)有所增加，開(kāi)設(shè)了一些新的課程，如“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和“隨機(jī)數(shù)學(xué)”等；相應(yīng)地有一批新教材出版。本套教材也在試用了兩年多以后，進(jìn)行了部分修訂。這就是《大學(xué)數(shù)學(xué)》的第二版?！　≡诒３衷械闹笇?dǎo)思想和風(fēng)格的前提下，這一套教材由原來(lái)的五本：《一元微積分》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》改編、擴(kuò)充為七本，即：《微積分（一）》、《微積分（二）》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《流形上的微積分》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，其中《流形上的微積分》是新編人的，《隨機(jī)數(shù)學(xué)》正在在修訂中，《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》這次還來(lái)不及修訂。除了這三本以外，另外四本改編的大致情況如下：　　《微積分（一）》以原來(lái)的《一元微積分》中的第一篇，即“直觀基礎(chǔ)上的微積分”為其主要內(nèi)容，力求做到“返璞歸真”。除了進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了計(jì)算和應(yīng)用之外，還增加了一些對(duì)“極限”的樸素描述?！　　段⒎e分（二）》是把原來(lái)《一元微積分》中的第二篇，即“理性微積分”的內(nèi)容作一些修改而成。其中為了使讀者能更好體會(huì)數(shù)學(xué)分析中的一些基本手法，對(duì)用階梯函數(shù)逼近的辦法來(lái)處理定積分（即函數(shù)集擴(kuò)張的思想）又作了一些改進(jìn)?！　　抖嘣⒎e分及其應(yīng)用》是把原書(shū)加以適當(dāng)精簡(jiǎn)而成。原書(shū)中“復(fù)變函數(shù)”部分重新改寫(xiě)以求突出重點(diǎn)和更加精練；原書(shū)的“微分幾何”部分移到《代數(shù)與幾何》。

內(nèi)容概要

　　《多元微積分及其應(yīng)用》是教育部“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學(xué)數(shù)學(xué)”的第二版。內(nèi)容相當(dāng)于第一版中的“多元微積分及其應(yīng)用”?！抖嘣⒎e分及其應(yīng)用》內(nèi)容包括：多元函數(shù)的連續(xù)性及微分、含參量的積分及重積分、曲線和曲面積分、平面和空間的數(shù)量場(chǎng)和向量場(chǎng)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程及方程組。在多元函數(shù)及向量值函數(shù)中《多元微積分及其應(yīng)用》強(qiáng)調(diào)了局部線性化的基本思想及其體現(xiàn)：微分。在重積分及多重積分中強(qiáng)調(diào)了物理的處理方式，避免了數(shù)學(xué)上繁瑣的處理推導(dǎo)。復(fù)變函數(shù)是可供選擇的內(nèi)容，《多元微積分及其應(yīng)用》中把可視為實(shí)二元向量值函數(shù)的部分內(nèi)容歸入相應(yīng)部分作為例子，把其精華部分精練地列為一章。常微分方程部分分為線性和非線性兩部分；后者以典型的例子為主。講授《多元微積分及其應(yīng)用》可有較大的靈活性，教師可根據(jù)實(shí)際情況對(duì)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)刪減，控制學(xué)時(shí)為60-80學(xué)時(shí)?！抖嘣⒎e分及其應(yīng)用》可作為高等學(xué)校理工科各專業(yè)的教材，也可供其他專業(yè)人員參考。

書(shū)籍目錄

第1章 多元函數(shù)及其微分學(xué)1.1 n維Euclid空間1.1.1 n維Euclid空間1.1.2 n維Euclid空間中的基本拓?fù)涓拍?.1.3 Rn中點(diǎn)集的連通性1.1.4 Rn中的點(diǎn)列Rn的完備性1.1.5 復(fù)平面1.2 n元函數(shù)Rn→Rm的向量值函數(shù)1.2.1 n元函數(shù)1.2.2 Rn→Rm的向量值函數(shù)1.3 極限與連續(xù)1.3.1 向量值函數(shù)的極限1.3.2 向量值函數(shù)的連續(xù)性1.3.3 無(wú)窮小函數(shù)的階1.4 多元函數(shù)的全微分及偏導(dǎo)數(shù)1.4.1 n元函數(shù)的全微分1.4.2 偏導(dǎo)數(shù)全微分的計(jì)算1.4.3 方向?qū)?shù)梯度1.4.4 數(shù)量場(chǎng)的梯度1.4.5 高階偏導(dǎo)數(shù)高階微分1.5 向量值函數(shù)的微分1.5.1 向量值函數(shù)的微分1.5.2 復(fù)變函數(shù)的微分1.5.3 可微復(fù)合向量值函數(shù)的微分1.6 隱（向量值）函數(shù)的存在性及其微分1.7 曲面與曲線的表示法切平面與法線1.7.1 曲面及其切平面和法線1.7.2 空間曲線及其切線和法平面1.8 Taylor公式多元函數(shù)的極值與條件極值1.8.1 Taylor公式1.8.2 極值1.8.3 條件極值習(xí)題與補(bǔ)充題部分習(xí)題和補(bǔ)充題答案第2章 含參變量積分2.1 含參變量積分的概念及性質(zhì)2.2 廣義含參變量積分2.2.1 廣義含參變量積分的收斂性與一致收斂性2.2.2 廣義含參變量積分的分析性質(zhì)習(xí)題部分習(xí)題答案第3章 重積分3.1 二重和三重積分的概念及其性質(zhì)3.2 二重積分的計(jì)算——累次積分法3.3 二重積分的變量代換法極坐標(biāo)系下的累次積分法3.3.1 二重積分的變量代換法3.3.2 二重積分在極坐標(biāo)系下的累次積分法3.4 三重積分的計(jì)算3.4.1 三重積分在直角坐標(biāo)系下的累次積分法3.4.2 三重積分的變量代換法3.4.3 三重積分在柱坐標(biāo)系下的累次積分3.4.4 三重積分在球坐標(biāo)系下的累次積分3.5 重積分的應(yīng)用3.5.1 物體的重心(質(zhì)心或形心）問(wèn)題3.5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題3.5.3 引力問(wèn)題3.5.4 曲面的面積問(wèn)題習(xí)題與補(bǔ)充題部分習(xí)題和補(bǔ)充題答案第4章第一類曲線積分與第一類曲面積分4.1 第一類曲線積分4.1.1 第一類曲線積分的性質(zhì)4.1.2 第一類曲線積分的計(jì)算及其應(yīng)用4.2 第一類曲面積分習(xí)題部分習(xí)題答案第5章第二類曲線積分與第二類曲面積分5.1 第二類曲線積分與復(fù)積分5.1.1 第二類曲線積分的性質(zhì)5.1.2 第二類曲線積分的計(jì)算5.1.3 第一、第二類曲線積分之間的關(guān)系5.1.4 復(fù)積分5.2 第二類曲面積分5.2.1 曲面的定向5.2.2 第二類曲面積分的概念5.2.3 第二類曲面積分的計(jì)算5.2.4 兩類曲面積分之間的關(guān)系5.3 平面和空間中的向量場(chǎng)5.3.1 平面向量場(chǎng)Green公式5.3.2 平面第二類曲線積分與路徑無(wú)關(guān)原函數(shù)5.3.3 空間向量場(chǎng)Gauss公式和Stokes公式習(xí)題與補(bǔ)充題部分習(xí)題答案第6章 復(fù)變函數(shù)的微積分6.1 解析函數(shù)初等實(shí)函數(shù)的解析開(kāi)拓6.1.1 解析函數(shù)6.1.2 初等實(shí)函數(shù)的解析開(kāi)拓6.2 解析函數(shù)的積分6.2.1 解析函數(shù)的積分6.2.2 復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān)復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)6.3 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)6.3.1 復(fù)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)6.3.2 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)6.3.3 解析函數(shù)的零點(diǎn)與孤立奇點(diǎn)6.3.4 留數(shù)定理輻角原理習(xí)題與補(bǔ)充題部分習(xí)題答案第7章 常微分方程7.1 二階線性常微分方程7.1.1 基本概念和解的存在唯一性定理7.1.2 二階線性常微分方程解的結(jié)構(gòu)7.1.3 二階線性常系數(shù)方程的求解7.2 一階線性常微分方程組7.2.1 一階線性常微分方程組解的結(jié)構(gòu)7.2.2 常系數(shù)一階方程組的求解Laplace變換7.3 常微分方程定性理論習(xí)題與補(bǔ)充題部分習(xí)題和補(bǔ)充題答案索引

章節(jié)摘錄

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《大學(xué)數(shù)學(xué):多元微積分及其應(yīng)用(第2版)》是普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材之一。

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