大學(xué)數(shù)學(xué)

前言

　　本書第二版主要是考慮到目前國內(nèi)非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，各校有關(guān)“代數(shù)與幾何”的課時(shí)相差較大，為了便于使用本教材的教師合理地取舍教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，我們把教材內(nèi)容線性代數(shù)與空間解析幾何部分分為三個檔次：第一檔次是不打*的節(jié)，這是教學(xué)的基本要求，其中有些用小字排印的內(nèi)容可以不作為基本要求，例如，分塊矩陣的初等變換，正交矩陣中的Q—R分解，Hadamard不等式等；第二檔次是用大字排印的打*的節(jié)，例如，2．6子空間的交與和，直和，2．9正交子空間，正交補(bǔ)；第三檔次是用小字排印的打*的節(jié)，例如，7．2二次曲線一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程及其分類，8．4二次曲面的分類，7．7中的雙線性函數(shù)，1. 4中的序關(guān)系，偏序集，全序集，但其中的第二數(shù)學(xué)歸納法原理應(yīng)作為教學(xué)基本要求，讓學(xué)生有所了解并會用．這三個檔次中的第二、三檔次對課時(shí)少的學(xué)校都可以不作為教學(xué)的基本要求，僅供學(xué)有余力且有興趣的學(xué)生課外自己閱讀?！　∨c第一版相比，我們對1．10基本代數(shù)結(jié)構(gòu)——群、環(huán)、域的基本概念作了較大的修改，去掉了較多內(nèi)容，只保留了最基本的概念，其中有些例子也用了小字．另外，增加了n階行列式的幾何意義(用小字排印，可不作基本要求)。 　　與第一版相比，還有一個較大的變化是把多元微積分中的微分幾何的基礎(chǔ)知識——“空間曲線與空間曲面”安排為本書的第9章，主要的考慮是把大學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)幾何幾門課(空間解析幾何，微分幾何，射影幾何，非歐幾何)的內(nèi)容都集中在一起，以便于更好地安排教學(xué)。 　　本書第1～8章由居余馬修訂，第9章由蕭樹鐵編寫并修訂，第10～11章由蕭樹鐵、李海中修訂．書稿最后由主編蕭樹鐵教授審定。 　　編者于清華園 　　二OO二年十二月 　　多年來，我國高校非數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課只有微積分以及為之服務(wù)的一點(diǎn)解析幾何．80年代開始，由于計(jì)算機(jī)解題的需要，一些學(xué)校陸續(xù)增加了“線性代數(shù)”課．它的內(nèi)容主要是行列式、線性方程組和矩陣運(yùn)算．而對于線性代數(shù)的核心內(nèi)容——線性空間及其上的線性映射則涉及很少．面對21世紀(jì)培養(yǎng)高素質(zhì)人才的需要，這種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的結(jié)構(gòu)是難以適應(yīng)的．建立一個以微積分、代數(shù)、幾何和隨機(jī)數(shù)學(xué)為基本內(nèi)容的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課新體系的任務(wù)隨著新世紀(jì)的來臨就顯得急迫了．教育部為此從1995年起就開始立項(xiàng)研究．本書就是在此背景下進(jìn)行的一個嘗試。 　　這本教材包含了代數(shù)和幾何兩部分．關(guān)于其內(nèi)容，有以下幾點(diǎn)考慮： 　　一、關(guān)于代數(shù)與幾何內(nèi)容的整體安排 　　把代數(shù)與幾何合寫成一本教材．這種做法可能會削弱幾何的訓(xùn)練，但也可使代數(shù)與幾何更好地結(jié)合，互相滲透，互相促進(jìn)．代數(shù)為研究幾何問題提供有效的方法；幾何為抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)和方法提供形象的幾何模型和背景，基于這樣的考慮，本書大致分為四個部分?！　〉谝徊糠质堑谝徽轮嘘U述的基礎(chǔ)知識——集合、關(guān)系、運(yùn)算與映射及代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本概念．其重點(diǎn)是關(guān)系和運(yùn)算，特別要讓學(xué)生了解運(yùn)算的對象是多種多樣的，而不是局限于數(shù)的運(yùn)算．這里討論了：映射(是一種一元運(yùn)算)的一般概念；集合運(yùn)算；命題運(yùn)算；幾何向量的運(yùn)算；n元向量的線性運(yùn)算及高斯消元法中的矩陣初等行運(yùn)算．它們不僅拓寬了學(xué)生對“運(yùn)算”概念的認(rèn)識，而且也啟發(fā)學(xué)生以后在探索新問題時(shí)要善于把實(shí)際問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題；同時(shí)也是學(xué)習(xí)本書必備的基礎(chǔ)．關(guān)于群、環(huán)、域，重點(diǎn)是群的概念，這里主要是讓學(xué)生初步了解從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上區(qū)分各種數(shù)學(xué)問題的異同，知道近世代數(shù)主要是討論各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)． 　　第二部分是由第二章至第五章所闡述的線性代數(shù)的基本內(nèi)容——線性空間與內(nèi)積空間、線性映射、矩陣和行列式。 　　第三部分是由第六章至第八章所組成，它們是線性代數(shù)與幾何相結(jié)合的內(nèi)容：線性方程組的解的理論與線性圖形(平面與空間直線)的位置關(guān)系和度量關(guān)系；特征值與特征向量、正交變換、二次型與二次曲線、二次曲面的不變量及其分類。 　　第四部分是由第九章與第十章所介紹的“仿射與射影幾何”及“非歐幾何”的兩個初等模型。 　　二、關(guān)于線性代數(shù)的內(nèi)容和體系 　　線性代數(shù)的內(nèi)容大致可分為兩部分：一部分是以算法為主的求解線性方程組和矩陣運(yùn)算(包括特征值與特征向量、矩陣的三種標(biāo)準(zhǔn)形及二次型)．另一部分則主要是研究線性空間和內(nèi)積空間的結(jié)構(gòu)，以及有限維線性空間上的線性映射．由于后者是前者的理論框架，是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，而且它也是近代數(shù)學(xué)普遍使用的基本語言．為使學(xué)生較全面深入地掌握和理解線性代數(shù)，提高學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)新知識的能力，我們認(rèn)為必須加強(qiáng)線性空間和線性映射的教學(xué)，除了增加必要的課時(shí)，還要突出它們的核心地位．為此，我們沒有采用國內(nèi)現(xiàn)行線性代數(shù)教材的傳統(tǒng)模式，而是直接從討論線性空間的結(jié)構(gòu)和研究線性映射入手，展開線性代數(shù)的內(nèi)容．通過有限維線性空間的線性映射的數(shù)值表示，建立了線性映射與矩陣的對應(yīng)關(guān)系，從而矩陣的基本運(yùn)算的定義也由相應(yīng)的線性映射的運(yùn)算所確定；至于線性方程組的求解問題也對應(yīng)于已知線性映射的像求完全原像(或核)的問題；矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形問題也就是從線性映射在不同基下對應(yīng)的矩陣構(gòu)成的等價(jià)類中找一個最簡單的代表元的問題．如此，線性空間和線性映射的概念就貫穿始終，起到了統(tǒng)領(lǐng)全局的核心作用．當(dāng)然這樣的課程體系，初學(xué)者在開始學(xué)習(xí)時(shí)會有些困難，感到抽象和不容易理解，但是只要教學(xué)得法，按照“從特殊到一般，從具體到抽象”的原則，從具體的模型、背景和實(shí)例抽象為一般的概念，學(xué)生還是不難接受的．學(xué)完整個課程，學(xué)生最終會較好和較深入地掌握線性代數(shù)的內(nèi)容，能熟練使用線性空間和線性映射的語言，特別是一開始就接觸公理化的定義和方法，對學(xué)生以后自學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)新知識是大有裨益的． 　　此外，我們在第六至第八章中還盡量把代數(shù)與幾何有機(jī)地結(jié)合起來，例如，特征值的概念是由二次曲線在正交變換下的不變量引出來的，然后再利用特征值與特征向量的概念研究一般的二次型，把二次曲面的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并對二次曲面作正交分類。 　　關(guān)于行列式，我們也采用了公理化的定義，也就是把n階行列式定義為n重反對稱線性函數(shù)，這樣定義不僅方便快捷，而且與全書的風(fēng)格協(xié)調(diào)，同時(shí)證明行列式的一些重要性質(zhì)(如：detA=detAT、行列式按一列(行)的展開定理、｜AB｜=｜A｜｜B｜等)時(shí)，充分利用了矩陣的工具，使證明更為簡明。 　　三、關(guān)于幾何，除上述內(nèi)容外我們還選擇了“仿射與射影幾何”、“非歐幾何簡介”．目的是加深讀者對“形”的理解和認(rèn)識。 　　在仿射幾何中，研究了仿射變換下的不變性質(zhì)(如共線性、平行性)和不變量(如簡單比)，對二次曲線作了更簡單的仿射分類?！　　　≡谏溆皫缀沃校覀儼褮W氏(仿射)平面擴(kuò)大為射影平面，引進(jìn)齊次坐標(biāo)來研究射影平面上的幾何問題，研究了對偶原理和射影變換下的不變量(交比)，并對二次曲線作了射影分類． 　　在非歐幾何簡介中，我們介紹了非歐幾何中兩個典型的模型．橢圓幾何的球面模型和雙曲幾何的龐加萊模型．它們除了有重要的應(yīng)用價(jià)值外，還希望能通過對這種人類重要文化遺產(chǎn)的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的理性和審美意識。 　　使用本教材所需課時(shí)大約在80左右，如果課時(shí)少，可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)取舍內(nèi)容。 　　本教材的編寫工作是在蕭樹鐵教授領(lǐng)導(dǎo)下進(jìn)行的，第1～8章由居余馬、第10～11章由李海中編寫，書稿最后經(jīng)蕭教授審定，高教出版社胡乃同同志對本書的出版作了認(rèn)真仔細(xì)的編輯工作，對此我們深表感射。 　　更新非數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的課程體系和教學(xué)內(nèi)容的工作是十分艱巨的，在代數(shù)部分我們雖然已經(jīng)歷了九年的教學(xué)實(shí)踐，但探索仍是初步的，缺陷和不妥之處在所難免，懇請同行專家和讀者賜教和指正。 　　編者于清華園 　　一九九九年九月  

內(nèi)容概要

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)（代數(shù)與幾何）》是教育部“十五”國家級規(guī)劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學(xué)數(shù)學(xué)”系列教材的第二版。與第一版相比，本書第二版保持了原有的風(fēng)格和基本內(nèi)容。適當(dāng)精簡了代數(shù)的內(nèi)容，增加了“行列式的幾何意義”；幾何部分則增加了“微分幾何”的基本內(nèi)容。 

書籍目錄

第1章 集合關(guān)系運(yùn)算結(jié)構(gòu) 1．1 集合子集冪集直積 1．2 二元關(guān)系及其性質(zhì) 1．3 等價(jià)關(guān)系等價(jià)類商集 1．4 序關(guān)系偏序集全序集數(shù)學(xué)歸納法原理 1．5 運(yùn)算與映射 1．6 命題運(yùn)算量詞 1．7 幾何向量的運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系 1．8 n元向量的線性運(yùn)算高斯消元法 1．9 平面方程與空間直線方程 1．10 基本代數(shù)結(jié)構(gòu)——群、環(huán)、域的基本概念 習(xí)題 第2章 線性空間內(nèi)積空間 2．1 線性空間的定義及其簡單性質(zhì) 2．2 線性子空間 2．3 線性相關(guān)性 2．4 有限維線性空間的基和維數(shù)向量組的秩 2．5 向量的坐標(biāo) 2．6 子空間的交與和直和 2．7 內(nèi)積空間 . 2．8 歐氏空間的單位正交基 2．9 正交子空間正交補(bǔ) 附錄 雙重連加號∑∑連乘號ii 習(xí)題 第3章 線性映射 3．1 線性映射的定義及例 3．2 線性映射的像和核 3．3 線性映射的運(yùn)算空間l(v1，v2) 3．4 有限維線性空間的線性映射線性映射的秩 3．5 線性空間的同構(gòu) 習(xí)題 第4章 矩陣 4．1 矩陣的定義 4．2 線性映射的矩陣表示 4．3 矩陣的加法與數(shù)量乘法 4．4 矩陣的乘法 4．5 可逆矩陣 4．6 矩陣的轉(zhuǎn)置 4．7 矩陣的初等變換和初等矩陣 4. 8 矩陣的秩相抵標(biāo)準(zhǔn)形 4．9 分塊矩陣 4．10 基的變換矩陣與坐標(biāo)變換 習(xí)題 第5章 行列式 5．1 n階行列式的定義 5．2 行列式按一列(行)的展開式 5．3 方陣乘積的行列式 5．4 cramer法則 習(xí)題 第6章 線性方程組與線性幾何 6．1 齊次線性方程組 6．2 非齊次線性方程組 6．3 線性圖形的幾何問題 習(xí)題 第7章 特征值與特征向量矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 7．1 正交變換與正交矩陣 7．2 二次曲線一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程及其分類 7．3 線性變換在不同基下的矩陣表示相似矩陣 7．4 特征值與特征向量 7．5 可對角化的條件相似標(biāo)準(zhǔn)形 7．6 實(shí)對稱矩陣的對角化 7．7 雙線性函數(shù)二次型 7．8 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)對稱矩陣的相合標(biāo)準(zhǔn)形 7．9 正定二次型與正定矩陣其它有定二次型 習(xí)題 第8章 常見曲面及二次曲面的分類 8．1 球面柱面錐面旋轉(zhuǎn)面 8．2 空間曲線的方程 8．3 二次曲面 8．4 二次曲面的分類 習(xí)題 第9章 空間曲線與空間曲面 9．1 向量函數(shù)及其微積分 9．2 曲線的弧長和弗雷耐標(biāo)架 9．3 曲線的曲率撓率弗雷耐公式 9．4 特殊的空間曲線 9．5 曲面的表示切平面參數(shù)變換 9．6 曲面的第一基本形式 9．7 曲面上曲線的法曲率曲面的第二基本形式 習(xí)題 第10章 平面正交變換仿射變換射影變換 10．1 平面正交變換 10．2 平面的仿射變換 10．3 射影平面與齊次坐標(biāo) 10．4 射影映射和射影變換 習(xí)題 第11章 非歐幾何學(xué)簡介 11．1 球面幾何 11．2 雙曲幾何的龐加萊模型 索引 

編輯推薦

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)（代數(shù)與幾何）》是南開大學(xué)濱海學(xué)院、北京航空航天大學(xué)北海學(xué)院、天津大學(xué)仁愛學(xué)院、大連理工大學(xué)城市學(xué)院等十幾所院校根據(jù)目前獨(dú)立學(xué)院教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合多年在獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合編寫而成?！洞髮W(xué)數(shù)學(xué)（代數(shù)與幾何）》分為上、下冊。上冊主要內(nèi)容有：函數(shù)、極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不定積分，定積分及其應(yīng)用。書中每節(jié)配有A、B兩套習(xí)題，并附有習(xí)題答案。《大學(xué)數(shù)學(xué)（代數(shù)與幾何）》體現(xiàn)教學(xué)改革及教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化，針對獨(dú)立學(xué)院理工類專業(yè)的教學(xué)需求，適當(dāng)降低理論深度，突出數(shù)學(xué)知識實(shí)用的分析和運(yùn)算方法，著重基本技能的訓(xùn)練而不過分追求技巧，突出基本訓(xùn)練的題目，解決課程體系的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性與應(yīng)用型人才培養(yǎng)需求的關(guān)系，有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，并體現(xiàn)新的教學(xué)理念?！　”鞠盗薪滩目勺鳛楠?dú)立學(xué)院理工類專業(yè)的大學(xué)數(shù)學(xué)教材，也可供有關(guān)人員學(xué)習(xí)參考。

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