高等數(shù)學(xué)（上）

前言

　　1996年上半年，本書作者向原國家教委呈報《普通高等教育“九五”國家級重點教材立項申請書》，1997年5月得到批準(zhǔn)，本書正式立為《“九五”國家級重點教材》項目。自1996年9月起，作者領(lǐng)導(dǎo)的教學(xué)小組在南京大學(xué)基地班開始進行教學(xué)改革試點，經(jīng)過3年的教學(xué)實踐，1999年9月開始，又在南京大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院進行第4次教學(xué)，邊教、邊改、邊總結(jié)，并在2000年初，由原國家教委高等學(xué)校教學(xué)與力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會主任姜伯駒院士推薦作為“面向2l世紀(jì)課程教材”出版。2000與200l兩個學(xué)年繼續(xù)在南京大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院進行第5、6次教學(xué)，在此基礎(chǔ)上寫成了現(xiàn)在這本書。

內(nèi)容概要

　　《高等數(shù)學(xué)（上）》是教育部“面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計劃”的研究成果，是面向21世紀(jì)課程教材，同時也是普通高等教育“九五”國家級重點教材?！陡叩葦?shù)學(xué)（上）》思路新、觀點高、基礎(chǔ)扎實、知識面寬，并注意運用近代數(shù)學(xué)的思想解決問題?！陡叩葦?shù)學(xué)（上）》分上、下兩冊。上冊內(nèi)容包括：幾何與代數(shù)方法初步，導(dǎo)數(shù)——函數(shù)的分析與研究1，積分——函數(shù)的分析與研究2?！陡叩葦?shù)學(xué)（上）》可作為高等院校理科各專業(yè)的教材，也可供各類專業(yè)人員學(xué)習(xí)參考。

書籍目錄

第一章 幾何與代數(shù)方法初步§1.1 引言§1.2 向量1.2.1 直角坐標(biāo)系1.2.2 向量及其表示1.2.3 向量的內(nèi)積、外積習(xí)題§1.3 空間中的平面與直線1.3.1 空間中的平面及其方程1.3.2 空間中的直線及其方程1.3.3 平面與直線的關(guān)系習(xí)題§1.4 二次曲面1.4.1 空間曲面1.4.2 柱面及其方程1.4.3 錐面及其方程1.4.4 旋轉(zhuǎn)面及其方程1.4.5 直紋面1.4.6 常見二次曲面的分類習(xí)題§1.5 行列式1.5.1 問題的提出1.5.2 行列式的定義及性質(zhì)習(xí)題§1.6 矩陣1.6.1 矩陣的定義及運算，初等變換1.6.2 矩陣的秩1.6.3 利用矩陣討論線性方程組的解習(xí)題-第二章 導(dǎo)數(shù)——函數(shù)的分析與研究§2.1 引言習(xí)題§2.2 極限2.2.1 數(shù)列的極限2.2.2 函數(shù)的極限2.2.3 極限運算及判別準(zhǔn)則2.2 ，4兩個重要的極限2.2.5 無窮小量、無窮大量2.2.6 函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題§2.3 導(dǎo)數(shù)2.3.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念2.3.2 幾種初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§2.4 求導(dǎo)法則2.4.1 導(dǎo)數(shù)的四則運算2.4.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則2.4.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.4.4 對數(shù)求導(dǎo)法則2.4.5 隱函數(shù)求導(dǎo)法則2.4.6 參數(shù)式求導(dǎo)法則2.4.7 導(dǎo)數(shù)基本公式表習(xí)題§2.5 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2.5.1 應(yīng)用的依據(jù)——三個重要定理2.5.2 求極限的洛必達法則2.5.3 函數(shù)性質(zhì)及其圖形的研究2.5.4 平面曲線的曲率§2.6 微分2.6.1 微分的定義、幾何意義2.6.2 微分的運算法則2.6.3 微分的應(yīng)用習(xí)題§2.7 多元函數(shù)2.7.1 多元函數(shù)的概念2.7.2 多元函數(shù)的極限2.7.3 多元函數(shù)的連續(xù)性2.7.4 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)2.7.5 多元函數(shù)的全微分、方向?qū)?shù)2.7.6 多元函數(shù)的復(fù)合2.7.7 應(yīng)用習(xí)題第三章 積分——函數(shù)的分析與研究Ⅱ§3.1 積分定義§3.2 積分性質(zhì)與計算3.2.1 定積分的性質(zhì)，牛頓一萊布尼茨公式3.2.2 不定積分的定義、性質(zhì)、意義與積分法3.2.3 定積分的計算3.2.4 橢圓積分習(xí)題§3.3 多重積分3.3.1 二重積分的定義、性質(zhì)3.3.2 二重積分的計算，直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)下的計算公式3.3.3 二重積分換元積分法3.3.4 三重積分及多重積分習(xí)題§3.4 曲線積分、曲面積分3.4.1 第一型曲線積分定義、性質(zhì)、計算公式3.4.2 第二型曲線積分定義、性質(zhì)、計算公式3.4.3 第一型曲面積分定義、性質(zhì)、計算公式3.4.4 第二型曲面積分定義、性質(zhì)、計算公式3.4.5 格林公式、斯托克斯公式、高斯公式習(xí)題§3.5 積分的應(yīng)用3.5.1 曲線長度、曲面面積、立體體積3.5.2 力、力矩、慣性矩、轉(zhuǎn)動慣量3.5.3 場論——梯度、散度、旋度習(xí)題§3.6 反常積分，含參量的積分3.6.1 收斂性與發(fā)散性、判別法3.6.2 含參量的積分，一致收斂概念3.6.3 斯蒂爾切斯積分習(xí)題§3.7 復(fù)變量函數(shù)的微積分3.7.1 復(fù)數(shù)與復(fù)映射3.7.2 復(fù)映射的極限、微積分習(xí)題§3.8 勒貝格積分3.8.1 勒貝格積分的定義，黎曼積分的推廣3.8.2 勒貝格積分的重要性質(zhì)3.8.3 黎曼積分與勒貝格積分的比較3.8.4 勒貝格平方可積空間習(xí)題附錄Fourier變換表習(xí)題答案參考文獻

章節(jié)摘錄

　　第一章　幾何與代數(shù)方法初步　　本章介紹高等數(shù)學(xué)中用到的最基本的幾何與代數(shù)方法，包括向量、三維空間中平面、直線與常見的二次曲面的方程；行列式、矩陣的概念與性質(zhì)以及它們在解多元線性代數(shù)方程組中的應(yīng)用。　　§1.1　引　　言　　數(shù)學(xué)是研究事物（對象）的存在形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。近年來，數(shù)學(xué)已被諸多領(lǐng)域的科學(xué)家稱為“數(shù)學(xué)科學(xué)”，足見其對科學(xué)發(fā)展所起的重要作用及產(chǎn)生的深遠影響。　　當(dāng)代科學(xué)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)，需要用數(shù)學(xué)工具定量地、定性地刻畫事物內(nèi)在的規(guī)律，通過建立數(shù)學(xué)模型，使用數(shù)學(xué)方法并借助電腦的計算與控制，從而得到所需的結(jié)果，以達到高新科技的各種技術(shù)特性與數(shù)據(jù)的要求。數(shù)學(xué)已滲透到各個學(xué)科中，推動著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，同時，數(shù)學(xué)的發(fā)展也需要當(dāng)代科學(xué)，如物理學(xué)、天文學(xué)、生命科學(xué)、地球科學(xué)、計算機科學(xué)、乃至一切科學(xué)，它們都是數(shù)學(xué)的源泉與數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。大自然就是在各科學(xué)分支的相互聯(lián)系、相互滲透、相互交叉、相互推動的微妙關(guān)系中被認(rèn)識、被研究、被改造、被發(fā)展，從而服務(wù)于人類的?！　?shù)學(xué)在研究事物（對象）存在形式與數(shù)量關(guān)系時，有其自身的特點其著眼點不僅是事物的具體內(nèi)容，而且是事物的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。通過具體事物，分析其存在的空間形式、自身的以及與其它事物之間的數(shù)量關(guān)系，總結(jié)、升華，得到普遍規(guī)律與數(shù)學(xué)模型，使數(shù)學(xué)科學(xué)具有高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性。　　那么，如何研究事物存在的空間形式與數(shù)量關(guān)系呢？數(shù)學(xué)科學(xué)蘊含著豐富的思維方法和技巧，而高等數(shù)學(xué)則著重介紹數(shù)學(xué)的基本概念、重要理論、解題技巧，展示數(shù)學(xué)的思維方法，進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)工具的能力。這里，首先給出一個例子，就是作為數(shù)學(xué)思維方法之一的幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合?！　≡缭?7世紀(jì)，法國科學(xué)家笛卡兒（Descartes，R.）在他的數(shù)學(xué)著作《幾何學(xué)》中，就已闡明了關(guān)于解析幾何的思想。笛卡兒將空間形式的研究與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系的研究結(jié)合起來，顯示了極大的優(yōu)越性。他的做法是：首先引入“坐標(biāo)系”，然后將空間中的點與坐標(biāo)系中的數(shù)（或有序的數(shù)組）建立起“一一對應(yīng)”關(guān)系，從而把對空間形式的研究與對坐標(biāo)系中數(shù)的關(guān)系的研究結(jié)合起來。

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