高等幾何

前言

　　數(shù)學(xué)專業(yè)有三門傳統(tǒng)的基礎(chǔ)課程——“三高”，即高等微積分，高等代數(shù)和高等幾何，因此，高等幾何自然地是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的三門基礎(chǔ)課程之一，但是隨著時(shí)代的推移，前兩門課程的面貌有了很大的變化，高等微積分發(fā)展成今天的數(shù)學(xué)分析，無論從內(nèi)容的深度上和思想方法上與傳統(tǒng)的高等微積分有了很大的變化；高等代數(shù)也是一樣，有關(guān)群、環(huán)、域的概念和線性代數(shù)的內(nèi)容都是傳統(tǒng)的高等代數(shù)課程內(nèi)容中所沒有的，但是遺憾的是高等幾何的內(nèi)容多少年來沒有突破性的改變，似乎有些與歷史的進(jìn)步脫節(jié).我一直指望有一本內(nèi)容新穎的高等幾何教材，使它到了21世紀(jì)還能夠在奠定數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)上充分發(fā)揮作用，我閱讀了周建偉教授的《高等幾何》教材，盡管傳統(tǒng)的內(nèi)容還是教材的主要部分，但是有了新意，教材的最后部分講述了二維雙曲幾何和橢圓幾何的基本內(nèi)容，使學(xué)生學(xué)習(xí)了這些內(nèi)容以后，能夠突破傳統(tǒng)的歐幾里得幾何的框架，去想象和思索新的幾何領(lǐng)域，我希望這本《高等幾何》教材能受到廣大高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的師生的歡迎。

內(nèi)容概要

　　《高等幾何》以變換群的觀點(diǎn)為指導(dǎo)思想，以一些重要定理為主線，介紹了平面射影幾何的基本知識，努力展示射影、仿射、歐氏、雙曲、橢圓等多種幾何的豐富內(nèi)容和內(nèi)在聯(lián)系。內(nèi)容包括射影平面、射影映射、二次曲線的射影理論、仿射幾何與歐氏幾何、平面雙曲幾何、平面橢圓幾何等?！陡叩葞缀巍房晒└叩葞煼对盒?shù)學(xué)系作為教材，也可用作自學(xué)。

書籍目錄

第一章 射影平面§1.1 拓廣歐氏平面1.1.1 qp心射影1.1.2 拓廣歐氏平面1.1.3 齊次坐標(biāo)習(xí)題1.1 §1.2 射影平面1.2.1 射影平面的定義1.2.2 點(diǎn)與直線的結(jié)合關(guān)系1.2.3 射影平面的模型習(xí)題1.2 §1.3 射影坐標(biāo)1.3.1 一維射影坐標(biāo)1.3.2 一維射影坐標(biāo)變換1.3.3 二維射影坐標(biāo)習(xí)題1.3 §1.4 Desargues定理與對偶原理1.4.1 Desargues定理1.4.2 平面射影幾何的對偶原理習(xí)題1.4 §1.5 交比1.5.1 交比的定義與性質(zhì)1.5.2 交比與一維射影坐標(biāo)1.5.3 調(diào)和點(diǎn)列1.5.4 歐氏平面上交比的計(jì)算與運(yùn)用習(xí)題1.5 第二章 射影映射§2.1 一維射影映射2.1.1 變換群2.1.2 透視2.1.3 一維射影映射2.1.4 一維射影映射的坐標(biāo)表示習(xí)題2.1 §2.2 一維射影變換2.2.1 直線上的射影變換2.2.2 對合習(xí)題2.2 §2.3 直射2.3.1 直射映射2.3.2 直射變換2.3.3 調(diào)和同調(diào)變換2.3.4 直射與坐標(biāo)變換的關(guān)系習(xí)題2.3 §2.4 歐氏平面上的仿射變換習(xí)題2.4 第三章 二次曲線的射影理論§3.1 二次曲線的射影定義3.1.1 二次曲線3.1.2 ——次曲線的切線3.1.3 次曲線的射影定義習(xí)題3.1 §3.2 配極3.2.1 極點(diǎn)與極線3.2.2 配極3.2.3 對射習(xí)題3.2 §3.3 Pascal定理與Brianchon定理習(xí)題3.3 §3.4 射影二次曲線的分類3.4.1 射影二次曲線的分類3.4.2 二次曲線束習(xí)題3.4 第四章 仿射幾何與歐氏幾何§4.1 仿射幾何4.1.1 仿射平面4.1.2 仿射變換習(xí)題4.1 §4.2 二次曲線的仿射理論4.2.1 仿射二次曲線4.2.2 仿射二次曲線的中心，直徑與漸近線習(xí)題4.2 §4.3 歐氏幾何4.3.1 虛點(diǎn)、虛直線4.3.2 歐氏變換與歐氏幾何4.3.3 歐氏二次曲線習(xí)題4.3 §4.4 二次曲線的對稱軸，焦點(diǎn)與準(zhǔn)線4.4.1 二次曲線的對稱軸4.4.2 焦點(diǎn)與準(zhǔn)線習(xí)題4.4 §4.5 歐氏，仿射，射影三種幾何的比較第五章 平面雙曲幾何§5.1 雙曲平面5.1.1 幾何原本與非歐幾何的發(fā)現(xiàn)5.1.2 雙曲平面的Klein模型5.1.3 雙曲度量習(xí)題5.1 §5.2 雙曲運(yùn)動(dòng)習(xí)題5.2 §5.3 雙曲三角學(xué)5.3.1 雙曲三角學(xué)5.3.2 直線與直線的相關(guān)位置5.3.3 羅氏函數(shù)習(xí)題5.3 §5.4 雙曲弧長與面積5.4.1 雙曲平面上的幾種曲線5.4.2 雙曲弧長5.4.3 雙曲面積習(xí)題5.4 §5.5 雙曲平面的其他模型5.5.1 Poincare模型5.5.2 雙曲上半平面第六章 平面橢圓幾何§6.1 球面幾何與球面三角6.1.1 球面的特征性質(zhì)6.1.2 球面三角公式6.1.3 球面上距離的坐標(biāo)表示習(xí)題6.1 §6.2 平面橢圓幾何6.2.1 橢圓度量與橢圓幾何6.2.2 橢圓二次曲線6.2.3 球面幾何與橢圓幾何的關(guān)系6.2.4 橢圓三角學(xué)習(xí)題6.2 §6.3 變換群與幾何學(xué)參考文獻(xiàn)名詞與人名索引

章節(jié)摘錄

　　普通歐氏平面加上平面上所有直線的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以后稱為拓廣歐氏平面；也簡稱為拓廣平面。這樣，拓廣歐氏平面上的點(diǎn)由兩部分組成，一部分是原來平面上的點(diǎn)，稱為普通點(diǎn)，另一種是添加的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。上面定義的拓廣直線也是拓廣平面上的直線。關(guān)于添加的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以及它們與原有的普通點(diǎn)之間的關(guān)系，我們約定：　　（i）拓廣平面上任意兩條拓廣直線如果作為普通直線平行，那么此兩拓廣直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相同，否則不同；　?。╥i）拓廣平面上所有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成一條直線，它上面沒有普通點(diǎn)，這條直線稱為無窮遠(yuǎn)直線?！　倪@些約定立即得出：普通平面上兩條直線平行的充要條件是它們的拓廣直線在拓廣平面上交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；一組平行直線相交于同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。這樣，拓廣平面上的直線也有兩種：一種是添加無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以后的拓廣直線，此種直線上除一點(diǎn)外都是普通點(diǎn)；另一種是無窮遠(yuǎn)直線，這樣的直線在拓廣平面上只有一條?！　∠旅娴亩ɡ?.1.1與1.1.2給出了拓廣歐氏平面上點(diǎn)與直線之間關(guān)系的重要性質(zhì)。

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